文档内容
新课程小学
《数学培优、竞赛全程跟踪讲·学·练·考》
目 录
（上册）
1、分数的巧算
2、估算
3、定义新运算
4、分数和百分数应用题
5、工程应用题
6、平面图形
7、列方程解应用题（二）
8、容斥原理
（下册）
1、比和比例
2、立体图形
3、行程问题（二）
4、最大和最小（二）
5、钟面问题
6、染色和覆盖
7、方程组
8、不定方程
分数的巧算
1．1 分数、小数的四则混合运算
1[同步巩固演练]
4 7 16
1、63×（1 ）=___________.
7 9 21
1 1 1 1 1 1 1 1
2、（ )( )( )( ) ________.
2 4 4 8 8 16 16 32
3、（全国小学数学奥林匹克竞赛试题）
1
0.01992÷0.004× ___________.
2000
2004(3.46.93.5)
4、 ______________.
3.5693.4
567891011121314
5、
1011121314
6、在（ ）中填上适当的数，使等式成立：
1 1 1 1 1 1 1
1－
2 3 4 5 6 14 15
1 1 1 1
=23×（ + + + ）
1
7、41.2×8.1+11×9 5370.19 _________.
4
[能力拓展平台]
3
1、计算：3.41×9.9×0.38÷(0.19×3 1.1)
10
1234567654321
2、计算：
77777777
1 1 1 1
3、计算：1－
2 4 8 512
1 1 1 1 1 1 1
4、计算：（1+ )(1 )(1 )
(1 )(1 )(1 )
(1 )
2 4 6 10 3 5 9
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 9
5、计算： ( )( )( )
(
)
2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 10 10 10
n个2002
200220022002200220022002 2002 2002
6、计算：
200320032003200320032003 2003 2003
n个2003
(2n1)(n1)n
7、如果12+22+32+…+n2= ，那么152+162+…+212得多少？
6
1．2 分数数列的计算
[同步巩固演练]
1 1 1 1
1、 ________________.
12 23 34 45
21 1 1 1 1 1
2、 ______________.
2 6 12 20 30 42
1 1 1 1
3、 ______________.
47 710 1013 1316
2 2 2 1
4、 ________________.
1113 1315 1517 17
1 1 1 1
5、1 2 3
20 _________________.
2 6 12 420
1 1 1 1
6、 _________________.
123 234 345 456
7、（第三届华杯赛试题）
1 1 1 1 1
_________________.
3 15 35 63 99
8、（第二届希望杯试题）
1 1 1 1 1 1
____________.
2 6 12 20 30 42
[能力拓展平台]
2 2 2 2 2 2
1、计算：
.
12 23 34 45 9899 99100
1 1 1 1 1
2、计算：1 2 3 4
98 .
12 23 34 45 9899
3、（全国小学数学奥林匹克竞赛题）
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1 )( )(1 )( )
2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4
4、（第三届祖冲之杯数学邀请赛试题）
1 1 1
1+
12 123 12 10
5、（第八届希望杯全数学邀请赛试题）
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
计算：（ )(1 )(1 )( )
2 3 1997 2 1996 2 1997 2 3 1996
6、（北京市第四届小学生迎春杯数学竞赛初赛试题）
2 3 4
和式 +…
1(12) (12)(123) (123)(1234)
100
+ ，计算化简后得到一个最简分数，求分母与分子之差.
(123 99)(12 100)
[全讲综合训练]
一、填空题
17
1、85× _______________.
86
31 5 3
2、 (4.85 3.66.153 ) _____________.
4 18 5
0.523659
3、 ________________.
119
1
4、132 131 _________________.
130
1 1 1 1 1 1
5、（111+ )( ) _______________.
6 4 5 4 5 6
3 5 5 5
6、（26 20 ) ) _____________.
7 9 7 9
796976795
7、 ___________________.
796976180
1 1 1 1
8、
________________.
12 23 34 4950
二、选择题。
2 1
1、如果12+[ 0.75( □)3]0.398，方框代表的数是（ ）.
5 2
A、9 B、8 C、10
2、满足下式的n最小等于（ ）。
1 1 1 1 1949
＞
12 23 34 n(n1) 1998
A、1949 B、1998 C、40
1 300
a
3、若 1－ ，则a等于（ ）
7 1 357
71
7
7
A、 B、7 C、357
357
三、解答题
1 2 3 4
1、计算：
2 23 234 2345
1 1 1
2、计算：1000×（1－ )(1 )
(1 )
2 3 1000
1 1 1 1 1 1
3、计算：（1+ )(1 )(1 )(1 )
(1 )(1 )
2 2 3 3 99 99
123246 100200300
4、化简：
234468 200300400
1 1 1 1 1
5、计算：
123 234 345 171819 181920
2 2 2 2
6、
123 234 345 282930
422 42 62 82 102 122
7、计算：
13 35 57 79 911 1113
1 1 1 1 1
8、有9个分数的和 1，它们的分子都是1。其中的5个是 、 、 、 、 ，其余4个数的分
3 7 9 11 33
母个位数都是5，请写出这4个分数。
分数的巧算参考答案
1．1 分数、小数的四则混合运算
[同步巩固演练]
1、100
11 7 16
原式=63×（ ）
7 9 21
=99+49－48
=100
1
2、
32
1 1 1 1 1 1 1 1
原式=
2 4 4 8 8 16 16 32
1
=
32
249
3、
100000
1
原式=4.98×
2000
5249
=
100000
4、2004
2004(3.5696.93.5)
原式=
3.5693.4
=2004
9
5、1
143
56789
原式= 1
1011121314
9
=1
143
6、120，126，130，132
1 1 1 1
因为23=8+15=9+14=10+13=11+12，又因为1－ ，
2 4 8 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
, , ,而 + +
3 6 12 12 5 10 10 7 14 14 8 15 9 14 10 13
1 1 1 1 1 1
23 ，所以（ ）内分别填上120、126、130、132
11 12 120 126 130 132
7、537.5
1
原式 =41.2×8.1+11×9 +41.2×1.9+12.5×1.9
4
1
=41.2×8.1+41.2×1.9+12.5×1.9+11×9
4
=41.2×(8.1+1.9)+1.25×19+11×1.25+11×8
=412+1.25×(19+11)+88
=500+37.5
=537.5
[能力拓展平台]
1、18.6
3.419.90.38
原式 =
0.193.31.1
=3.1×3×2
=18.6
1
2、
1234321
77
原式 =
77777777
1 1
=
11111111 1234321
61
3、
512
25
4、1
63
3 5 7 11 2 4 8
原式=
2 4 6 10 3 5 9
3 2 5 4 7 6 9 8 11
=( )( )( )( )
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
=1×1×1×1×
10
1
=1
10
5、18
1 1 1 1 1
原式 = 11 22 33 44
2 2 2 2 2
1
=22
2
2002
6、
2003
7、2296
原式 =（12+22+…+212）－（12+22+…+142）
21(211)(421) 14(141)(281)
=
6 6
=2296
1.2分数数列的计算
[同步巩固演练]
4
1、
5
6
2、
7
1 1 1 1 1 1
原式 =1－
2 2 2 3 6 7
1
=1－
7
6
=
7
1
3、
16
1 1 1 1 1 1 1 1 1
原式 =（ )
4 7 7 10 10 13 13 16 3
3 1
=
16 3
71
=
16
1
4、
11
20
5、210
21
7
6、
15
1 1 1 1 1 1
原式 =
12 23 23 34 45 56
7
=
15
9
7、
22
1 1 1 1 1
原式 =
13 35 57 79 911
9
=
22
1
8、
7
[能力拓展平台]
49
1、 1
50
1 1 1 1 1
原式 =（1－
)2
2 2 3 99 100
99
= 2
100
49
=1
50
98
2、4851
99
1
3、
5
1 1 1 1 1 1
设a=1+ ,b .
2 3 4 2 3 4
则a－b=1.
