文档内容
浦东新区 2023 学年度第二学期初三年级模拟考试
数学试卷
考生注意：
1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟．
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律
无效．
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸
的相应位置上】
1. 下列实数中，无理数是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数，算术平方根的含义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽
的数，②无限不循环小数，③含有 的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析
判断即可．
【详解】解： ，
在 ， ， ， 中，
， ， 是有理数， 是无理数，
故选：C．
2. 下列计算中，结果等于a2m的是（ ）
A. am+am B. am•a2 C. （am）m D. （am）2
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：A、am+am＝2am，故此选项不合题意；B、am•a2＝am+2，故此选项不合题意；
C、（am）m＝ ，故此选项不合题意；
D、（am）2＝a2m，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查的是幂的运算性质和合并同类项，掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则、幂
的乘方运算法则是解决此题的关键．
3. 直线y=-x+1经过的象限是（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限
【答案】B
【解析】
【详解】∵y=-x+1中k=-1,b=1
的
∴它是递增 一次函数，与x、y轴的交点分别是(1,0)、(0，1)
∴它的图象经过第一、二、四象限
4. 如图， ， ， ，那么 等于（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先证明 ，再利用三角形
的外角的性质可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故选C
5. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 对角线相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解题的关键是熟
练掌握相关判定定理．根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定即可进行解答．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D不符合题意；
故选：B．
6. 如图，在 中， ， ， ．点D在边 上，且 ，
交边 于点E，那么以E为圆心， 为半径的 和以D为圆心， 为半径的 的位
置关系是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是两圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解
，再证明 ，求解 ， ，再结合两圆的位置关系可得答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴以E为圆心， 为半径的 和以D为圆心， 为半径的 的位置关系是外切．
故选B
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 分解因式： =____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案
【详解】解： ．
故答案为：【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
8. 化简 的结果是______．
【答案】1
【解析】
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【详解】解： ．
为
故答案 ：1．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9. 方程 的根是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程 ，解此一元二次方程得到 ， ，
结合二次根式的性质，去掉增根，即可得到答案．
【详解】方程两边平方得：
∴ ，
∵
∴
∴ 不符合题意，故舍去
∴原方程的根为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的
性质，从而完成求解．
10. 如果方程 没有实数根，那么 的取值范围是__________．
【答案】【解析】
【分析】利用判别式的意义得到△=（-6）2-4m＜0，然后解不等式即可．
【详解】根据题意得△=（-6）2-4m＜0，
解得m＞9；
故答案为： .
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞
0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无
实数根．
11. 从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用概率公式计算．
【详解】解：任意抽取一张牌，抽到梅花的概率＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点睛】此题考查概率的简单计算，只要找出总数和可能发生的事件的量相除即可．
12. 沿着x轴的正方向看，如果抛物线 在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是
________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，
再建立不等式解题即可．
【详解】解：∵抛物线 在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴ ，解得 ．
故答案为： ．13. 正五边形的中心角的度数是_____．
【答案】72°．
【解析】
