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2023 学年第二学期九年级 5 月自适应练习 数学学科
（完卷时间100分钟， 满分150分）
一、选择题 （本大题共6题）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸
的相应位置上】
1. 下列二次根式，被开方数中各因式的指数都为1的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、因为 ，4的指数不是1，故本选项不符合题意；
B、被开方数 的指数为1，故本选项符合题意；
C、 的指数为2，故本选项不符合题意；
D、 的指数为5，故本选项不符合题意；
故选：B．
2. 下列计算正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式．根据合并同类项，单项式除以单项式，单项式乘单
项式的法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、 与 不能合并，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；D、 ，故D符合题意；
故选：D．
3. 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，正比例函数的性质．根据反比例函数的性质及正比例函数的性
质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、 中， ，
函数值 随自变量 的值增大而增大，符合题意；
B、 中， ，
函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每一象限内函数值 随自变量 的值增大而增大，不符合
题意；
C、 中， ，
函数图象的两个分支分别位于一、三象限，在每一象限内函数值 随自变量 的值增大而减小，不符合
题意；
D、 中， ，
函数值 随自变量 的值增大而减小，不符合题意．
故选：A．
4. 超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量
（单位：g）平均数和标准差分别为x，s，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和标准差分别为 ，则下列
结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】本题考查的是平均数、标准差，标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，
则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据平均数的概念、标准差的性质判断即可．
【详解】解：货架上原有鸡蛋的质量的平均数和该顾客选购的鸡蛋的质量平均数的大小无法比较，
而货架上原有鸡蛋的质量的方差大于该顾客选购的鸡蛋的质量的方差，
∴货架上原有鸡蛋的质量的标准差大于该顾客选购的鸡蛋的质量的标准差，
∴ ，
故选：D．
5. 如图1， 中， ， 为锐角．要在对角线 上找点 ， ，使四边形
为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是
C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是
【答案】A
【解析】
【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证；
乙方案：由 ，可得 ,即可得 ，
再利用对角线互相平分得证；
丙方案:方法同乙方案．
【详解】连接 交于点甲方案： 四边形 是平行四边形
四边形 为平行四边形．
乙方案：
四边形 是平行四边形
， ，
又
(AAS)
四边形 为平行四边形．
丙方案:
四边形 是平行四边形
， ， ，
又 分别平分
， 即（ASA）
四边形 为平行四边形．
所以甲、乙、丙三种方案都可以．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确
的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键．
6. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好
能组合得到如图2所示的四边形 ．若 ． ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理和三角函数求解．
【详解】∵在 中， ，
∴
在 中， ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 ．
二、填空题 （本大题共12题）
7. 计算： _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方，每个因式分别乘方，即可作答．
【详解】解： ，
故答案为：
8. 因式分解： ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【详解】解：
＝
＝
故答案为：
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先
提公因式．
9. 方程 的解是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解无理方程，注意：解无理方程一定要进行检验．方程两边平方得出 ，
求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解： ，
方程两边平方，得 ，
整理得： ，
，
或 ，
解得： 或 ，
经检验： 是原方程的解， 不是原方程的解，
所以原方程的解是 ．
故答案为： ．
10. 如果关于x的一元二次方程 有实数根，那么实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式．根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出 的范
围即可．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
△ ，
解得： ，
则 的取值范围是 ．
故答案 ： ．
为11. 有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有 1点、2点、…、6点的标记，掷一次骰子，向上
的一面出现的点数不大于4的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查概率公式．根据骰子的特点，可知掷一次骰子共有六种等可能性，其中向上的一面出现
的点数不大于4的有四种可能性，然后即可计算出掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于4的概率．
【详解】解：由骰子的特点可知：掷一次骰子共有六种等可能性，其中向上的一面出现的点数不大于 4的
有四种可能性，
掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于4的概率是 ，
故答案为： ．
12. 《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以
锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，
用锯去锯这木材，锯口深 等于1寸，锯道 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆形木材的直径___________寸；
【答案】26
【解析】
【分析】延长DC，交⊙O于点E，连接OA，由题意易得DE即为⊙O的直径， 寸， 寸，
则有 寸，设OA=x寸，最后根据垂径定理及勾股定理可进行求解．