1 1
原式=a(b )(a )b
5 5
1 1
=ab aab b
5 5
1
= (ab)
5
81
=
5
9
4、 1
11
2 2 2
原式 =1+
23 34 1011
1
=2×（1－ )
11
9
=1
11
1
5、
1997
1 1 1 1 1 1
设 a,1 b
2 3 4 1996 2 1996
1 1
则 原式 =（a )b(b )a
1997 1997
1 1
=ab baba
1997 1997
1 1
= (ba)
1997 1997
6、 1
1 1 1 1 1 1
原式 =
1 12 12 123 12 99 12 100
1
=1－
12 100
2
=1－
100(1001)
1
=1－
5050
5049
=
5050
分子与分母的差为 1
[全讲综合训练]
一、填空题。
69
1、16
86
17
原式 =（86－1）×
86
17
=17－
86
969
=16
86
2、 9
1
原式 = [(4.856.15)3.63.6]
4
1
= 36
4
=9
60
3、 58
119
11859
原式 =
119
59
=（119－1）×
119
60
= 58
119
1
4、 1
130
1 1
原式 =（132+ )
130 131
131 1
=(131+ )
130 131
1
=1+
130
1
=1
130
5、 181
1 1 1 111
设 a,则原式（111+a）÷a= 1=181
6 4 5 a
6、 37
5 5 5 5
原式=[（ 37]
7 9 7 9
=37
7、 1
49
8、
50
1 1 1 1 1
原式 =1－
2 2 3 49 50
49
=
50
二、选择题
1、 B 2、C 3、A
10三、解答题
119
1、
120
1 1 1 1 1 1 1
原式 =
2 12 23 123 234 1234 2345
1
=1－
120
119
=
120
2、 1
1 2 3 998 999
原式 =1000×
2 3 4 999 1000
=1
3、 50
3 1 4 2 100 98
原式 =
2 2 3 3 99 99
100
=
2
=50
1
4、
4
123
原式 =
234
1
=
4
189
5、
760
1 1 1 1 1 1 1
原式 =（
12 23 23 34 1819 1920 2
1 1 1
=（ )
12 1920 2
189
=
760
217
6、
435
1 1 1 1 1 1
原式 =
12 23 23 34 2829 2930
1 1 217
=
2 870 435
6
7、 6
13
111 1 1
原式 =1 1 1
13 35 1113
1 1 1 1 1 1
=（1×6）+（1－
)
3 3 5 11 13 2
6
= 6
13
1 1 1 1
8、 、 、 、
5 15 45 385
1 1 1 1 1 202
1－（ )
3 7 9 11 33 693
因为所求4个分数的分母个位数都是5，所以分母一定含有因数5。
202 1 1010 1 317
(1 ).
693 5 693 5 693
693=3×3×7×11，231、77、9这3个数都是693的约数，317=231+77+9。
所以
317 231779 1 1 1 202 1 1 1 1 1 1 1 1
, (1 ) .
693 693 3 9 77 693 5 3 9 77 5 15 45 385
1 1 1 1
所求的4个分数为 、 、 、 。
5 15 45 385
估算
[同步巩固演练]
1、（安徽省小学数学竞赛试题）
19.96×2.549积的整数部分是__________________.
2、A=33331÷33334， B=22220÷22223。试比较
A、B的大小 ：A___________B。
3、（美国小学数学奥林匹克竞赛试题）
487000120273009621001487000
的值最接近_________________。
193670.05
71
4、找两个连续自然数，使 比其中一个数大，比另一个数小。这两个连续自然数分别
17
是___________和______________。
5、在下面的□里填入两个整数，使下面的式子成立。
1 1 1
□＜1+
＜□
2 3 10
19
6、四个连续自然数的倒数之和为 ，则这四个自然数两两乘积之和是___________。
20
7、有24个偶数的平均数，如果保留一位小数的得数是15.9，那么保留两位小数的得数
是____________。
12[能力拓展平台]
1、从1到2006年的自然数中，完全平方数一共有多少个？
2、a和b是两个连续自然数，且a、b满足下列不等式，试确定a、b之和。
1 1 1
a＜（
)5＜b
11 12 20
10 10 10 10
3、A=1 2 3
11 ,求A的整数部分。
100 101 102 110
4、有一长3米的线段，第一次把这条线段三等分后去掉中间一部分，第二次再把剩下
的两线段中的每一段都三等分后去掉中间一部分，第三次再把剩下的所有线段的每一段都三
等分后去掉中间一部分，继续这一过程，这样至少连续多少次后，才使剩下的所有线段的长度
的和小于0.4米？
1
,
5、已知=S= 1 1 1 1 那么S的整数部分是多少？
1980 1981 1982 1997
6、李老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数1、2、3……，后来擦掉其中一个，
剩下数的平均数是10.8，擦掉的这个自然数是几？
[全讲综合训练]
1、（第七届《小学生报》数学竞赛决赛试题）
31.719×1.2798的整数部分是_______________。
1 1 1 1 1
2、若A= ,则A的整数部分是______________。
3 4 5 6 7
3、（福建省小火炬杯数学竞赛邀请赛试题）
两个带小数相乘，乘积四舍五入以后是60.0，这两个数都只是一位小数，两个数的整数
部分都是7，这两个小数的乘积四舍五入以前是__________________。
4、（全国小奥赛试题）
计算12345678910111213÷31211101987654321，它的小数点后前三位数字是_______.
5、数学考试成绩公布后，小兰计算了全班51人的平均成绩（得数保留三位小数），小兰
的结果是71.295分，老师说最后一位数学错了，其他数字都对。正确答案应该是多少？
6、（南京市兴趣杯少年数学邀请赛试题）
50个1998连乘积
A=，A的各位数字和是B，B的各位数字和是C，C的各位数
19981998 1998
字之和是D，求D。
7、（香港小学数学精英赛试题）
下面的除法中，不同的汉字代表不同的数字，问“明天更美好”代表的五位数是什么？
8、（江西省八一杯数学竞赛试题）
131
,
设S= 1 1 1 1 求S的整数部分。
1985 1986 1987 1992
2 2 2
写成小数时的前两位小数是多少
9、数3 3 3 ？
10个2
3
10、（第八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题）
某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨1.8元，当超过4吨时，超
过部分每吨3.00元。某月甲、乙两户共交水费26.40元，用水量之比为5：3。问甲、乙两户各应交
水费多少元？
11、（全国小奥赛试题）
7 n 20
所有适合不等式 ＜ ＜ 的自然数n之和是多少？
18 5 7
12、如图所示，方格表包括A行B列（横向为行，纵向为列），其中依次填写了自然数1
至A×B，现知20在第3行，41在第5行，103在最后一行，试求A和B。
1 2 3 … B-1 B
B+1 B+2 B+3 … 2B-1 2B
… … … … … …
（A-1）B+1 … … … AB-1 AB
8
13、从若干个连续自然数1，2，3，…中去掉三个后，剩下的数的平均数是19 ，如果去
9
掉的三个数中有两个质数，这两个质数的和最大是多少？
1 1 1 1
14、设S=1+
，试证明6＜S＜10
2 3 1022 1023
14估算参考答案
[同步巩固演练]
1、 50
原式≈20×2.5=50
2、A＞B
33331 3 22220 3
A= ,它的倒数是1 ；B= ，它的倒数是1 ；倒数越大的数，
33334 33331 22223 22220
自身越小，所以A＞B。
3、10000000000
4、4和5
71 3
4＜ 4 ＜5
17 17
5、② ③
6、119
设这四个连续自然数分别为a，a+1，a+2，a+3。
1 1 1 1 19
则 .
a a1 a2 a3 20
19 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4
所以 ＜ = ，a＜4 。
20 a a1 a2 a3 a a a a a 19
易知a=1，2，4均不合题意，a=3，这四个自然数为3，4，5，6，其两两乘积之和为：
3×4+3×5+3×6+4×5+4×6+5×6=119
7、 15.92
15设这24个偶数之和为S，由S＞15.85×24=380.4和S＜15.95×24=382.8，以及S是偶数，
推知S=382，所求数为382÷24≈15.92
[能力拓展平台]
1、 44
442=1936, 452=2025>2006,所以从1~2006的自然数中，完全平方数有44个。
2、7
观 察 括 号 里 的 分 数 发 现 ： 分 子 都 是 1 ， 且 分 母 中 的 和 有
11+20=12+19=13+18=14+17=15+16=31，因为
1 1 31 1 1 31 1 1 31
, … … ,且11201219
11 20 1120 12 19 1219 15 16 1516
31 31 31 31 31 1 1 1
<15×16，则 ,可先放大得：（ + ）
1120 1219 1318 1417 1516 11 12 20
31 23 31 11 1 1 1
×5< 55=3 .再缩小得： 553 （ ）×5，即：
1120 44 1516 48 11 12 20
11 1 1 1 23 1 1 1
3 （ ）×5<3 。3<（ ）×5<4。
48 11 12 20 44 11 12 20
a =3, b=4, a+b=7
3、67
10
A>1＋2＋3＋……＋11＋ ×11=67
110
10 1
A<1＋2＋3＋……＋11＋ ×11=67
100 10
A的整数部分是67
4、5
2
这一过程每进行一次,剩下所有线段的和等于上次剩下的 .
