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第 21 讲“不变量”解题
一、知识要点
一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有
变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并
解答。
二、精讲精练
【例题1】将 的分子与分母同时加上某数后得 ，求所加的这个数。
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所
以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分
母的，由此可求出新分数的分子和分母。”
分母：（61-43）÷（1－）＝81
分子：81×＝63
81-61＝20或63-43＝20
解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将的分子、
分母同时扩大（18÷2=）9倍。
的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）
约分后所得的在约分前是：＝＝
所加的数是81-61＝20
答：所加的数是20。
练习1：
1、分数的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？
2、分数的分子、分母同加上一个数后得，那么同加的这个数是多少？
3、将这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？
【例题2】将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，则得，求这个分数。
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得”
可知，分母比分子的倍还多2。由“分母加1得”可知，分母比分子的倍少1，从而将原
题转化成一个盈亏问题。
1分子：（2+1）÷（－）=12
分母：12×-1＝17
解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
①将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。＝＝，＝
②原分数的分母是：
18-1＝17或15+2＝17
答：这个分数为。
练习2：
1、将一个分数的分母加上2得，分母加上3得。原来的分数是多少？
2、将一个分数的分母加上3得，分母加上2得。原来的分数是多少？
3、将一个分数的分母加上5得，分母加上4得。原来的分数是多少？
4、将一个分数的分母减去9得，分母减去6得。原来的分数是多少？
【例题3】在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同
一个数，这个分数就等于，求原来的最简分数是多少。
解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即=，=。根据
题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想和的分子和分母再乘以2。所以
＝＝，＝＝
故原来的最简分数是。
解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以
（+）÷2＝
答：原来的最简分数是。
练习3：
1、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一
个数，这个分数就等于，求这个分数。
2、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一
个数，这个分数就等于，求这个分数。
【例题4】将一个分数的分母加3得，分母加5得。原分数是多少？
2解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即＝，＝。根据
题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将和的分子和分母再同
乘以2。则＝＝，＝＝。所以，原分数的分母是（54－3＝）51。原分数是。
解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的，分母加5后是分
子的，因此，原分数的分子是（5－3）÷（－）＝42。原分数的分母是42÷7×9-3=51，原
分数是。
练习4：
1、一个分数，将它的分母加5得，加8得，原来的分数是多少？（用两种方法）
2、将一个分数的分母减去3，约分后得；若将它的分母减去5，则得。原来的分数是多少？（用
两种方法做）
3、把一个分数的分母减去2，约分后等于。如果给原分数的分母加上9，约分后等于。求原分数。
【例题5】有一个分数，如果分子加1，这个分数等于；如果分母加1，这个分数就等于，这个
分数是多少？
根据“分子加1，这个分数等于”可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这个分数就等
于”可知，分母比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分母是
3×2+2=8。所以，这个分数是。
练习5：
1、一个分数，如果分子加3，这个分数等于，如果分母加上1，这个分数等于，这个分数是
多少？
2、一个分数，如果分子加5，这个分数等于，如果分母减3，这个分数等于，这个分数是多
少？
3三、课后练习
1、的分子、分母加上同一个数并约分后得，那么加上的数是多少？
2、将一个分数的分母加上2得，分母加上2得。原来的分数是多少？
3、一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数
这个分数就等于，求这个分数。
4、一个分数，如果分子减1，这个分数等于；如果分母加11，这个分数等于，这个分数是多
少？
4
