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第 23 讲 周期工程问题
一、知识要点
周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先
要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要
注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。
二、精讲精练
【例题1】一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替
甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？
把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。
①需循环的次数为：1÷（+）=＞7（次）
②7个循环后剩下的工作量是：1-（+）×7=
③余下的工作两还需甲做的时间为：÷=（小时）
④完成任务共用的时间为：2×7+=14（小时）
答：完成任务时需共用14小时。
练习1：
1、一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、乙……
的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？
2、一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。如果先由甲打1小时，然后由
乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少
小时？
13、一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；甲、乙……的
顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？
【例题2】一项工程，甲、乙合作26天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，
恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天
才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还
是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流
方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙甲
乙甲乙甲……乙甲乙甲
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即
甲的工作效率是乙的2倍。
①甲每天能做这项工程的1÷26×=
②甲单独做完成的时间1÷=40（天）
答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。
练习2：
1、一项工程，乙单独做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，也
恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天
才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？
2、一项工程，甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，恰
好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多天才
能完成。这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？
23、一项工程，甲、乙合作12小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙做，这样轮流交
替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交替做，比上次轮
流做要多小时才能完成。这项工程由甲独做几小时可以完成？
4、蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管5小时灌满一池水，单开排水管3小时
排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水……的顺序轮流依次各开1小
时，多少小时后水池的水刚好排完？
【例题3】一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。
如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60
个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还
是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流
方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙甲
乙甲乙甲……乙甲乙剩60个
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、
乙工作效率的差。
甲每天做的个数为：60÷（5-3）×5=150（个）
乙每天做的个数为：60÷（5-3）×3=90（个）
答：甲每天做150个，乙每天做90个。
3练习3：
1、一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如
果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩
84个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7：4。师、徒二人每天各做多少个？
2、一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如果死一
天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多天才能完成。如果让甲、乙二人合作，只需2天就可
以完成。现在，由乙独做需要几天才能完成？
3、红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做，这样
交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这样交替轮
流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。如果让师、徒二人合作，只需3
小时36分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个？
【例题4】打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙
两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙
工作2小时……如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？
根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工
作了3小时。
①每循环一次，他们共完成全部工程的（+）×3＝
4②总工作量里包含几个9/20：1÷=2
③甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的1-×2＝
④由于＞，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（-）÷＝
⑤打印这部稿件共需的时间为：6×2+1+=13（小时）
答：打印这部稿件共需13小时。
练习4：
1、一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙管，18分钟
能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1
分钟，乙2分钟……如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？
2、一件工作，甲单独做，需12小时完成；乙单独做需15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工
作，甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小
时……如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？
3、一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做需60天完工。现在，自某年的3月2日两人
一起开工，甲每工作3天则休息1天，乙每工作5天则休息一天，完成全部工程的为几月几日
4、一项工程，甲工程队单独做完要150天，乙工程队单独做完需180天。两队合作时，甲队
做5天，休息2天，乙队做6天，休息1天。完成这项工程要多少天？
5【例题5】有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰
好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，
比原计划多用天。已知甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、
丙合作要多少天完工？
由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3
的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3
的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙丙
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙甲
从中可以退出：丙=甲；由于乙=甲－丙=甲－甲×，又推出乙=甲；与题中“三个工程队的工
效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流方
式用的天数必定如下所示：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲乙
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙丙甲
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙甲乙
由此推出：丙=甲，丙=乙
①丙队每天做这项工程的×=
②乙队每天做这项工程的÷=
③甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷（++）=5（天）
答：甲、乙、丙合作要5天完工。
练习5：
1、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成
呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。
已知甲单独做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完
工？
62、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢
感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。
已知甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天
完工？
3、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数
天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划
多用天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需13天可以完成，且3个工程队的
工效各不相同。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？
4、蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3小时
单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现知池内有池水，
如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的顺序轮流各开1小时，多长时间后水开始溢出水池？
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