3
2 2 2 2 16 2 2 2 2 32
3× = >0.4, 3× = <0.4,所以至少进行5次.
3 3 3 3 27 3 3 3 3 81
5、110
1980 1997
＜s＜ ，s的整数部分是110。
18 18
6、15
擦掉的数是（1+2+…+21）-10.8×20
=231-216
=15
[全讲综合训练]
1、40
设x=31.719×1.2798
则x<32×1.28=32×(1.25+0.03), x<40.96
又x>32×1.25+32×0.02－0.3×2, x>40
所以40299得,
世界>33.
又34×1998=67932,数字3重复;
35×1998=69930,数字3、9重复;
36×1998=71928,符合题意;
37×1998=73926,数字3、7重复
8、249
171985 1992
27=33, 所 以 > , > , 所 以 > × = = >
33 22 39 26 310 26 3 25 3 96
1 24 1 28 1 210 1 22 1 1 1
0.01,又 5×24=80<81=34 ，所以 , .所以
100 34 5 38 25 310 25 32 25 2 50
0.02 。故数写成小数时的前两位小数是0。01。
10、甲17．70元，乙8.70元
3 5
设甲户用水量为 x,则乙户用水量为 x.若 x≤4,则(x+ x)×1.80=26.40,解得
5 3
3 3
x≈9.16,与 x≤4 矛盾,不合题意.若 x>4,且 x<4,则可得方程:4×1.80+(x-4)×3.00+
5 5
3 3
x×1.80=26.40,解得x≈7.69>4,但 x≈4.61不小于4,所以也不合意.若x>4,且 x>4,则可
5 5
3 3
得方程4×1.80+(x-4)×3.00+( x -4)×3.00+4×1.80=26.40。解得x≈7.5,且 x≈4.5>4,
5 5
符合题意.甲户应交水费(7.5-4)×3.00+4×1.80=17.70元;乙户应交水费:26.40-17.7=8.70
元.
11、104
7 n 20 75 205
把不等式各项乘以5.由 可得: n
18 5 7 18 7
17 2
1 n14 因n为自数,所以n的取值范围是2—14的所有自然数。
18 7
(214)13
2+3+……+14= =104
2
12、A=12，B=9
2 1 1 1
依题意，得2B<20≤3B，4B<41≤5B，所以6 ≤B<10，8 ≤B<10 ，故8 ≤B <10，因此，
3 5 4 5
B=9。
4 4
由103在最后一后，得9（A-1）<103≤9A，所以，11 ≤A<12 ，故A=12
9 9
13、60
因为1—39的平均数是20,所以剩下数的个数应不大于39,又因剩下数的个数应为9的倍
数,而不大于39的9的倍数是大是36,即剩下36个数,原有36+3=39个数.
1+2+3+……+39=780
8
19 ×36=716
9
780-716=64
去掉的三个数之各为64,且它们都小于39,因此两个质数的和最大为37+23=60.
181
14、提示:从 起,将式中的加数按2个,4个,8个,16个,……512个分为9组.
2
1 1 1
2=1
2 3 2
1 1 1 1 1
4=1
4 5 6 7 4
1 1 1 1
+ 8=1
8 9 15 8
…………
1 1 1 1
512=1
512 513 1023 512
即S<1+1×9=10
再分组缩小:
1 1 7 1 1
3 4 12 2 12
1 1 1 1 1 1
4
5 6 7 8 8 2
1 1 1 1 1
8
9 10 16 16 2
……
1 1 1 1 1 1 1 1 1
512
513 514 1023 1024 1024 1024 1024 2 1024
1 1 1 1 1 1
即S>1+ 9 6 6
2 2 12 1024 12 1024
所以6S >S B、S >S >S C、S >S >S D、S >S
正方形 长主形 圆 长主形 正方形 圆 圆 长主形 正方形 圆 正方
>S
形 长主形
3、半径是1的半圆面的周长与面积分别是（ ）
A、5.14和1.57 B、1.57和5.14 C、1.57和1.57 D、5.14和5.14
4、一张长方形纸片长5厘米,宽4厘米,在这张长方形纸片中剪一个最大的圆,这个圆的面积 是(
)平方厘米.
49A、19.625 B、12.56 C、50.24 D、78.5
5、(全 国小奥赛试题)
有三个圆心相同的半圆,它们的直径分别为1、3、5,用线段分割成8块(如图所示)如果每块的
字母代表这一块面积,并且相同的字母代表相同的面积.求A:B等于多少?
6、(北京市第六届小学生迎春杯数学竞赛决赛试 题)
图中扇形的半径OA=OB=6厘米,角AOB等于45。,AC垂直于点C,那么图中阴影部分的面
积是多少平方厘米?(取3.14)
[能力拓展平台]
1、右图中直角梯形的面积是54平方厘米，求阴影部分面积。
2、（全国小奥赛试题）有八个半径为1毫米的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣圆形（如
图），图中黑点是这些圆的圆心。如果圆周率π=3.1416，那么花瓣圆形的面积是多少平方厘米？
3、（第三届华杯赛决赛试题）有两个圆，它们的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆
周长的90%，问大圆的面积是多少？
4、下图中阴影甲的面积比阴影乙的面积多28平方厘米，AB=40厘米，CB垂直于AB，求BC的
长。
505、（北京市第七届迎春杯数学竞赛试题）图中，一个正方形各边都被四等分，分成十六个小正方
形，图A是一个圆，图B是由三个半圆围成的图形，那么图A与图B的面积之间的关系是什么？
6、（全国小奥赛试题）A、B两点把一个周长为1米的圆周等分成两部分（如图），蓝精灵从B点
3
出发在这个圆周上沿逆时针方向作跳跃运动，它每跳一步长是 米。如果它跳到A点，就会经
8
过特别通道AB滑向B点，并从B点继续走跳。当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍。
已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米？
[全讲综合训练]
1、10个一样大的圆摆成如图的形状，过图中所示两个圆心A、B作直线，那么直线右上方圆内
图形面积总和与直线左下侧圆内图形面积总和的比是多少？
2、如图∠AOB=900，C为AB弧的中点，已知阴影甲的面积为16平方厘米，阴影乙的面积是多
少平方厘米？
3、 如图，ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度为1米。现在以C点为圆心，把三角形
ABC顺时针旋转900，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是多少平方米？
514、下图中图形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）
5、（全国小奥赛试题）已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它
的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连接起来得下图。那么，图中阴影部分的总面积
等于多少平方厘米。（注：π=3.14）
6、下图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
7、如图，阴影部分的周长是多少厘米？面积是多少平方厘米？（单位：厘米）
8、如图，已知圆O、O、O、O 的半径都是5厘米，四边形的四个顶点都在圆心上，阴影部分的
1 2 3 4
面积和是多少平方厘米？
529、平面上有七个大小相同的圆，位置如图所示，如果每个圆的面积都是10平方厘米，求阴影部
分的面积。
10、（希望杯数学邀请赛试题）
1
下图中，两个半径为1的 圆扇形A`OB与AO`B叠放在一起，POQO`是正方形，则整个
4
阴影图形的面积是多少？
11、（上海市小学数学竞赛试题）
5
下图中半圆S 的面积是14.13平方厘米,圆S 的面积是19 平方厘米,那么长方形(阴影部
1 2 8
分)的面积是多少平方厘米?
