文档内容
2024 年松江区初中毕业生学业模拟考试试卷九年级数学
（满分150分，完卷时间100分钟）
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或
写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分．
2．答题前，务必在答题纸上填写姓名、学校和考号．
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位．
一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择
正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 下列代数式中，单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式的定义，根据数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一
个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．准确掌握定义即可解题．
【详解】解：A 、 是单项式，符合题意；
B、 是分式，不符合题意；
C、 是多项式，不符合题意；
D、 是二次根式，不符合题意；
故选：A．
2. 当 时，下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，分数指数幂的含义，整数指数幂的含义，再逐一分析各选
项即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ， ，
∴A，B，D不符合题意，C符合题意；
故选C
3. 如果 ， 为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质分析判断即可．
【详解】解：A、 ， 当 时， ，故选项A不符合题意；
B、 ，当 时， ，故选项B不符合题意；
C、 ， 为任意实数，
，故选项C不符合题意；
D、 ， 为任意实数，
，故选项D符合题意．
故选：D．
4. 在一次演讲比赛中，小明对7位评委老师打出的分数进行了分析，如果去掉一个最高分和一个最低分后
再次进行分析，那么这两组数据的下列统计量一定相等的是（ ）
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义：位
于中间位置或中间两数的平均数是这组数据的中位数，所以去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【详解】解：一列数去掉最大的和最小的，众数可能会改变，方差，平均数都可能会改变，只有中位数一定不会变．
故选A．
5. 下列四个命题中不正确的是（ ）
A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定判断即可．
【详解】解：由题意可知：
A、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，不合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，为假命题，符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，为真命题，不合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，为真命题，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、
菱形与平行四边形间的关系．
6. 已知矩形 中， ， ，分别以 ， 为圆心的两圆外切，且点 在 内，点 在
内，那么 半径 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出 的长，再根据以 ， 为圆心的两圆外切得出 的半径，最后根据点和
圆的位置关系，求出 的取值范围即可．本题主要考查了相切两圆的性质以及点和圆的位置关系，求出
的半径是本题解题的关键．
【详解】解：连接 ，
四边形 为矩形，，
以 ， 为圆心的两圆外切，
的半径为 ，
点 在 内，
，
，
在 内，
，
，
．
故选：C．
二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7. 计算： _______．
【答案】
【解析】
【分析】先把 化简为2 ，再合并同类二次根式即可得解.
【详解】 2 - = .
故答案为： .
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．
8. 因式分解： ______．
【答案】【解析】
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9. 不等式组 的解集是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式
解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴不等式的解集为： ，
故答案为：
10. 如果关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，那么k= ____．
【答案】
【解析】
【分析】因为关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，所以 且判别式
，建立关于 的方程，解方程即可求出 的值．本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．
切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
且判别式 ，
解得： ．
故答案为： ．
11. 已知反比例函数 的图像经过点 ，那么在每个象限内，y随x的增大而____．（填
“增大”或“减小”）
【答案】增大
【解析】
【分析】根据题意，先确定 ，再依据反比例函数性质解答本题即可．本题考查了反比例函数图象上
点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键．
【详解】解： 反比例函数 的图象经过点 ，
，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内， 随 的增大而增大，
故答案为：增大．
12. 我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增
长 ，第三季度的销量比第二季度增长 ，那么预计第三季度的销量为_____万辆．
【答案】13.2
【解析】
【分析】本题考查了销售增长率 的问题，利用“第二季度的销量=第一季度的销量 （1+增长率
），第三季度的销量=第二季度的销量 （1+增长率 ）”，即可求解．
【详解】 ，
故答案为：13.2．
