精品解析：上海市格致中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高二_下学期_3：期末

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 格致中学 2022 学年第二学期高二年级数学期末 2023.6 一、填空题：（本题共有 12个小题，每小题 3分，满分 36分） n (1, 3) 1. 已知直线l的一个法向量是 ，则此直线的倾斜角的大小为__．  【答案】 6 【解析】 【分析】设直线的方向向量为m  (a,b)，直线的倾斜角为．利用m  n  0，即可得出．   【详解】解：设直线的方向向量为m(a,b)，直线的倾斜角为．   则m na 3b0，  b 3   tan， a 3   ， 6  故答案为： ． 6 【点睛】本题考查了直线的方向向量与法向量、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础 题． 2. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为______． 3 3 【答案】 ## 3 3 【解析】 【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，即为圆锥的母线 长，再求得圆锥的高，从而求得体积即可 【详解】∵圆锥的底面半径为1，∴侧面展开图的弧长为2， 又∵侧面展开图是半圆，∴侧面展开图的半径为2，即圆锥的母线长为2，故圆锥的高为 22 1 3， 1 3 故体积V  12 3   3 3 3 故答案为：  3 第 1 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3. 已知随机变量X服从二项分布B5,p 0 p1 ，且EX2，则DX______. 6 【答案】 ##1.2 5 【解析】 2 2 【分析】根据二项分布的期望公式，求得 p  ，得到X B(5, )，结合方差的公式，即可求解. 5 5 【详解】由题意知，随机变量X 服从二项分布B5,p ， 2 2 因为EX2，可得5p2，解得 p  ，即X B(5, )， 5 5 2 2 6 所以DX5 (1 ) . 5 5 5 6 故答案为： . 5 y2  4. 已知双曲线x2  1(b0)的两条渐近线的夹角为 ，则b_______． b2 3 3 【答案】 或 3 3 【解析】 【分析】首先判断渐近线的倾斜角，再求b的值. 【详解】由条件可知双曲线的其中一条渐近线方程是y bx， b0    因为两条渐近线的夹角是 ，所以直线y bx的倾斜角是 或 ， 3 6 3  3  即btan  或btan  3. 6 3 3 3 故答案为： 或 3 3 5. 已知P1,m 是抛物线y2 2pxp0上一点，F为该抛物线的焦点， PF 2，则m______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出 p，进而求出m作答. p 【详解】抛物线y2 2pxp0的准线方程为x ，而F为该抛物线的焦点，P1,m 在抛物线上， 2 p 因此 PF 1 2，解得 p2，则抛物线方程为y2 4x，即有m2 4， 2 第 2 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 所以m2. 故答案为：2 6. 设E是正方体ABCDABC D 的棱CC 的中点，在棱AA 上任取一点P，在线段AE上任取一点 1 1 1 1 1 1 1 Q，则异面直线PQ与BD所成角的大小为______．  【答案】 ##90 2 【解析】 【分析】连接BD，利用线面垂直的判定定理证得BD平面AECA，再利用线面垂直的性质定理可知 1 BDPQ，即可得解. 【详解】连接BD，由底面ABCD为正方形，可知BD AC， 由正方体的性质，可知AA 平面ABCD，又BD平面ABCD，则AA  BD 1 1 又AA 1 AC  A，则BD平面A 1 ECA， 由已知可知PQ平面AECA，则BDPQ 1  所以异面直线PQ与BD所成角的大小为 2  故答案为： 2 第 3 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 7. 三颗骰子各掷一次，观察掷得的点数.记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个2   点”，则P A B ______. 60 【答案】 91 【解析】   【分析】先分别计算事件A和事件B的情况数，在根据条件概率的定义计算P A B .   【详解】根据条件概率的定义，P A B 的含义为在事件B发生的前提下，事件A发生的概率， 事件B的情况数为66655591， 对于事件AB，因为“三个点数都不相同”，则只有一个2点，故有C15460种情况， 3 nAB 60   所以P A B   . nB 91 60 故答案为： . 91 8. 如 图 ， 在 平 行 六 面 体 ABCDABC D 中 ， ABADAA 2， AABAAD60， 1 1 1 1 1 1 1 BAD90，则AC的长为______. 