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2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题11 抓不变量解题（分数的基本性质）
知识精讲
一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没
有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，
再转化并解答。
典例分析
【典例分析01】将的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是
18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少 18，
切分子是分母的，由此可求出新分数的分子和分母。”
分母：（61-43）÷（1－）＝81
分子：81×＝63
81-61＝20或63-43＝20
解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将
的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
① 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）
② 约分后所得的在约分前是：＝＝
③ 所加的数是81-61＝20
答：所加的数是20。
【典例分析02】将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，则得，求这个分数。
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去 2
得”可知，分母比分子的倍还多2。由“分母加1得”可知，分母比分子的倍少1，从而将原
题转化成一个盈亏问题。
分子：（2+1）÷（－）=12
分母：12×-1＝17
解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
① 将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。＝＝，＝
② 原分数的分母是：
18-1＝17或15+2＝17
答：这个分数为。
【典例分析03】在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上
减去同一个数，这个分数就等于，求原来的最简分数是多少。
解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即=，
=。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想和的分子和分母再乘以2。
所以
＝＝，＝＝
故原来的最简分数是。
解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以
（+）÷2＝
答：原来的最简分数是。
【典例分析04】将一个分数的分母加3得，分母加5得。原分数是多少？
解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即＝，＝
根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将和的分子和
分母再同乘以2。则＝＝，＝＝。所以，原分数的分母是（54－3＝）51。原分数是。
解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的，分母加5后
是分子的，因此，原分数的分子是（5－3）÷（－）＝42。原分数的分母
是42÷7×9-3=51，原分数是。
【典例分析05】有一个分数，如果分子加1，这个分数等于；如果分母加1，这个分数就
等于，这个分数是多少？
根据“分子加1，这个分数等于”可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这个
分数就等于”可知，分母比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-
2）=3，分母是3×2+2=8。所以，这个分数是。
真题演练
一．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•虞城县期末）当 的分子加上20时，要使分数的大小不变，分母应
（ ）
A．加上20 B．乘4 C．乘5
2．（3分）（2021秋•北票市期末）下列分数中与 大小相等的分数是（ ）
A． B． C．
3．（3分）（2022春•汤阴县期末） 的分子加8，如果要使这个分数的大小不变，那么
分母应该（ ）
A．加30 B．加8
C．扩大为原来的2倍 D．加1
4．（3分）（2022春•陵城区期末）如果一个分数的分子、分母都增加100，而分数的大
小没有改变，那么原来的分数一定是（ ）
A．分子大于分母 B．分子小于分母
C．分子等于分母5．（3分）一个真分数，把它的分子、分母同时加上一个相同的自然数（0除外），所得
的新分数（ ）
A．比原分数小 B．与原分数相等
C．比原分数大
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）（2022春•青岛期末）一个分数，分子、分母的和是43，如果分子、分母都加
上3，所得的分数约分后是 ，原来的分数是 。
7．（2分）（2022春•盐城期末）一个分数，它的分子缩小2倍，分母扩大2倍后得 ，
原来的分数是 ．
8．（2分）（2021春•简阳市 期中）一个分数，分母比分子大15，且与 相等，这个分数
是 。
9．（2分）（2021春•淄博期末）一个分数，分子比分母少10，约分后等于 ，这个分数
是 ． 加上 等于最小的质数．
10．（2分）（2021•宁波模拟）分子和分母的和是23，分母增加19后得一新分数，将这
一新分数化为最简分数为 ，原来的分数是 ．
11．（2分）（2019春•苍溪县期中）一个分数的分子不变，分母除以10，这个分数就
；若分母不变，分子乘5，这个分数就 ．
A．扩大10倍B．缩小10倍C．扩大5倍D．缩小5倍
12．（2分）（2019•湖南模拟） 的分子增加6，分母应增加 ，分数的大小才不会
改变．
13．（2分）（2021•西乡县） 的分母加上18，要使分数的大小不变，分子应加上
。
三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（2分）（2021秋•虞城县期末） 的分子和分母同时乘a，分数的大小不变。（判断对错）
15．（2分）（2022春•巧家县期中）把一个分数的分子乘2，分母除以2，分数的大小不
变． （判断对错）
16．（2分）（2021春•舒兰市期末）分数的分子和分母同时增加或减少同一个数（0除
外）分数的大小不变． ．（判断对错）17．（2分）（2021春•市南区校级期末） 的分母加12，要使分数大小不变，分子也应加
12． ．（判断对错）
18．（2分）（2019•株洲模拟） 的分子加上6，要使分数大小不变，分母也应该加上6．
．（判断对错）
四．解答题（共9小题，满分59分）
19．（6分）（2018秋•闵行区期中）一个分数，如果分子加上4，结果是 ，如果分子加
上9，结果是 ，求原来个分数？
解：设这个分数为 ，则 ＝ ， ＝ ， ﹣ ＝ ﹣ ， ＝ ， ＝ ，所
以 ＝ ﹣ ＝ ﹣ ＝ 。
根据上面计算方法解下题：
一个分数，如果分子加上28，结果是 ；如果分子加上4，结果是 ，求原来的分数。
20．（6分）（2018•东莞市模拟）一个分数的分子与分母的和是23，分母增加19后得到
一个新分数，化简后是 ，求原来的分数．
21．（6分）（2016春•未央区期末）一个分数，加上它的一个分数单位后是1，减去它的
一个分数单位，约分后是 ，这个分数是多少？22．（6分）（2015秋•浦东新区期中）一个分数，如果分子加上4，结果是 ；如果分子
加上9，结果是 ．求原来这个分数．解：设这个分数为 ，则 ＝ ， ＝ ．
﹣ ＝ ﹣
＝
＝
＝ ﹣ ＝ ﹣ ＝
根据上面的计算方法解下题：
一个分数，如果分子加上2，结果是 ；如果分子减去3，结果是 ．求原来这个分数．
23．（7分）（2015春•蓬江区校级期中）一个分数的分子和分母同时除以一个相同的数是
，原来分子与分母的和是80，这个分数原来是多少？
24．（7分）（2013春•象山县校级月考）某分数的分母加上2，分子减去2，所得的新分
数的分母与分子的差是123，约分后得 ．原来的这个分数是多少？
25．（7分）（2011秋•新都区月考）一个分数的分子与分母的和是37，如果分子、分母
同时减少5后，化简后变成 ，原来这个分数是多少？26．（7分）一个分数的分子加上1，这个分数是1，如果把这个分数的分母加上1，这个
分数就是 ，原来这个分数是多少？
27．（7分）欢欢把分数 的分子和分母同时减去同一个数后，得到一个新的分数，再
把这个新分数约分后得到 ，你知道欢欢减去的数是几吗？你是怎么得到这个答案的，
请写出你的思考过程．