【详解】解：延长DC，交⊙O于点E，连接OA，如图所示：由题意得CD⊥AB，点C为AB的中点， 寸， 寸，
∴DE为⊙O的直径，
∴ 寸，
设OA=x寸，则 寸，
∴在Rt△AOC中， ，即 ，
解得： ，
∴圆形木材的直径为26寸；
故答案为26．
【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
13. 某校高一年级一班数学单元测试全班所有学生成绩的频数分布直方图如图所示(满分100分,学生成绩
取整数),则成绩在90.5 95.5这一分数段的频率是________
∼【答案】0.4
【解析】
【分析】由每一组内的频数总和等于总数据个数得到学生总数，再由频率=频数÷数据总和计算出成绩在
90.5～95.5这一分数段的频率．
【详解】解：读图可知：共有（1+4+10+15+20）=50人，其中在90.5～95.5这一分数段有20人，则成绩在
90.5～95.5这一分数段的频率是
故本题答案为：0.4．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须
认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
14. 如图， 是 的中线，点 在 上，延长 交边 于点 ．若 ．设 ，
，那么向量 ________（用含 的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量的运算法则进行计算即可． 本题考查三角形的重心及平面向量，熟知平面向量的
运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵ 是 的中线， ， ，，
，
又∵ ，∴
故答案为∶ ．
15. 规定：两个函数 ， 的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数
与 的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数 （k
为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．
【答案】 或
【解析】
【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．
【详解】解： 函数 （k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
函数 （k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k=0时，函数解析为 ，它的“Y函数”解析式为 ，它们的图象与x轴只有一个交点，
当 时，此函数是二次函数，
它们的图象与x轴都只有一个交点，
它们的顶点分别在x轴上，
，得 ，
故k+1=0，解得k=-1，
故原函数的解析式为 ，
故它的“Y函数”解析式为 ，
故答案为： 或 ．【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二
次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
16. 在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼
了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离 与他所用的时间 的关系如
图所示．当小明离家 时，他离开家所用的时间是________分．
【答案】12或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用．小明离家 时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育
场的过程中存在离家 ，利用路程 速度可得此时间，第二个时间利用 段解析式可求得．
【详解】解：小明家离体育场的距离为 ，小明跑步的平均速度为 ，
当小明离从家出发 时，所用时间为： （分钟）；
如图， ， ，
设 的解析式为： ，则 ，
解得 ，
的解析式为： ，
当 时， ，解得 ，
即小明返回离家 时，他离开家所用的时间是 ．
综上所述，当小明离家 时，他离开家所用的时间是 或 ．
故答案为：12或 ．
17. 如图，在正方形 的边 上取一点 ，连接 ，将 沿 翻折，点 恰好与对角线
上的点 重合，连接 ，若 ，则 的面积是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识．由折叠可得
， ，且 ，可得 ， 即可求对角线
的长，则可求 面积．【详解】解：如图，连接 交 于 ，
为正方形，
， ， ， ， ．
沿 翻折，
， ， ， ，
，
，
，
，
，
．
．
故答案为： ．
18. 如图，在 中， ， ，点D在边 上（不与点B，点C重合），连接 ，
点E在边 上， ．已知点H在射线 上，连接 交线段 于点G，当 ，
且 时，则 ________．【答案】 或
【解析】
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．
根据点H在射线 上， ，有以下两种情况：①当点H在线段 上时，过点A作 交
延长线于 F，则 ，过点D作 于M，证四边形 为矩形得 ，证
，推出 ，再证 ，由此可得 的值；②当点H在
的延长线上时，过点A作 交 延长线于F，同理可得 的值．
【详解】解：∵点H在射线 上， ，
∴有以下两种情况：
①当点H在线段 上时，过点A作 交 延长线于F，过点D作 于M，如图1所
示：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当点H在 的延长线上时，过点A作 交 延长线于F，如图2所示：则 ，
同理可证： ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 ．
三、解答题 （本大题共7题）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的运算．根据分数指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质以及分母有理化的方法
分别进行计算，即可得出答案．
【详解】解：．
20. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程
的方法和步骤．先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解，
当 时， ，
∴ 不是原方程的解．
21. 已知：如图，矩形 的对角线 相交于点O， ．（1）求矩形对角线的长．
（2）过O作 于点E，连结BE．记 ，求 的值．
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形对角线的性质，得出△ABO是等腰三角形，且∠BOC=120°，即∠AOB=60°，则
△ABO为等边三角形，即可求得对角线的长；
（2）首先根据勾股定理求出AD，再由矩形的对角线的性质得出OA=OD,且OE⊥AD，则AE= AD，在
Rt△ABE中即可求得 ．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形
，
是等边三角形，
，
所以 ．
故答案为：4．
（2）在矩形 中， ．
由（1）得， ．又
在 中， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的对角线性质，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一以及在直角三角形中
求锐角正切的知识点，灵活应用矩形对角线的性质是解题的关键．
22. 某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆 绕点O匀速旋转，另一曲臂杆 始终保持与
地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度 为