1 【答案】2 【解析】     【分析】 AB,AD,AA 可以看成空间的一个基底，由空间向量基本定理可以表达出 AC，则 1 1 第 4 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  AC  AC ，利用向量的相关知识即可求解. 1 1       【详解】AC  AA AC AA  AB AD， 1 1 1 又：ABADAA 2，AABAAD60，BAD  90， 1 1 1  2    2 ∴AC  AC  AC  AA  AB AD 1 1 1 1  2 2 2        AA  AB  AD 2AA AB2AA AD2ABAD 1 1 1 2 2 2        AA  AB  AD 2 AA  AB cosAAB2 AA  AD cosAAD2 AB  AD cosBAD 1 1 1 1 1  22 22 22 222cos60 222cos60 0 2. 故答案为：2. 9. 设mR，若关于x的方程x3 x2 xm有3个不同的实根，则m的取值范围是______.  5  【答案】 1,   27 【解析】 【分析】先令g(x) x3x2 xm，用导数的方法判断函数gx 的单调性，得到gx 的极值，得到函 数gx 有三个不同零点，由极大值大于0，极小值小于0，即可得出结果. 【详解】记g(x) x3x2 xm， 令gx3x2 2x1=0， 1 得x1或x=- ， 3 1 由gx0得x1或x ，此时gx 为增函数， 3 1 由gx0得  x1，此时gx 为减函数， 3 1  1 5 即当x=- 时，函数gx 取得极大值g    m ，当x1时，gx 取得极小值，即 3  3 27 g(1)m1， 因为关于x的方程x3x2 xm0有三个不同的实根， 第 5 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 所以函数gx 有三个不同零点，   1  5 g    0 m 0 5 因此，只需  3 ，即 27 ，解得1m ， 27   g10  m10  5  即关于x的方程x3 x2 xm有三个不同的实根m的范围是 1,  ．  27  5  故答案为： 1, .  27 x2 y2 10. 设椭圆:  1ab0的右焦点为Fc,0 ，点A3c,0 在椭圆外，P、Q在椭圆上，且 a2 b2 1 P是线段AQ的中点.若直线PQ、PF 的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为______. 2 2 1 【答案】 ## 2 2 2 【解析】 1 【分析】取线段PQ的中点M ，连接OM ，推导出OM//PF，可得出k k k k  ，利用点差 OM PQ PF PQ 2 b2 法可求得 的值，由此可求得椭圆的离心率的值. a2 【详解】如下图所示： 由题意可知，点Ec,0 为椭圆的左焦点， 因为点A3c,0 、Fc,0 ，易知点F 为线段AE的中点， 又因为P为AQ的中点，所以，PF//QE， AP AF 取线段PQ的中点M ，连接OM ，则  2，所以，OM//PF， PM OF 第 6 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 所以，k k ，故k k k k  ， OM PF OM PQ PF PQ 2  x x y  y  设点Px ,y  、Qx ,y  ，则点M  1 2 , 1 2 ， 1 1 2 2  2 2  x2 y2 1  1 1  a2 b2 x2 x2 y2  y2 y2  y2 b2 所以， ，两个等式作差可得 1 2  1 2 0，可得 1 2  ， x 2 2  y 2 2 1 a2 b2 x 1 2 x 2 2 a2 a2 b2 y  y 1 2 0 y  y y2  y2 b2 1 2 所以，k k   1 2  1 2   ， OM PQ x x x x x2 x2 a2 2 1 2 0 1 2 1 2 2 c c2 a2 b2 b2 1 2 所以，椭圆的离心率为e    1  1  . a a2 a2 a2 2 2 2 故答案为： . 2 11. 已知对于任意xR，不等式ex axb都成立（e是自然对数的底数），则ab的最小值是______. 1 【答案】 e 【解析】 【分析】令 f xex ax，由题意可知，b f x ，对实数a的取值进行分类讨论，求出 f x 的最 min 小值，可得出abalna，令gaalna，其中a0，利用导数求出函数ga 的最小值，即可得出 ab的最小值. 【详解】对任意的xR，不等式ex axb恒成立，等价于bex ax， 令 f xex ax，其中xR，则 fxex a. ①当a0时，则 fxex a 0对任意的xR恒成立， 所以，函数 f x 在R上单调递增， f x 无最小值，不符合题意； ②当a0时，由 fx0可得xlna，由 f¢(x)>0可得xlna， 所以，函数 f x 的减区间为 ,lna ，增区间为 lna, ， 所以， f x  f lnaelna alna aalna， min 第 7 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 所以，baalna，则abalna， 令gaalna，其中a0，则galna1， 1 1 由ga0可得0a ，由ga0可得a  ， e e  1 1  所以，函数ga 的减区间为 0, ，增区间为 , ，  e e  1 1 1 所以，ga  g    ，故ab的最小值为 . min e e e 1 故答案为： . e 12. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C:(x2  y2)3 4x2y2被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）. 给出下列三个结论： ①曲线C关于直线y  x对称； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1； ③存在一个以原点为中心、边长为 2 的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________. 【答案】①② 【解析】 【分析】 将(y,x)代入C:(x2  y2)3 4x2y2也成立得①正确；利用不等式可得 x2  y2 1，故②正确；联立 y x  得四个交点，满足条件的最小正方形是以A,B,C,D为中点，边长为2的正方形，故③ (x2  y2)3 4x2y2 不正确. 【详解】对于①，将(y,x)代入C:(x2  y2)3 4x2y2得(y2 x2)3 4y2x2成立，故曲线C关于直线y  x 对称，故①正确； 第 8 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (x2  y2)3 (x2  y2)2 对于②，因为  x2y2  ，所以x2y2 1，所以 x2  y2 1， 4 4 所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确； y x 1 2 2 2 2 对于③，联立 得x2  y2  ，从而可得四个交点A( , )，B( , )， (x2  y2)3 4x2y2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C( , )，D( , )， 2 2 2 2 依题意满足条件的最小正方形是各边以A,B,C,D为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中 心、边长为 2 的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界），故③不正确. 故答案为：①② 【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中 档题. 二、选择题：（本题共有 4个小题，每小题 4分，满分 16分） 13. 已知事件A、B是相互独立事件，A、B分别是A、B的对立事件，那么下列等式中不一定成立的是 （ ） A. PAB PAPB B. P  B A   PB C. P  AB    1PA    1PB  D. PA  B PAPB 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件的性质判断A，根据条件概率公式B，再由对立事件的性质判断C，根据和事件的 性质判断D． 【详解】因为A、B是相互独立事件，A、B分别是A、B的对立事件， 所以A、B是相互独立事件， 所以PAB PAPB ，A正确； P(AB) P(A)P(B) P(B|A)  P(B)，B正确； P(A) P(A) P  AB  P(A)P(B)  1PA    1PB  ，C正确； 第 9 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) PA  B PAPB P(AB)，D不一定成立． 故选：D． 14. 已知函数y  f x xR ，其导函数记为y  fx xR ，有以下四个命题： ①若y  f x 为偶函数，则y  fx 为奇函数； ②若y  fx 为偶函数，则y  f x 为奇函数； ③若y  f x 为周期函数，则y  fx 也为周期函数； ④若y  fx 为周期函数，则y  f x 也为周期函数. 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数的定义和复合函数求导可判断选项A；通过举反例可判断选项B；由周期函数的定义和 复合函数求导可判断选项C；通过举反例可判断选项D. 【详解】对于①，若y  f x 为偶函数，则 f x f x， 两边取导，得f x   fx，即fx fx ，   函数y  fx 为奇函数，故①为真命题； 对于②，若y  fx 为偶函数，则y  f x 不一定为奇函数. 例如 f(x) x1， f(x)1， 此时y  fx 为偶函数，y  f x 不是奇函数，故②为假命题； 对于③，若y  f x 为周期函数， 即 f(xT) f(x)，则 f ¢(x+ T)×(x+ T)¢= f ¢(x)， 得 f ¢(x+ T)= f ¢(x)，故③为真命题； 对于④，若y  fx 为周期函数，则y  f x 不一定为周期函数. 