【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为 ，则代入求解即可．
【详解】解：正五边形的中心角为： ．
故答案为72°．
【点睛】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．
的
14. 如果梯形 下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是梯形中位线定理，掌握梯形的中位线定理是解题的关键． 根据梯形的中位线定理
得：下底 中位线长的2倍 上底可得答案．
【详解】解：根据梯形的中位线定理得，上底 ．
故答案为：3．
15. 小丽在大楼窗口 测得校园内旗杆底部 的俯角为 度，窗口离地面高度 （米），那么旗杆底
部与大楼的距离 ________米（用 的三角比和 的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，∠ACB=α，AB=h，然后利用三角函数求出BC的长度．
【详解】在Rt ABC中，
∵∠ACB=α，△AB=h，∴BC= = ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，利用三角函数的
知识求解．
16. 如图，已知 中，中线 、 相交于点G，设 ， ，那么向量 用向量 、
表示为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
根据重心的性质可得 ， ，利用三角形法则求出 ，进而可得结果．
【详解】解：∵中线 、 交于点G，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ．
故答案为： ．
17. 如图，点A、C在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，且 轴，轴，那么 的面积等于________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．设点
，根据 轴，且点B在反比例函数 的图象上，得出 ，进而得到 ，
根据 轴，点C在反比例函数 的图象上，得到 ，进而得到 ，最后利用
三角形面积公式即可求解．
【详解】解： 点A在反比例函数 的图象上，
设点 ，
轴，
点 的纵坐标为 ，
点B在反比例函数 的图象上，
，，
轴，
点 的横坐标为 ，
点C在反比例函数 的图象上，
，
，
，
故答案为：
18. 定义：四边形 中，点E在边 上，连接 、 ，如果 的面积是四边形 面积
的一半，且 的面积是 及 面积的比例中项，我们称点E是四边形 的边 上
的一个面积黄金分割点．
已知：如图，四边形 是梯形，且 ， ，如果点E是它的边 上的一个面积黄
金分割点，那么 的值是________．
【答案】【解析】
【分析】设 ， ， ，结合题意可得： ， ，可得
，如图，过 作 交 于 ，过 作 于 ，交 于 ，证明
是 的中位线，同理可得： ，证明 是梯形中位线，可得 ，从而可得答
案．
【详解】解：设 ， ， ，
∴结合题意可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
如图，过 作 交 于 ，过 作 于 ，交 于 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
过 作 交 于 ，
∴四边形 ， ， 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
同理可得： ，
∴ 是梯形中位线，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【点睛】本题考查的是新定义的含义，三角形的中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二
次方程的解法，理解题意是解本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是负整数指数幂的运算，分母有理化，求解立方根，先分母有理化，化简绝对值，计
算负整数指数幂，立方根，再合并即可．【详解】解：
；
20. 解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，画图见解析
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先分别解不等式组中的
两个不等式，再把解集在数轴上表示，利用数轴确定解集的公共部分即可．
【详解】解： ，
由①得： ，
∴ ，
解得： ，
由②得： ，
解得： ；
在数轴上表示不等式的解集如下：∴不等式组的解集为： ．
21. 如图，在 中， 是边 上的高．已知 ， ， ．
（1）求 的长；
（2）如果点E是边 的中点，连接 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的
定义是解本题的关键；
（1）由 可设 ，则 ，则 ， ，
再利用勾股定理求解 ，从而可得答案；
（2）如图，过 作 于 ，由（1）得： ， ， ，利用等面积法求
解 ，可得 ，可得 ，再结合余切的定义可得答案．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴设 ，则 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 是边 上的高，
∴ ，
解得： （负根舍去），
∴ ；
【小问2详解】
如图，过 作 于 ，
∵由（1）得： ， ， ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
22. 某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示
（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等第的扇形统计图，如图2所示（设竞赛
成绩为a分， 为不合格、 为合格， 为良好， 为优秀）．
根据图中的信息回答下列问题：
（1）估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有________人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据；
（2）小明对统计图进行了研究，得出了如下结论：
①中位数一定落在80分—90分这一组内；
②众数一定落在80分—90分这一组内；
③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；