， ， ，入口宽度为 ．
（1）如图2，因机器故障，曲臂杆 最多可逆时针旋转 ，求此时点A到地面的距离；
（2）在（1）的条件下，一辆宽为 、高为 的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数
据： ， ）
【答案】（1）点 到地面的距离约为 ；
（2）一辆宽为 、高为 的货车可顺利通过入口．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，根据题意可得： ，
，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，再根据已知易得
，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（ 2 ） 当 ， 且 时 ， 设 交 于 点 ， 根 据 题 意 可 得 ： ，
，从而可得 ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从
而求出 的长，比较即可解答．
【小问1详解】
解：过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，
由题意得： ， ，
在 中， ，
，
， ，
，
，
此时点 到地面的距离约为 ；
【小问2详解】解：一辆宽为 、高为 的货车可顺利通过入口，
理由：如图：当 ，且 时，设 交 于点 ，
由题意得： ， ，
，
在 中， ，
，
，
入口宽度 为 ，
，
，
一辆宽为 、高为 的货车可顺利通过入口．
23. 爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
（1）【问题发现】如图1所示，若 是 的角平分线，可得到结论： ．
小李的解法如下：过点D作 于点E， 于点F，过点A作 于点G，∵ 是 的角平分线，且 ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ；
（2）【类比探究】如图2所示，若 是 的外角平分线， 与 的延长线交于点D．求证：
；
（3）【直接应用】如图3所示，在 中， ， 是 的平分线，且交 于
D，若 ， ，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出 ；
（4）【拓展应用】如图4所示，在 中， ， ， ，将 先沿
的平分线 折叠，B点刚好落在 上的E点，剪掉重叠部分（即四边形 ），再将余下
部分（ ）沿 的平分线 折叠，再剪掉重叠部分（即四边形 ），直接写出剩余部分
的面积为 ．
【答案】（1）
（2）见解析 （3） ；
（4）
【解析】
【分析】（1）根据角的平分线性质定理解答即可；（2）过点D作 于N，过点D作 于M．过点A作 于点P．仿照第一问的解
答求解即可；
（3）利用（1）的结论，求得 ，设 ，则 ，利用勾股定理列式计算即可；
（4）先算 ，后两次运用（1）的结论，依次计算即可．
【小问1详解】
解：∵ 是 的角平分线，且 ， ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
证明：过点D作 于N， 于M．过点A作 于点P．
∵ 是 的角平分线，
∴ ．
∴ ， ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵ 中， ， 是 的平分线，且交 于D，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，即 ，
解得 （负值舍去），
∴ ；
【小问4详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵将 先沿 的平分线 折叠，
∴ ， ， ， ，
∴ ，由（1）可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
同理可求： ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的性质，
熟练掌握角的平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为 ，点C在y轴正半轴，且 ，抛物线
经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点 为直线 上方抛物线上一动点；
①联结 、 ，设直线 交线段 于点 ， 的面积为 ， 的面积为 ，当点 的
横坐标为 时，求 的值（用含 的代数式表示）；
②是否存在点 ，使 等于 的2倍？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义，求出 点坐标，将 ， 坐标代入抛物线解析式求解即可；
（2）①因为 和 等高，所以它们的面积比就是底边 和 的比，先用待定系数法求出直
线 和 的表达式，联立求出 的坐标，从而得解；
②延长 交 轴于 ，在直线 上取点 ， 在 上方，由对顶角相等可知， ，由
三角形外角的性质可知， ，再根据两个坐标轴垂直可知， ，从而得解．
【小问1详解】
解： ，
，
，
，
在 的正半轴，
，
，
将 点坐标代入抛物线表达式得： ，
解得： ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①设直线 的表达式为： ，
将 点坐标代入得： ，解得： ，
直线 的表达式为： ，
的横坐标为 ，
，
令抛物线 ，得： ，
解得： ， ，
，
设直线 的表达式为： ，
将 点坐标代入直线 的表达式得： ，
，
直线 的表达式： ，
联立直线 和 的表达式：，
解得： ，
，
和 等高，
；
②存在，
延长 交 轴于 ，在直线 上取点 ， 在 上方，如图：
，
，
，
，
又 ，
，
，
设直线 的表达式为： ，将 点坐标代入表达式得： ，
，
直线 的表达式为： ，
联立直线 和抛物线解析式得： ，
解得： ， ，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，合理运用待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数
性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定与性质是本题解题的关键．
25. 在 中， ， ， ，点O是 边上动点，以O为圆心， 为半
径的 与边 的另一交点为D，过点D作 的垂线，交 于点E，交 于点F，连结 ．
（1）如图1，当 时， 求 的半径长；
（2）设 ， ，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）若以A为圆心的 与 有公共点D、E，当 恰好也过点B时，求 的长．
【答案】（1） 的半径长为 ；
（2） ；（3） 的长为 或 ．
【解析】
【分析】（1）连接 ，证明四边形 为平行四边形，利用相似求出 ，再在
中，根据勾股定理求出半径；
（2）作 于M，利用相似表示出 和 ，再根据勾股定理求出 即可；当点D在点B处时，
根据勾股定理求出半径即可讨论出x的取值范围；
（3）若以A为圆心的 与 有公共点D、E，当 恰好也过点B时， ，把 代关
系式，求出x即可解答．
【小问1详解】
解：如图1，连接 ，
设半径为r，
∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 半径长为 ；
的
【小问2详解】
解：如图2，作 于M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
当点D在点B处时，
如图3，连接 ，
在 中，
，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；【小问3详解】
解：当 经过点B、点E时， ，
把 代入 ，
整理得
解得 或 ，
∴ 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的应用及勾股定理的应用．解题的关键是灵活运
用所学知识解决问题．