13. 一个公园有东、南、西三个入口，小明和小红分别随机从一个入口进入该公园游玩，那么他们从同一入口进入该公园游玩的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率，画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一入
口进入该公园游玩的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】把公园的东、南、西三个入口分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一入口进入该公园游玩的结果有3种，
3 1
∴他们从同一入口进入该公园游玩的概率是 = ，
9 3
故答案为： ．
14. 平移抛物线 ，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线
的表达式可以是_____．（只需写出一个符合条件的表达式）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移．根据题意可设平移后的抛物线的解析式为 ，可
得该抛物线的顶点坐标为 ，再由顶点在第四象限，可得 ，即可．
【详解】解：根据题意可设平移后的抛物线的解析式为 ，
∵ ，∴该抛物线的顶点坐标为 ，
∵顶点在第四象限，
∴ ，
即 ，
的
∴平移后 抛物线的解析式为 ．
故答案为： （答案不唯一）．
15. 如图，已知梯形 中， ， ， 、 交于点O．设 ，那
么向量 可用 表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查向量的线性计算．熟练掌握三角形法则，是解题的关键．先证明 ，再利用
三角形法则，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：
16. 某学习小组就本校学生的上学交通方式进行了一次随机抽样调查，并绘制了两幅不完整的统计图，如
图１和图2所示．已知该校有1200名学生，估计该校步行上学的学生约为___人．
【答案】240
【解析】
【分析】本题考查了样本百分比估计总体百分比，先求出步行所占百分比，再用学生总数乘以步行学生所
占的百分比即可估计全校步行上学的学生人数
【详解】解：抽查的人数为： （人）
∴步行上学在扇形图中所占比例为 ，
∴全校步行上学的学生人数为： （人）故答案为：240
17. 一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数
关系．又已知挂2千克重物时弹簧的长度为11厘米，挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千
克重物时弹簧的长度为_____厘米．
【答案】12.5
【解析】
【分析】利用待定系数法求出 与 之间的函数关系式，并标明 的取值范围，将 代入求出对应 的
值即可．本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出 与 之间的函数关系式是本题的关键．
【详解】解：设 与 之间的函数关系式为 、 为常数，且 ．
将 ， 和 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
与 之间的函数关系式为 ．
当 时， ，
挂5千克重物时弹簧的长度为12.5厘米．
故答案为：12.5．
18. 如图，已知 中， ， ， ． 是边 的中点， 是边 上一点，将
沿着 翻折，点 落在点 处，如果 与与 的一边平行，那么 _____．【答案】5或
【解析】
【分析】根据 与 三边分别平行分类讨论，由翻折的性质以及勾股定理求出 的长，从而求得
的长即可．本题主要考查了翻折变换，合理运用正方形的判定与性质以及中位线定理和勾股定理是本
题解题的关键．
【详解】解：①当 时， 与 重合，
， ， 不构成三角形，不符合题意；
②当 ，如图：
，
，
由翻折的性质可知， ， ，
四边形 为正方形，
，；
③当 ，延长 交 于 ，如图：
， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
解得： ，
，
综上所述， 或6.5．
故答案为：5或6.5．
三、解答题（本大题共7题）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据分数指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算进行计算即
可求解．【详解】解：原式
20. 解方程组： ．
【答案】 ， ， ，
【解析】
【分析】本题考查了二元二次方程组的解法等知识．先将方程①变形为 或 ，分别与方
程②组成方程组，利用代入法即可求解．
【详解】解：
由方程①得 ，得到 或 ．
将它们与方程②分别组成方程组，得
（Ⅰ） 或（Ⅱ）
解方程组（Ⅰ），得 ， ；
解方程组（Ⅱ），得 ， ；所以原方程组的解是 ， ， ， ．
21. 如图，已知 中， ．点O在边 上，以O为圆心， 为半径的
弧经过点A．
（1）求 的半径长；
（2）P是 上一点， ，交 于点D，连接 ．求 的正切值．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，圆的基本性质，勾股定理：
（1）联结 ，设 ，在 中，根据勾股定理，求出x的值，即可；
（2）过点P作 ，垂足为H． 根据锐角三角函数可得 ， ，再由
，可得 ，即可求解．
【小问1详解】
解：联结 ，设 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴
解得： ，
∴ 的半径长是5．
【小问2详解】
解：过点P作 ，垂足 为H．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
22. 一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边
形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方
形是一个“精致四边形”．（1）如图所示的四边形 是一个“精致四边形”，其中 ， ．试写
出该“精致四边形”的两条性质（ ， 除外）；
（2）如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”
的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值；
（3）如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出
它的各内角度数．
【答案】（1）① ， 平分 ；②四边形 是轴对称图形，直线 所在的直线是它
的对称轴；③ ， ，
（2）画图形见解析，该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值为
（3）画图形见解析，两种长度的线段各是 ，它的各内角度数
【解析】
【分析】本题考查了新定义，菱形的性质，梯形的性质，解题的关键是正确理解题目所给“精致四边形”