12、下图中的曲线是用半径长度的比为4：3：1的7条半圆曲线连成的，涂有阴影的部分与未涂
阴影的部分的面积比是多少？
13、（第九届《小学生数学报》数学竞赛初赛试题）
532
如图，圆的周长为15.7分米，圆的面积是长方形面积的 ，图中阴影部分周长的多少分米？（π
3
取3.14）
14、（首届全国六一杯小学生数学竞赛六年级试题）已知半圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部
分面积（π=3.14）
15、（全国小奥赛试题）
图中，大圆半径为6，则其阴影部分面积为多少？
16、（北京市第三届小学生迎春杯数学竞赛初赛试题）下图中正方形的面积是25平方米，求圆
的面积.（取π=3.14）
17、(上海市第五届小学六年级数学竞赛复赛试题)正方形的边长是2厘米，以圆弧为分界线的
甲、乙两部分的面积的差（大减小）是多少厘米？（π取3.14）
18、（全国小奥赛试题）
如右图，阴影部分的周长是多少？（单位：厘米）
36厘米
19、（第九届华杯赛试题）
54如下图，大、小两个半圆，它们的直径在同一条直线上，弦AB与小圆相切，且与直径平行，
且AB=12厘米，求图中阴影部分的面积。
平面图形
[同步巩固演练]
1、C
3．14×50=157（厘米）
2、D
3、A
4、B
5、5：6
r2 1 3 1
半圆面积= ，标有字母A的半圆环面积是3A= [( )2 ( )2].。那么 ，
2 2 2 2
A= .
3
1 5 3
标 有 字 母 B 的 半 圆 面 积 是 ： 5B= [( )2 ( )2] 2.那 么 ， B=
2 2 2
2 2
,于是A:B : 5:6
5 3 5
74
6、19．26平方厘米
551 1
由于△AOC是等腰直角三角形，所以它的面积=AO2× 62 9(平方厘米).
4 4
450
阴影部分面积为 3.1462 9
3600
=3.14×9－9
=19.26(平方厘米)
[能力拓展平台]
1、11.61平方厘米
设圆的半径为r,则S =(r+2r)r÷2=54(平方厘米),从而r=6(厘米)
梯形
135
所以S =54- 62=11.61(平方厘米)
阴
360
2、19.1416平方厘米
3
四个角上的四个圆心,恰好形成一个边长为4厘米的正方形。这个正方形的每个角，都多出了
4
3 1
个小圆，正方形的每一边，少了一个半圆，共多出了（ - ）×4个圆。
4 2
3 1
因此，面积=4×4+3.1416×1×1×（ - ）×4
4 2
=16+3.1416
=19.1416
3、1100平方厘米
据题意，已知两圆的周长比，可以算出两圆的半径比，假设圆C 的周长为2R，即C =2R圆
1 1
C 的周长为2r ，即C =2r ，可得到下面的比例关系
2 2
2R R
=
2r r
这就是：两个圆的周长比等于这两个圆的半径的比，同理，这两个圆的半径的比等于这两个圆
的周长比。
又设圆C 的面积=R2
1
圆C 的面积=r2
2
那么有
则两圆的面积比等于两圆半径的平方比。
因为两圆的周长比为0.9，所以两圆的半径比为0.9，两圆的面积比为0.92=0.81
又因为两圆的面积的和是1991，所以大圆面积是19911÷（1+0.81）=1100（平方厘米）
4、30厘米
从图中可以看出：阴影甲的面积+空白的面积=半圆的面积 ①
阴影乙的面积+空白的面积=三角形的面积 ②
①- ②得：
阴影甲-阴影乙=半圆面积-三角形面积。这就是说阴影甲比影乙多多
少平方厘米，就是半圆面积比三角形面积多多少平方厘米。半圆面积为：
561 40
×3.14×( )2=628平方厘米,则三角形的面积为:628-28=600平方
2 2
厘米.
解:三角形的面积:
1 40
×3.14×( )2-28
2 2
1
= ×3.14×400-28
2
=600(平方厘米)
BC的长:
600×2÷40
=1200÷4
=30(厘米)
5、相等
1
A是以大正方形 为半径的圆
4
B是以正主形边长直径的半圆减去一个A
设正方形边长为4
解 A=π·12=π
1
B=π·22· -π
2
=2π-π
=π
所以图形B与圆A面积相等.
6、128米
把周长为1米的圆周8等分,每一等分算作一段,蓝精灵跑一次就跳3段,跳4次跳12段,
恰好一周半,跳到A点,当蓝精灵经过特别通道到B点,此时圆周长变成2米,我们把新的圆周
分成16段,现在蓝精灵跳8次,共跳24段才到A点,…,如此继续下去,跳16次、32次、64次、
128次，蓝精灵才回到A点。
为了便于对照列出下表：
跳的次数 4 8 16 32 64 128 256
_________________________________________________
新的圆周长 2 4 8 16 32 64 128
因为 4+8+16+32+64+128+256=508＜1000
4+8+16+32+4+128+256+512＞1000
所以蓝精灵跳1000次，有7次到A点，此时圆周长是128米。
57跳完1000次后圆周长是128米。
[全讲综合训练]
1、2：3
我们观察与直线AB有关的四个圆（如图（b）），其中A与B所在的两个圆被直线AB平分，
分别为上下各半个圆，合起来算，上下各得一个圆的面积，另两个圆其中注“·”处的部分
与注“X”处的部分各分别相等，合起来又是上下各得一个圆的面积，原图中直线右上方
共四个圆面积，左下侧共六个圆面积（如图（a））。AB直线两边的圆的总面积的比是4：6，
即2：3。
2、16平方厘米。
易知半圆的面积等于小扇形OBC的面积，从而推知S =S =16（平方厘米）
甲 乙
3、如图，顺时针旋后，B点沿弧，BB’转到B’点，A点沿弧AA’转到A’点，D点沿弧DD’转到
D’点,因为CD是C点到AB的最短线段,所以AB扫过的面积就是图中阴影部分,因为正方
1 1
形ADCD’的面积与△ABC的面积相等,均为 平方米,所以(CD)2= ,推知扇形CDD’的面
2 2
1 1
积等于 (CD)2 .又△BCD与△A’CD'的面积和等于 平方米,所以阴影部分面积为:
4 8 2
12
1 1 3 1
0.6775(平方米
2 8 2 8 2 )。
4、69．68（平方厘米）
S =π×42=16π S =π×22=4π
大圆 小圆
S =8×4=32（平方厘米）
长方形
所求面积32+16π－4π=32+12π
=32+37.68=69.68(平方厘米).
5、39．25（平方厘米）
原题阴影部分相当于下图阴影部分，即半个圆环。小圆半径为10÷2=5（厘米），大圆半径的
平方等于（52+52），所求面积为：[（52+52）×π－52×π]÷2=39.25（平方厘米）。
586、5．72（平方厘米）
1 1 1
42 ( 42 42) 5.72(平方厘米）
2 8 2
1 1
7、周长： 24 25(54)216.13(厘米）
4 4
1 1
面积： 42 52 4512.185(平方厘米).
4 4
8、235．5（平方厘米）
阴影部分面积和为三个半径为5的圆的面积的和，所以阴影部分面积为：
52×3.14×3=235.5（平方厘米）。
9、20（平方厘米）
阴影部分相当于两个圆的面积之和。
10、1．07（平方厘米）
1
阴影部分面积是每个 圆扇形的面积（或者是以OO`为半径的半圆面积）减不去下方形
4
POQO`的面积。
而正方形PQQO`面积正好等于以OO`不边的正方形面积的一半，所以阴影部分的面积是：
1 1
2× 12 12
4 2
1 1
= 3.140.51.07(平方厘米)
2 2 2
11、6（平方厘米）
阴影部分为长方形，一边是两圆直径之差，另一边是S 的直径。
2
1
设圆S 的半径是r，由已知 2 14.13
1 1 2 1
214.1323.14
r
1
所以r2 9
1
r=3(厘米)
1
S 的直径=6厘米
1
又设圆S 的半径是r，则有：
2 2
219.6253.14 6.25
r
2
所以r=2.5（厘米），S 的直径=5（厘米）
2 2
这样可求得阴影部分的面积是：
596×（6－5）=6（平方厘米）
12、5：11
1 1
S =π×12×1.5+ ×42- ×32=5,S =×42-5=11,所以涂有阴影的部分与未涂阴影
阴 白
2 2
的部分的面积比为5:11。
13、24.625（平方厘米）
由已知设圆的半径为R，则有
2πR=15.7
R=15.7÷6.28
R=2.5(分米)
2
又圆的面积是长方形面积的 ,设长方形的长为x,
3
2
则有 ·2R·x=πR2
3
3
x= πR
4
于是阴影部分周长是
3 5
2x+2R+πR=2· πR+2R+ πR= πR+2R
4 2
所以得阴影部分周长==24.625(分米)
14、11.4(平方厘米)
连结AB、AD,易知△ADO的面积和△ABO的面积是相等的,故△AOB的面积=△AOD的面积.