比如 f(x)cosx1，但 f(x)sinxx， 第 10 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 显然y  fx 为周期函数，则y  f x 不是周期函数， 故④为假命题. 真命题的个数有2个. 故选：B 15. 已知Pa ,b  与P a ,b  是直线y kx1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组 1 1 1 2 2 2 a xb y 1, 1 1  的解的情况是（ ） a xb y 1  2 2 A. 无论k、 p 、 p 如何，总是无解 1 2 B. 无论k、 p 、 p 如何，总有唯一解； 1 2 C. 存在k、 p 、 p ，使之恰有两解 1 2 D. 存在k、 p 、 p ，使之有无穷多解 1 2 【答案】B 【解析】 a xb y 1 【分析】根据题意，可得O  P  与O  P  不共线，得到ab a b ，进而得到 1 1 一定有唯一解，即 1 2 1 2 2 1 a xb y 1  2 2 可得到答案. 【详解】因为Pa ,b  与P a ,b  是直线y kx1（k为常数）上两个不同的点， 1 1 1 2 2 2   且直线y kx1斜率存在，且不过原点，所以OP 与OP 不共线，可得ab a b ， 1 2 1 2 2 1 a xb y 1 所以关于x和y的方程组 1 1 ，一定有唯一解. a xb y 1  2 2 故选：B. 16. 如图，把一个长方形的硬纸片ABCD沿长边AB所在直线逆时针旋转45得到第二个平面ABEF，再 沿宽边 AF 所在直线逆时针旋转45得到第三个平面AFGH ，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面 角大小的余弦值是（ ） 第 11 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 6 6 2 1 3 A. B. C. D. 4 4 2 2 【答案】C 【解析】 【分析】将两个单位正方体叠放在一起可构造模型，确定三个平面的位置后，由线面垂直可得两个平面的 法向量，根据法向量夹角可确定所求角的余弦值. 【详解】如图，把两个单位正方体叠放在一起， 平面A B C D ，平面A BC D ，平面A BC D 分别代表第一，二，三个平面， 0 0 2 2 0 0 0 0 0 1 1 0  四边形B 2 C 2 C 0 B 0 为正方形，C 0 B 2  B 0 C 2 ，  C 2 D 2 平面B 2 C 2 C 0 B 0 ，C 0 B 2 平面B 2 C 2 C 0 B 0 ，C 2 D 2 C 0 B 2 ，  B 0 C 2  C 2 D 2 C 2 ，B 0 C 2 ,C 2 D 2 平面A 0 B 0 C 2 D 2 ，C 0 B 2 平面A 0 B 0 C 2 D 2 ； 同理可得：C D 平面A BC D ； 0 1 0 1 1 0   平面A B C D 的法向量为C B ，平面A BC D 的法向量为C D ， 0 0 2 2 0 2 0 1 1 0 0 1 C D C B  2，B D  12 12 22  6，  0 1 0 2 2 1 226 1 2π   2π cosB C D   ，B C D  ，即C B 与C D 的夹角为 ， 2 0 1 2 2 2 2 2 0 1 3 0 2 0 1 3 1 所求锐二面角的大小的余弦值是 . 2 第 12 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故选：C． 三、解答题：（本题共有 4大题，满分 48分.解题时要有必要的解题步骤） 17. 如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD，AB BD DC 2，BE  AD，E 为垂足. （1）求证：BE 平面ACD； （2）若F 为AC的中点，求四面体ABEF的体积. 【答案】（1）证明见解析 1 （2） 3 【解析】 【分析】（1）证明出CD平面 ABD，可得出 BE CD，由等腰三角形三线合一的性质可得出 BE  AD，再结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出EF平面ABD，并计算出EF 的长以及 ABE的面积，利用锥体的体积公式可求得四面体  ABEF的体积. 【小问1详解】 证明：因为AB平面BCD，CD平面BCD，所以，CD AB， 因为CDBD，AB  BD B，AB、BD平面ABD，所以，CD平面ABD， 因为BE 平面ABD，所以，BE CD， 因为ABBD，E为AD的中点，则BE  AD， 因为CD  AD D，CD、AD平面ACD，因此，BE 平面ACD. 