的定义，正确画出图形，以及熟练掌握相关性质定理．
（1）根据题意易得 是 的垂直平分线， ， 是等边三角形，即可得出结论；
（2）根据题意画出图形，则在菱形 中，且 ，根据菱形的性质得出
， ， ，进而得出 ，则 ；
（3）根据题意画出图形，推出 ， ， 再根据平行线的性质得出 ，求出 ，即可解答．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴ 是 的垂直平分线，
则 ， 平分 ；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是轴对称图形，直线 所在的直线是它的对称轴；
∵ ，
∴ 是等边三角形，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上：该“精致四边形”的性质有：
① ， 平分 ；
②四边形 是轴对称图形，直线 所在的直线是它的对称轴；
③ ， ， ．【小问2详解】
解：画图
∵在菱形 中，且 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
解：画图，如图： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
解得： ，
∴ ， ．
23. 如图，已知 是 与 的公共弦， 与 交于点C， 的延长线与 交于点P，连
接 并延长，交 于点D．
（1）连接 如果 ．求证： ；
（2）如果 ，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相交圆的性质，综合运用垂径定理、直角三角形的判定以及平行线分线段成比例
是本题解题的关键．
（1）连接 ，由直角三角形的判定可知 为直角三角形，然后根据圆周角定理求出 的度数即可证明；
（2）过 作 于E，过 作 于F，根据垂径定理和平行线分线段成比例来证明即可．
【小问1详解】
连接 ，如图：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∴ ，
由圆周角定理可知， ，
∵ 是 与 的公共弦， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
过 作 于E，过 作 于F，如图：∴ ，
∴ ，
∴ ，
由垂径定理可知， ，
∴ ，
∴ ．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 、点 ，抛物线 经过点 ，
且顶点 在线段 上（与点 、 不重合）．
（1）求 、 的值；
（2）将抛物线向右平移 （ ）个单位，顶点落在点 处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点 ，
连接 ，交 轴于点 ．
①如果 ，求 的面积；
②如果 ，求 的值．【答案】（1） ，
（2）①
②
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的综合，掌握平移变换后，点以及抛物线变化的规律是本题解题的关键．
（1）先求出 所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据 和 都在线段 上，求
解即可．
（2）①根据抛物线平移的性质求出 点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出 点坐标，进而求出
的直线表达式，最后求出 点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；
②根据 ，可知 在 的垂直平分线上，再过点 做与 轴平行的直线 ，与 相交于点 ，
由垂直平分线的性质可得 ， ， ，再由线段 与 平行，
推出 ， ，即 ， ，得出即 垂直平分 ，
， 与 点关于 对称，即可得出点 的坐标，由平移的性质可得平移后抛物线的表达式，最
后根据 在平移后的抛物线上，求出 的值即可．
【小问1详解】
∵抛物线过点 ，
， ，
∵ ， ，
∴
将 ， 两点分别代入到 所在的一次函数 中，得 ，
连列可得解答 ，
故直线 的解析式为： ，
又因为顶点 在线段 上，
∴ ，
得 (舍去) 或 ，
，
， ．
【小问2详解】
① ，
∴对称轴为直线 ，顶点 为 ，
当 时， ，
顶点 ，
当 时， ，
，过点 ， ，作 轴垂线 垂足分别为 ， ，
，
②由平移的性质可知， ，
，
在 的垂直平分线上，
如图，过点 做与 轴平行的直线 ，与 相交于点 ，
由垂直平分线的性质可得 ， ，
故 ，
由图可得线段 与 平行，
故 ， ，
，
即 垂直平分 ， ， 与 点关于 对称，
顶点 为 ，
的坐标为 ，
由平移的性质可得平移后抛物线的表达式为： ，
将 代入平移后的抛物线得： ，解得： 或 （ ，舍去），
∴ ．
25. 如图，已知矩形 中， ， ，点 是边 上一动点，过点 作 ，垂足
为点 ，连接 ，过点 作 ，交边 于点 （点 与点 不重合）．
（1）当 是 的中点时，求证： ；
（2）当 的长度取不同值时，在 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，
如果不存在，请说明理由；
（3）延长 交边 于点 ，连接 ， 与 能否相似，若能相似，求出此时 的长；
若不能相似，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，PF的长度不变，
（3）能相似，
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质及判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角
函数的比值关系等知识点，灵活运用角的等量关系建立边的比值关系是解题的关键．
（1）利用斜边的中线是斜边的一半的性质和矩形的性质，通过角的等量代换得到 即可；
（2）通过角的等量代换和相似三角形的判定方法证出 ，即可根据比值关系求解；
（3）连接 ，过点 作 ，垂足为 ，通过角的等量代换和边的比值关系判定出四边形
是矩形，然后再利用角的等量代换证出 ，当 时（均为钝角）时，可得到 ，从而得到 ，再利用勾股定理运算求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： 的长度不变，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵四边形 为矩形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问3详解】
连接 ，过点 作 ，垂足为 ，如图所示：
∴ ， ，
由题意可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴四边形 是矩形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时（均为钝角）， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