阴影部分面积等于扇形ACB的面积与三角形AOB面积的差.
设半圆半径为r,则
1
πr2=62.8
2
r2=40(平方厘米)
三角形AOB的面积是
1 1
AO·BO= ·r2=20(平方厘米)
2 2
1
因为△ADB的面积等于△AOB的面积的2倍,于是 AB2=2×20,所以AB2=80(平方厘
2
米)
1 1
扇形ABC的面积= π·AB2= ×3.14×80=31.4(平方厘米)
8 8
阴影部分的面积是
31.4-20=11.4(平方厘米)
6015、72(平方厘米)
总阴影部分面积为:
4个半圆面积+正方形面积-空白部分面积
=π×32×2+62-(62-18π)
=72
16、39.25(平方厘米)
设圆的半径是r.
则AC=2r
1
由已知 ·r·r·4=25
2
25
r 2=
2
25
所求圆的面积是:3.14× =39.25(平方厘米)
2
17、0.14(平主厘米)
图中甲部分的面积是等腰直角三角形的面积减去一个扇形的面积;乙部分的面积是扇形的
面积减去小的等腰三角形的面积.扇形的面积是
1
22 1.57(平方厘米)
8
甲部分面积是
1
2×2－1.57=2－1.57=0.43(平方厘米)
2
1
乙部分的面积是1.57－ 221.5710.57(平方厘米)
4
1、 乙两部分的面积差是0.57－0.43=0.14(平方厘米)
18、111．36（厘米）
这道题应运用变部分为整体的思想去解。
即阴影部分的周长为弧AB、弧 CB、线段AB这三部分相加而成。
弧AB的长度为：36π÷2=18π
300
弧CB的长度为： (362) 6
3600
61阴影部分的周长为：
18π+6π+36
=24×3.14+36
=75.36+36
=111.36(厘米)
19、56．52平方厘米
将原图作适当变形如下，连结OB，易知BC=12÷2=6（厘米）
在直角△OBC中，OB2－OC2=62=36
1
阴影部分面积为：π×(OB2－OC2)×
2
1
=3.14×36×
2
=56.52(平方厘米)
列方程解应用题<二>
[同步巩固练习]
1、汽车若干辆装运一批货物，如果每辆装3.5吨,这批货物有2吨不能运走;如果每辆装4吨,
装完这批货物后,还可以装其他货物1吨,这批货物有多少吨?
2、一条大鲨鱼,头长3米,身长等于头长加尾长,尾长等于头长加身长的一半.这条大鲨鱼全长
多少米?
3、(北京市第四届迎春杯试题)
小强从家到学校,如果每分钟走50米,上课就要迟到3分钟,如果每分钟走60米,就可以比上课
时间提前2分钟到校,小强家到学校的路程是多少米?
4、(第四由数学报竞赛题)
1、 乙两人星期天一起上街买东西,两人身上带钱共计86元,在人民商场甲买一双运动鞋花去
了所带钱数的4/9,乙买一件衬衫去了人民币16元,这样两人身上剩的钱正好一样多,甲、乙
两人原来各带多少钱?
5、(北京市第三届迎春杯试题)
1
分子、分母之和是23，分母增加19之后，得到一个新的分数，把这个分数化为最简分数是 ，
5
原来的分数是几分之几？
626、牧羊人赶着一群羊寻找草长得茂盛的地方去放牧，有一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了
上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧？”牧羊人答道：“如果这一群羊加上
一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原业这群羊的1/4，连你这只羊也算进去，才刚好凑满
100只”。请问牧羊人的这群羊共有多少只？
7、妈妈带小敏去买布。妈妈带的钱如果买2米布后还剩1.80元;如果买同样的布4米,则差2.40
元,问妈妈带了多少元钱?
[能力拓展平台]
1
1、一个商人每年花掉100镑，但每年他可得到他的财产（花费的100镑不在内）的 的利润。3
3
年后，他的财产增加了1倍，问商人最初有多少镑财产？
2、小明放学后沿某路公共汽车路线，以每小时4千米的速度步行回家。沿途该路公共汽车每9
分就有一辆车从后面超过他，每7分又遇到迎面开来的一辆车。如果这路公共汽车按相等
的时间间隔以同一速度不停运行，那么公共汽车发车的时间间隔是多少？
3、某生产队甲、乙两社员去年共分得现金1224元，今年共分得1706元。已知今年甲比去年所
分得的现金增加50%，乙增加30%，两社员各分得多少元？
1 1
4、甲、乙两个容器共有溶液2600克，从甲容器中取出 ，从乙容器中取出 ，两个容器共剩溶
4 5
液2000克，求两个容器原来各有溶液多少克？
5、25支铅笔分给甲、乙、丙三人。乙分到的比甲的一半多3支，丙分到的比乙的一半多3支，问：
甲、乙、丙三人各分到几支铅笔？
6、（第四届《小学生数学报》竞赛题）
幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果分给大班的小朋友每人5个缺6个；如果分给小班的小
朋友，每人4个余4个，已知大班比小班少2人。问这一筐苹果共有多少个？
7、（北京市第四届迎春杯竞赛题）
一辆公共汽车载客50人，长途客车票每张0. 80元,短途车票每张0.30元,售票员统计长途车票
的收入比短途车票的收入多18元,问:购买长途车票的有多少人?
1
8、李老师从数学兴趣小组调出1名女生到英语兴趣小组后，剩下的同学中有 是女生，如果不
7
1
调出这名女生，而是调出2名男生，那么剩下的同学中 是女生，问原来这个数学兴趣小组有
5
多少名同学？
9、（岳阳市竞赛题）
大、小两个铁环滚过同一段距离，大环转了40个圈，小环转了30个圈。已知小环的周长比大环
的周长少了44厘米，那么滚过的这段距离是多少米？
[全讲综合训练]
1、茶壶定价50元，成本是30元，茶杯的成本是定价的80%。现在商店将一把茶壶与2只茶杯
配套出售，并且按它们定价之和的九折出售，这样出售一套可获得利润18元。一只茶杯的
成本是多少元？
2、A盒中放有黑球和白球共210个，共中黑球占30%，B盒中放有黑球和白球180个，其中黑
球占80%，B中的一超级球移到A中，使得A中的黑球占50%，B中的黑球占80%，B盒中
还剩黑球，白球各几个？
3、从甲地到乙地，海路比公路近40千米。上午7时一轮船从甲地去乙地，上午10时一辆汽车
63从甲地开往乙地，结果同时到达乙。已知轮船的速度是每小时24千米，汽车速度是每小时
40千米。求甲地到乙地的公路长是多少千米？
4、某人乘车行121千米，一共用了3小时。第一段路程每小时行42千米，第二段路程每小时
行38千米，第三段路程每小时行40千米，已知第三段路程为20千米，问第一段、第二段的
路程各是多少千米？
5、在一马路两旁植树，若每隔3米植一棵，植到头还剩3棵；若每隔2.5米植一棵，植到头还缺
77棵，问马路长多少米？
6、某班学生排队从学校到工厂参加劳动，以每小时8千米的速度前进，走2千米后，一学生奉
命回校取东西。他以每小时10千米的速度跑步回校，取东西后又以同样的速度追赶队伍，
结果在距工厂3千米处追上队伍。求校与厂之间距离。
7、兄弟两人每月收入的比是4：3，支出钱数的比是3：2，如果他们每人每月都节余200元，那
么他们每月的收入分别是多少元？
8、（广州市奥赛题，2003）
南方某农场要将一批鲜荔技运往内地，可选择汽车、火车、飞机3种运输工具。这3种运输工具
的数据如下：
途中速度 途中费用 装卸时间 装卸费用
（千米/时） （元/千米） （时） （元）
汽车 50 8 2 1000
火车 100 6 4 2000
飞机 900 12 2 1000
若这批荔枝在运输过程中的损耗为300元/时，为使运输过程中的费用与损耗之和最少，应采用
哪种运输工具？
4
9、小张、小李二人清扫一条马路，小张负责左边，小李负责右边，小张清扫的速度是小李的
3
倍，后来，小李用10分钟去换工具，换工具后小李的速度是原来的2倍。从开始起，经过1
小时两人同时完成任务，小李换工具后工作了多少分钟？
10、（第一届小学“希望杯”数学竞赛题，2003）
小光前天登录到数理天地网站www.mpw91.com，他在首页看到“您是通过什么方式知道
本网站的？”的调查，他查看了投票结果，发现总投票人是500，“杂志”项的投票率是68%。
当他昨天再次登录数理天地网站时，发现“杂志”项的投票率上升到72%，则当时的投票总人
数至少是多少？
64列方程解应用题<二>参考答案
[同步巩固演练]
1、23吨
x2
设货物共有X吨，如果每辆装3.5吨，运走的货物应为（X－2）吨，这时共有汽车 辆，
3.5
x1
如果每辆装4吨，运走的货物为（x+1）吨，这时共有汽车 辆，因为汽车的总辆数相等，
4
所以可得出下面的方程：
x2 x1
3.5 4
解得X=23。
2、24米
设鲨鱼身长X米。
据题意得：X=12
1
全长：3+12+（3+ 12) 24(米)
2
3、1500米
设小强家到学校的路程是X米，由题意得：
65x x
3 2
50 60
两边都乘300，得：60X－900=5X+600
X=1500（米）
4、甲45元，乙31元。
设甲带X元钱，则乙带（86－X）元，依题意得
4
x（1- ) 86x16,解得X 45,86x 31.