【小问2详解】 1 解：因为E、F 分别为AD、AC的中点，则EF//CD且EF  CD1， 2 因为CD平面ABD，则EF平面ABD， 因为AB平面BCD，BD平面BCD，所以，BDAB， 第 13 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 1 则S  ABBD 22 2， △ABD 2 2 1 1 因为E为AD的中点，则S  S  21， △ABE 2 △ABD 2 1 1 1 因此，V  S EF  11 . FABE 3 △ABE 3 3 18. 某市一健身连锁机构对去年来该机构健身的100名会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为 该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图. 若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月 内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健 5 身达人”中有 是“年轻人”. 6 （1）根据上图的数据，补全下方22列联表，并依据显著性水平0.05的独立性检验，分析一个人是 “健身达人”与这个人为“年轻人”是否有关联？ 年轻人 非年轻人 总计 健身达人 健身爱好者 总计 100 nad bc2 附：2  ，nabcd ， p  2 k  ，与k的若干对应数值见 abcdacbd 下表： 第 14 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  0.25 0.05 0.005 k 1.323 3.841 7.879 （2）该连锁机构随机选取3名会员进行回访.设随机变量X表示选取的3人中既是“年轻人”又是“健身达 人”的人数，求X的分布及其期望. 【答案】（1）列联表见解析，不能 3 （2）分布列见解析，EX 2 【解析】 【分析】（1）根据题意完善列联表，求2，并与临界值对比分析；  1 （2）根据题意分析可得X  B  3, ，结合二项分布求分布列和期望.  2 【小问1详解】 因为“年轻人”（20岁-39岁）所占的频率为0.4550.3450.8，人数为0.810080， “非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）的人数为1008020， “健身达人”所占的频率为0.1070.1920.3010.6，人数为0.610060， “健身爱好者”的人数为1006040， 5 其中“年轻人”且“健身达人”的人数为 6050， 6 据此22列联表为 年轻人 非年轻人 总计 健身达人 50 10 60 健身爱好者 30 10 40 总计 80 20 100 100501010302 25 可得2   1.0423.841， 60408020 24 所以“健身达人”与这个人为“年轻人”没有关联. 【小问2详解】 第 15 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 50 1 由题意可知：既是“年轻人”又是“健身达人”的频率  ， 100 2  1 用频率估计概率，可得X  B  3, ，则有：  2 3 2  1 1 1  1 3 PX 0  1   ,PX 1C1   1   ，  2 8 3 2  2 8 2 3 1  1 3 1 1 PX 2C2     1   ,PX 3    ， 3 2  2 8 2 8 则X的分布为 X 0 1 2 3 1 3 3 1 P 8 8 8 8 1 3 期望EX3  . 2 2 x2 y2 19. 已知椭圆:  1ab0的离心率为 1 ，F 、F 为椭圆的左、右焦点， FF 2，P a2 b2 2 1 2 1 2 为椭圆上的动点. （1）求椭圆的标准方程； （2）当FPF 取最大值时，求△PFF 的面积； 1 2 1 2 （3）已知r为正常数，过动点P作圆x2  y2 r2的切线PQ、PR，记直线PQ、PR的斜率分别为k 、 1 k ，是否存在r，使得k k 为定值？若存在，求出r及k k 的值；若不存在，请说明理由. 2 1 2 1 2 x2 y2 【答案】（1）  1 4 3 （2） 3 （3）不存在，理由见解析 【解析】  c 1 e   a 2  【分析】（1）根据题意可得2c2 ，解得a，b，c，即可得出答案．  a2 b2 c2   第 16 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 6 （2）设|PF |m，|PF |n，由椭圆的定义可得mn2a 4，由余弦定理可得cosFPF  1， 1 2 1 2 mn 由基本不等式可得cosFPF 取得最小值 1 ，可得FPF 取得最大值，即点P为短轴的一个顶点，再计算 1 2 2 1 2 1 S  |FF ||OP|，即可得出答案． PF1F2 2 1 2 （3）设P(x ，y )，，根据PQ是圆x2  y2 r2的切线，可得(x2 r2)k2 2x y k  y2 r2 0，同理可得 0 0 0 1 0 0 1 0 (x2 r2)k2 2x y k  y2 r2 0，进而可得k ，k 为方程(x2 r2)k2 2x y k y2 r2 0的两个根， 0 2 0 0 2 0 1 2 0 0 0 0 由韦达定理可得答案． 