④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数．
上述结论中错误的是________（填序号）．
（3）估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成
为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，
x与 的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？
【答案】（1） 人，补全图形见解析
（2）②④ （3） 合理；
【解析】
【分析】（1）由总人数乘以样本优秀率即可得到答案，再求解样本容量及 的人数，再求解扇
形图中的各百分比补全图形即可；（2）根据中位数，众数，样本平均数的含义可得答案；
（3）根据x与 的积恰好等于样本容量的 15倍建立方程求解 ，结合得分 60分以下的学生有
可得答案．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
六年级参赛学生中成绩为良好的学生有 人；
∵良好占 ，
∴合格占
补全条形图如下：
【小问2详解】
由 个数据，第 个，第 个数据落在80分—90分这一组，故①正确；
众数是出现次数最多的数据，不一定落在80分—90分这一组内，故②不正确；
仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；故③正确；
从这两个统计图中不能准确求出样本的平均数，故④不正确；
∴上述结论中错误的是②④；
【小问3详解】
由（1）得： ，样本容量为 ，∴ ，
整理得： ，
解得： ， ，
∵得分60分以下的学生有 ，
∴ 合理；
【点睛】本题考查的是从扇形图与条形图中获取信息，中位数，众数的含义，样本容量的概念，一元二次
方程的解法，掌握以上基础知识是解本题的关键；
23. 已知：如图，在菱形 中，点E是边 上的任意一点（不与点D、C重合）， 交对角线
于F，过点E作 交 于点G．
（1）求证： ；
（2）当 时，求证： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判断，菱形的性质：
（1）证明 ，得到 ，证明 得到 ，则可得
，即 ；（2）如图所示，连接 交 于O，由菱形的性质得到 ， ，则
，证明 ，进而证明 ,即可得到 ，即
．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：如图所示，连接 交 于O，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ．
24. 在平面直角坐标系 中，已知直线 与x轴、y轴分别交于点A、点B，抛物线
经过点A、B两点，顶点为点C．
（1）求b、c的值；
（2）如果点D在抛物线 的对称轴上，射线 平分 ，求点D的坐标；
（3）将抛物线 平移，使得新抛物线 的顶点E在射线 上，抛物线 与y轴交于点F，如果是等腰三角形，求抛物线 的表达式．
【答案】（1） ， ；
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明 为等腰直角三角形，则点 在 上，点 D′代入 的解析式，即可求解；
（3）分情况讨论：当 时，列出方程，即可求解；当 或 时，同理可解．
【小问1详解】
解：把 代入 得 ，
∴点B坐标是 ，
把 代入 ，得 ，
∴点A坐标是 ，
将点A、B坐标代入 ，得 ，
解得 ．
∴抛物线的表达式是 ．
【小问2详解】
由（1）知，抛物线的表达式为 ，则其对称轴为直线 ，
∴ ，作点D关于直线 的对称点 ， 交 于点T，
∵ 平分 ，
∴由轴对称的性质可得： ，
过点D作x轴的平行线交 于点H，连接 ，
∵ ， ，
∴ ， 则 ，
为
则 等腰直角三角形，
由轴对称的性质可得： 为等腰直角三角形，
∴ 为等腰直角三角形，则点 在 上，
设点 ，
当 ，则 ，
∴ ，
∴ ，∴点 ，
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的表达 ，
将点 代入上式得： ，
解得： ， 则点 ；
【小问3详解】
设点 ，
则抛物线的表达式为： ，
当 时， ，
即点 ，而 ，
∴ ， ，
，
当 时， 则 ，
解得： （舍去）或 ，
则抛物线的表达式为： ；
当 或 时， 则 或 ，解得： （不合题意的值已舍去），
即抛物线的表达式为： ，
综上，抛物线的表达式为： 或 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到点的对称性、等腰三角形的性质，一元二次方程的解法
等，分类求解是解题的关键．
25. 已知： 和 相交于A、B两点，线段 的延长线交 于点C， 、 的延长线分别交
于点D、E．
（1）连接 、 ， 、 分别与连心线 相交于点H、点G，如图1，求证： ；
（2）如果 ．
①如图2，当点G与O重合， 的半径为4时，求 的半径；
②连接 、 ， 与连心线 相交于点F，如图3，当 ，且 的半径为2时，求
的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）先证明 ，可得 ，再证明 ，可得 ；（2）①如图，连接 ， ， ， ，证明 三点共线，证明
，再利用勾股定理求解即可；②如图，连接 ， ，
， 证明 ，可得 ， 证明 ，求解
，证明 ，再利用相似三角形的性质与勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
①如图，连接 ， ， ， ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ 三点共线，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
②如图，连接 ， ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，而 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，设 ， ，∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： 或 （舍去），
∴ ．
【点睛】本题考查的是两圆的位置关系，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，一元二次方程的解
法，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