9
7
5、
16
设原来分数的分子为X，则分母为23－X，当分母增加19以后，分母是分子的5倍，由题意
得
（23-x）+19=5x
6x=42
x=7
23－x=23－7=16
7
所以原分数是
16
6、36只
设这群羊共有X只，列方程，有：
1 1
x+x+ x x1100
2 4
11
解方程： x 99,x 36
4
所以这群羊共有36只。
7、6元
设妈妈带的钱数为X元，因为每米布的单价是一定的，所以单价可由下面两个式子表示，
x1.80 x2.40
一是 ,一是 .可列出方程:
2 4
x1.80 x2.40
2 4
化简：4x－7.20=2x+4.80
2x=12,x=6.
所以妈妈带了6元钱.
[能力拓展平台]
1、1480镑
设最初有财产X镑，则根据题意可列出方程：
4 4 4
{[(X 100) 100] 100} 2x
3 3 3
解方程，有 X=1480
所以商人最初有1480镑财产。
667
2、7 分
8
设车速为每小时X千米，因为汽车按相等的时间间隔以同一速度运行，所以相邻两车之间
的路程相等，从迎面相遇看，相邻两车之间的路程为：
7 7 7
4× x (4 x) .
60 60 60
从后面超车看，相邻两车之间的路程为：
9 9 9
x× 4 (x4)
60 60 60
所以可列出方程：
7 9
（x+4）× =(x－4)×
60 60
化简得： （x+4）×7=(x-4)×9
2x=64,x=32(千米)
7
相邻两车的间隔距离为：（32+4）× 4.2(千米)
60
21
发车间隔时间为：４.2÷32= (小时)
160
21 7
小时7 分.
160 8
7
所以发车的时间间隔为7 分.
8
3、甲861元，乙845元
设甲去年分得现金X元，则乙去年分得现金是（1224－X）元。依题意得：
（1+50%）X+（1+30%）×（1224-X）=1706。
解得X=574，1224－X=650。
甲今年分得574×（1+50%）=861（元），乙今年分得650×（1+30%）=845（元）
4、甲1600克，乙1000克
设甲容器原有溶液X克，乙容器原有溶液（2600－X）克。
1 1
X×（1－ )(2600x)(1 ) 2000
4 5
X=1600
2600－X=2600－1600=1000。
5、甲10支，乙8支，丙7支。
1 1 1
设甲有铅笔X支，则乙有铅笔（ x3)支,丙有铅笔[ ( x3)3]支.
2 2 2
1 1 1
x+ x3 ( x3)3 25
2 2 2
673 15
1 x 25
4 2
x 10
1 1
x3 1038
2 2
1 1
( x3)37
2 2
6、84个
设大班有X个人，则小班有（X+2）个人
由题意得：
5x－6=4(x+2)+4
5x－6=4x+8+4
x=18(人)
x+2=20（人）
5x－6=5×18－6=90－6=84(个)
7、30人
设购买长途车票的有X人，则购买短途车票的有（50－X）人，由题意得：
0. 80x=18+0.3(50－x)
0. 80x=18+15－0.3x
1. 1x=33
x=30(人)
50－x=50－30=20(人)
8、22名
1
由已知条件，调出2名女生后，剩下的同学中有 是女生，设原兴趣小组中的女生为X，原
7
兴趣小组的同学数是：7(x－1)+1
1
由已知条件，调出2名男生后，剩下的同学 是女生，原举小组的同学数是：5X+2
5
这样可以根据这个兴趣小组的同学是个定值列方程，
设数学兴趣小组原有女生X人，由题意得：
7(x－1)+1=5x+2
7x－7+1=5x+2
2x=8
x=4
5x=2=22(人)
9、8800厘米
设这段路程长为X厘米，由题意得：
68x x
44
40 50
54
x 44
200
x 44200
x 8800
[全讲综合训练]
1、12元
一把茶壶打九折后，利润是50×90%-30=15（元），所以一只茶杯打九折后利润是（18-15）
÷2=1.5(元)
设每只茶杯定价x元,由90%x-80% x=1.5,解得x=15,一只茶杯的成本是15×80%=12（元）
2、白球8个，黑球32个
因为B盒中黑球的比例没变，所以从B盒转入A盒的黑球占移入总数的80%。
设移入A盒5x个球，其中4x是黑球，
210×30%+4x=(210+5x)50%，解得x=28， B盒中还剩白球180×（1-80%）-28=8（个），剩黑球
8×4=32（个）
3、280千米
x x40
设公路长x千米，海路长为（x-40）千米，依题意得 3 ，解得x=280.
40 24
4、63千米，38千米
设 第 一 段 路 为 x 千 米 ， 则 第 二 段 路 为 （ 121-20-x ） 千 米 ， 依 题 意 得
x 12120x 20
3解得x=63，则121-20-x=38
42 30 40
5、1200米
设马路长X米，根据植树问题，可得
x x
13 177.解得x 1200
3 2.5
6、21千米
设 校 与 厂 之 间 的 距 离 是 X 千 米 ， 根 据 时 间 相 等 列 方 程 为
x3 x3 2 2
,解得x 21.
8 10 10 8
7、800元，600元
设哥哥每月收入X元，则支出（x－200）元，根据弟弟每月节余200元可得，
3 2
x (x200) 200
4 3
3
解得x=800，弟弟每月收入 800600(元)
4
8、路程≤480千米用飞机，否则用火车。
设路程为X千米，汽车的费用与损耗之和为
x
8x( 2)300100014x1600
50
69x
火车的费用与损耗之和为：6x( 4)3002000 9x3200.