【小问1详解】  c 1 e   a 2  根据题意可得2c2 ，  a2 b2 c2   解得a2，b 3，c1， x2 y2 所以椭圆的方程为  1． 4 3 【小问2详解】 设|PF |m，|PF |n， 1 2 由椭圆的定义可得mn2a 4， 又|FF |2c2， 1 2 |PF |2 |PF |2 |FF |2 m2 n2 22 cosFPF  1 2 1 2  1 2 2|PF ||PF | 2mn 1 2 (mn)2 2mn4 42 2mn4 122mn 6     1， 2mn 2mn 2mn mn 因为mn2 mn（当且仅当mn2时，取等号）， 所以42 mn ，即mn4， 6 3 所以  ， mn 2 6 1 所以 1 ， mn 2 所以当且仅当mn2时，cosFPF 取得最小值 1 ，FPF 取得最大值， 1 2 2 1 2 第 17 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 即点P为短轴的一个顶点， 1 1 所以S  |FF ||OP| 2cbcb1 3 3． PF1F2 2 1 2 2 【小问3详解】 设P(x ，y )，则直线PQ的直线方程为y y k (xx )， 0 0 0 1 0 又PQ是圆x2  y2 r2的切线， k x  y 所以 1 0 1 r， 1k2 1 即(x2 r2)k2 2x y k  y2 r2 0， 0 1 0 0 1 0 同理可得(x2 r2)k2 2x y k  y2 r2 0， 0 2 0 0 2 0 所以k ，k 为方程(x2 r2)k2 2x y k y2 r2 0的两个根， 1 2 0 0 0 0 y 2 r2 所以k k  0 ， 1 2 x 2 r2 0 因为P(x ，y )为动点， 0 0 y 2 r2 所以k k  0 ，不存在定值． 1 2 x 2 r2 0 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于 a,b,c的方程组，解出a,b,，从而写出椭圆的标准方程． 20. 已知定义域为R的函数y  f x ，其导函数为y fx ，满足对任意的xR都有 fx 1. sinx （1）若 f xax ，求实数a的取值范围； 4 （2）若存在M 0，对任意xR，成立 f x M ，试判断函数y f xx的零点个数，并说明理 由； （3）若存在a、bab ，使得 f a f b ，证明：对任意的实数x、x a,b ，都有 1 2 ba f x  f x   . 1 2 2 第 18 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  3 3 【答案】（1）  ,   4 4 （2）1个，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数 f(x)求导，依条件 fx 1求解不等式，参变分离求出a的取值范围； （2）利用导数判断函数y f xx的单调性，再结合函数值域可判断零点个数； f x  f x  （3）利用导数的定义得 1 2 1，再由不等式的性质，适当放缩得证. x x 1 2 【小问1详解】 sinx cosx 若 f xax ，则 f ¢(x)= a+ ， 4 4 由题意，对任意的xR都有 fx 1， cosx cosx 则 a 1，即1a 1， 4 4 cosx cosx 所以1 a1 ， 4 4 cosx 3 cosx 3 由于1 的最小值为 ，1 的最大值为 ， 4 4 4 4 3 3  3 3 所以 a ，即实数a的取值范围为  , ； 4 4  4 4 【小问2详解】 依题意，y fx10， 所以，y f xx在R 上为减函数，所以至多一个零点； fx MM  f xM ，， 当xM 1时，y f xx f M 1M 10， 当xM 1时，y f xx f M 1M 10， 所以y f xx存在零点，综上存在1个零点； 【小问3详解】 第 19 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) f x  f x  因为 fx 1，由导数的定义得 1 2 1， x x 1 2 即 f x  f x   x x ， 1 2 1 2 不妨设a x  x b 1 2 ba ba 若 x x  ，则 f x  f x   x x  1 2 2 1 2 1 2 2 ba 若 x x  ， 1 2 2 则 f x  f x   f x  f b f a f x  1 2 1 2  f x  f b  f a f x  1 2 bx x a 1 2 ba ba ba  . 2 2 命题得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形． （2）构造新的函数hx ． （3）利用导数研究hx 的单调性或最值． （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值 问题． 第 20 页 共 20 页