100
x 1
飞机的费用与损耗之和为：12x( 2)300100012 x1600,
900 3
1
飞机与汽车相比，飞机费用少；飞机与火车比较，由9x3200 12 x+1600，解得
3
X=480。
所以，当路程在480千米以内时，应采用飞机运 输，当路程在480千米以上时，应采用火
车运输。
9、30分钟
设小李换工具后工作了X分钟，则换工具前工作了（50－X）分钟。小李换工具前每分
1 4 1
钟 可 完 成 任 务 的 .换 工 具 后 每 分 钟 可 完 成
60 3 80
1 1 1
,则得 (50x) x 1,解得X =30。
40 80 40
10、572
要使投票总人数最少，新增的投票人数填的都是“杂志”，设为X人。由填“杂志”
的总人数可得
3
500×60%x (500 x)72%,解得x 71 ,所以投票总人数至少是
7
500+72=572（人）
容斥原理
[同步巩固演练]
1、 大长方形的面积是100平方分米，小长方形的面积是80平方分米，两个长方形重合
部分的面积是30平方分米，这两个长方形覆盖桌面的面积是______________平方分
米。
2、1～200这二百个数能够被5整除或能够被8整除的数共有（ ）个。
701
3、比 大，比7小，分母是6的最简分数有多少个？
2
4、（新加坡小学数学奥林匹克竞赛试题）
36名学生参加数学比赛。答对第1题的有25名学生，答对第二题有23名学生，两题都
答对的有15名学生，两题都没有答对的有（ ）名。
5、（新加坡小学数学奥林匹克竞赛试题）
某班有45人在一次数学测验中，做对第一题的有38人；做对第二题的有35人；做第三
题的有31人，做对第四题有42人。问：四题都做对的至少有多少人？
6、如图。有三个圆的面积分别是8，9和11平方厘米，而三个圆所围成的曲线形面积是18
平方厘米，且A与B的公共部分的面积是5平方厘米，B与C的公共部分的面积是3平方
厘米，C与A公共部分的面积是4平方厘米。求三个圆的公共部分的面积。
7、有40名运动员，其中有25人会摔跤，有20人会击剑，有10人击剑、摔跤都不会，那么
既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？
8、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个数最小是多少？
[能力拓展平台]
7
1、外语学校某班有48名学生，每人至少要选学一门法语或计算机课程，已知有 的学生
12
1
选学法语，有 的学生同时选学了法语和计算机，则选学计算机课程的学生有多少名？
4
2、 在一次调查中，对45人作了统计，其中有弟弟的有19人，既无弟弟又无妹妹的有14
人，有妹妹无弟弟的与有妹妹有弟弟的人数比是3：1，问有妹妹的有多少人？
3、 某班45名同学参加了体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、
跳远均得优者7人，跳高、百米均得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者
22人，全班只有1名同学各项都没达到优。求三项都是优的人数。
4、 如图所示，A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一
起盖住的面积是18，且A与B，B与C，C与A公共部分的面积分别是5、3、4，求A、
B、C三个图形公共部分（阴影部分）的面积。
5、 某校对六年级的100名同学进行兴趣调查，结果有54人喜欢语文，有38人喜欢数学，
有52人喜欢外语，而且喜欢语文和数学（但不喜欢外语）的有6人，喜欢数学和外语
71（但不喜欢语文）的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科。问有多少
同学只喜欢语文？有多少同学喜欢语文和外语。
[全讲综合训练]
1、一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书，
借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人。语文、数学两种课外书都借的有
_________人。
2、(美国小学数学奥林匹克竞赛试题)
从 1 到 46 的整数中，能被 3 整除，或能被 5 整除或同时被 3 和 5 整除的数有
（ ）人。
3、（韩国小学数学奥林匹克竞赛试题）
从1至100的自然数中含有5的数一共________________个。
4、有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形，如图，放在桌面上（阴影是
图形的重叠部分），那么这两个图形盖住桌面的面积是_____________平方厘米。
5、某门诊部统计某一天挂号的病人，内科150人，外科92人，其中内、外两科都求诊的
18人，这一天共来了___________个病人。
6、在一次运动会中，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有7人，没有参加比赛的有21
人，那么甲班共有_________人。
7、（韩国小学数学奥林匹克竞赛试题）
分母是385的最简真分数有多少个？它们的和是多少？
8、边长为2、5、6厘米的三个正方形，每两个相交部分的面积分别为9、1、1平方厘米三个
1
正方形相交部分面积为 平方厘米。问图形覆盖的总面积有多大？
4
9、某科研所共有145名科技人员，人人都学过至少一门外语。其中学过英语的有90人，
学过俄语的45人；既学过英语又学过日语的40人；同时学过英、俄、日三门外语的30
人，问既然学过俄语又学过日语的有多少人？
10、70名学生参加体育比赛，短跑得奖的31人，投掷得奖的36人，弹跳得奖的29人，短跑
与投掷二项均得奖的12人，跑、跳、投三项均得奖的有5人，只得弹跳奖的有7人，只得投
掷奖的有15人。
求：（1）只得短跑奖的人数；
（2）得二项奖的总人数；
（3）一项奖均未得的人数。
10、 五环图由内圆直径为8、外圆直径为10的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边
（阴影部分）的面积都相等。已知五个圆环盖住部分的总面积是122.5，求每个小曲四边
形的面积。
7211、 某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加篮球队，10人参加排球队，
已知没一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既然参加足球队又参
加篮球队，有2人既然参加篮球队又参加排球队，那么既然参加足球队又参加排球队
的有多少人？
13、（全国小奥赛试题）
某班有50名学生，参加语言竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的
有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？
14、向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的
3
，其余不赞成；赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余的不赞成，另外对去
5
1
两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的 多1人，问对去颐和园和去动物
3
园都赞成和都不赞成的学生各有多少人？
15、（全国小奥赛试题）
有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开头控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然
后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍
数的灯线拉一下，三次拉完之后，亮着的灯有多少盏？
容斥原理参考答案
[同步巩固演练]
1、10平方分米
80+30－100=10（平方分米）
2、59个
能被5整除的数有：200÷5=40（个），能被8整除的数有：200÷8=25（个）。重复计算了：200÷
（5×8）=5（个）。满足题意的数共有：（40+25）－8=59（个）
3、13个
1 3 42
因为 ,7 , 所以，只要求出大于3而小于42的自然数中与6互质的数有多少个
2 6 6
就可以了。
73a
为了方便，我们引进一个符号“[ ]”，用来表示 a 与 b 的商的整数部分，如
b
41 41
[ ] 20,[ ]13.
2 3
因为6=2×3，在大于3而小于42的自然数中是2的倍数的数有；
41 3
[ ][ ] 20119(个).
2 2
大于3而小于42的自然数中是3的倍数的数有：
41 3
[ ][ ]13112(个).
3 3
大于3而小于42的自然数中是6的倍数的数有：
41 3
[ ][ ]606(个).
6 6
从而，可以求出在大于3而小于42的自然数中是2或3的倍数的数共有19+12－6=25
（个）。
1
所以，在大于3小于42的自然数中与6互素的数有41－3－25=13（个）。这就是说 ，比
2
大，比7小，分母是6的最简分数有13个。
4、3名
5、11人
6、2平方厘米
三个圆的总面积是8+9+11=28（平方厘米）。显然，在计算这三个圆的总面积时，每两个圆
的公共部分都计算了两次，所以要从中去掉，即28－（5+3+4）=16（平方厘米）。
而在刚才减去每两个圆的公共部分，又知三个圆所围成的曲线的面积是18平方厘米，所以，
这三个圆的公共部分是18－16=2（平方厘米）。
7、15人
8、23
解这类问题可以用枚举法解决。先找出被3除余2的数；
2，5，8，11，14，17，20，23，26，…。
再找出被5除余3的数：
3，8，13，18，23，28，33，…。
再找出被7除余2的数：
2，9，16，23，30，37，44，…。
从三列数中发现：23是符合题意的数。
这个数最小是23。
[能力拓展平台]
1、选学计算机的有32人。
7 1
选学法语的有48× 28(人),同时选学法语和计算机的有48× 12(人)。从而推知，
12 4
只选学法语的有28－12=16（人）。所以，选学计算机的有48－16=32（人）。
2、12人
74依题意可知，45人中只有45-14=31人可能有弟弟和妹妹.如图,设既又有弟弟有妹妹的为x
人,则19+4x=31人,x=3.只有妹妹的人数为3x=3x4=12人.
3、5人
设三项都达到优的有x人
由逐步排除法有
45=20+18+22-7-8-6+x+1
解得x=5
4、2
设阴影部分的面积是x，由容斥原理知28-（5+3+4）+x=18，故x=2。
5、26人，22人
如图，根据容斥原理的解法可知：54+38+52-（12+6）-（12+4）-（12+a）+12=100
解得a=10
因此，只喜欢语文的有54-6-12-10=26（人）
喜欢语文和外语的有12+10=22（人）
[全讲综合训练]
1、26人
解：从图中可以看出全班45人，借语文或数学课外读物的共39+32=71（人），超过全班人数
71-45=26（人），这26人都借了语文、数学两种课外书。
2、21个
3、19个
个位是5（含一位数5）十位上可以为1至9九个数字共1+9=10（个）；十位是5，个位可以是
0至9个数字共10个。这样55被算了2次，所以只有10+10-1=19（个）
4、67
75将长方形和正方形面积相加，则图中阴影部分即三角形面积被多算了一次，即这两个图形
1
盖住的图形面积为8×6+5×5- ×4×3=67（平方厘米）
2
5、从图可以看出来诊病人总数为150+92-18=220（人）
6、41
解：如图所示，易知总人数为（15+12-7）+21=41（人）。
7、240个，120
385
因为385=5×7×11，故在1~385这385个自然数中，5的倍数有 =76（个），7的倍数有
5
385 385 385
==55（个），11的倍数有 =35（个），5×7=35的倍数有 =11（个），5×11=55的
7 11 35
385 385
倍数有 =7（个），7×11=77的倍数有 =5（个），385的倍数有1个。由容斥原理知，在
55 77
1~385中能被5、7或11整除的数有77+55+35-（11+7+5）+1=145（个），而5、7、11互质的数有
385-145=240（个）。即分母为385的真分数有240（个）。
1
8、55 平方厘米
4
9、30人
10、（1）11；（2）24；（3）8
（1） 如图，用矩形表示参赛的70个学生，而用三个圆表示分别在跑、跳、投中得奖的人。
设x为只得短跑奖的人数，y为只在短跑和弹跳两项得奖的人数，z为只在弹跳与
投掷两项得奖的人数，u为只在投掷和短跑两项得奖的人数，则有 u=12-5=7
（人）,z=36-15-12=9（人）,y=29-5-7=8（人）,x=31-12-8=11（人）.即只得短跑奖的有
11人。
(2)得二次奖的人数为y+z+u=8+9+7=24（人）
(3)因至少得一次奖的人数为x+y+z+u+5+7+15=62（人）, 故一项奖均未得的人数为70-
62=8（人）
7611、2.35
(52 42) ×5-122.5=18.8
18.8÷8=2.35
12、4人
如图所示，设既参加足球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理，有20+12+10-6-2-x
=30，得x=4。
13、35人
如右图。由于每人最多参加两科，所以没有人参加三科竞赛。故
a+b≤28 ①
a+c≤23 ②
b+c≤20 ③
把①+②+③得：
2（a+b+c）≤28+23+20
a+b+c≤35.5
即参加两科竞赛的人数a+b+c最大可取35，经试算a=15,b=13,c=7时刚好满足条件①、
②、③
，故可确定参加两科竞赛的最多有35人。
14、8人
所求的都赞成和都不赞成的学生都包含在50名同学中，由于问题比较复杂，我们从50人中
利用逐步排除法去计算，如图。用长方形I表示50名被调查的同学，A表示赞成去颐和园的同
3
学，用B表示赞成去动特园的同学，是A中有50× =30人，B中有30+3=33人，若设去两处都
5
x
赞成的同学有x人，则去两处都不赞成的同学有 +1人。由逐步排除法可知投过赞成票的人数
3
（包括赞成去颐和园、动物园，和二者都想去的人）为30+33-x=63-x，由排除法可知用全体50人
减去投过赞成票的人，剩下的就是去两处都不赞成的同学，这样也就列出了算式
x
（30-x）+(33+x)+x+( +1)=50
3
解得 x =21
x
故 +1=8（人）
3
7715、1002盏
电灯如果最后依然亮着的，那么这盏灯要么没拉过，要么被拉了偶数次，例如：一盏灯被拉了
2次，在经历亮灭（拉1次）亮（拉2次）之后必然是亮着的。
因此，我们只要找出2000以内哪些数不是2、3、5的倍数（共多少个），即这种编号的灯没被
拉过；以及是2和3、2和5、3和5的公倍数的数共多少个（即被拉了2次的灯）。由于1~2000的
自然数中，是2、3、5的公倍数的数有：2000÷30≈66个是2、3的公倍数，但不是5的倍数的数有：
2000÷6-66≈267（个）
是2、5的公倍数，但不是3的倍数的数有：
2000÷10-66=134（个）
是3、5的公倍数，但不是2的倍数的数有：2000÷15-66≈67（个）
所以，易求只是2的倍数的数有：
2000÷2-（267+66+134）=533个
只是3的倍数的数有：
2000÷3-（267+67+66）≈266个
只是5的倍数有：
2000÷5-（134+66+67）=133（个）
所以不是2、3、5的倍数的数共有：
2000-（2000÷2+266+67+133）=534（个）
这样，被拉了两次的灯和设被拉过的灯共有：（267+134+67）+534=1002（盏）
比和比例
[同步巩固演练]
1、甲、乙两列火车同时从A、B两城市相向开出，分别驶向B、A两城。已知甲车每小时行驶120
千米，乙车每小时行驶80千米。
（1）甲、乙两车的速度之比是 ： 。
（2）甲、乙两车相遇时所行的路程比是 ： 。
（3）甲、乙两车各自行完全程所用的时间比是 ： 。
2、已知甲:乙=5:6,乙:丙=4:7,那么甲:乙:丙= ： ： 。
3、一个分数，分子与分母之和是100，如果加上23，分母加上32，新的分数约分后是2/3，原分
数是 。
784、如图，图形中的阴影部分面积占圆面积的1/6，占正方形面积的1/5；三角形中阴影面积占三
角形面积的1/9，占正方形面积的1/4。圆、正方形、三角形的面积的最简整数比是 。
5、小刚读一本书，第一天读了全书的2/15，第二天比第一天多读了6页，这时已读的页数与剩
下的页数的比是3：7，小刚再读多少页就能读完这本书？
6、现有三块面积分别为5亩、6亩、7亩的麦地需要锄草，现有农工36人，每块地应安排多少人，
才能同时完成？
1
7、甲、乙两车由A、B两地同时出发相向而行，甲、乙两车速度比是2；3，已知甲走完全程用5
2
小时，求两车几小时后在中途相遇？
8、两个服装厂，一个月内生产的西服数量是6：5，两厂西服价格的比是11：10。已知这个月两厂
的总产值为6960万元。两厂的产值各是多少万元？
[能力拓展平台]
1、某校原有科技书、文艺书共630本，其中科技书与文艺书的比是1：4。后来又买进一些科技
书，这时科技书与文艺书的比是3：7。问：买进科技书多少本？
2、有大、小两瓶共重2.7千克，把大瓶油的1/4倒给小瓶后，大瓶的油与小瓶的油的重量比是3：
2，求大、小瓶子里原来分别装有多少千克油。
3、甲、乙两车从相距190千米的A、B两地相向开出，在途中相遇。已知甲乙两车的速度比为4：
3，相遇时所用时间的比为5：6，求相遇时甲、乙两车各行了多少千米？
4、某供应站分三次给甲、乙、丙三个村运肥田粉，三个村与供应站的距离不相等，第一次给三个
村各运去2号，应收运费14元，第二次分别运去4吨、3吨、2吨，应收运费22、4元，第三次分
别运去5吨、4吨、2吨，应收运费27.8元，求各村应付运费多少元？
5、甲、乙、丙三堆煤共重1480吨，已知甲堆煤重量的1/6与乙堆煤重量的1/4相等，乙堆煤重量
的1/10等于丙堆煤重量的1/12，问三堆煤各重多少吨？
6、甲、乙两辆汽车从相距380千米的两地相向开出，在途中相遇，已知甲、乙两车的速度比为
4：3，相遇时所用时间的比为5：6。求相遇时甲、乙两辆汽车各行了多少千米？
7、男孩的个数和女孩个数的比是3：2，如果每个男孩都可以得到2张粘胶纸，每个女孩都可得
到3张粘胶纸，那么一共需要1992张粘胶纸。问共多少个小孩？
8、甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园。甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速
度是每小时3千米，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米。这辆汽车恰好能坐一个班的
学生，为了使两个班学生在最短时间内同时到达，那么甲班学生与乙班学生需要步行的路程之
比是多少？
[全讲综合训练]
1、一个车间有两个小组，第一小组与第二小组人数的比是5：3，如果第一个小组14人到第二
小组时，第一小组与第二小组的比则是1：2，原来两个小组各有多少人？
2、甲、乙两数的比为5：3，并且它们的最大公约数与最小公倍数的和是1040，那么甲数是
，乙数是多少？
3、有一块铜锌合金，其中铜与锌的比是2：3，现在加入锌6克，共得新合金36克，在新合金内铜
与锌的比是多少？
794、一块长方体砖，长与宽的比是2：1，宽与高的比是2：1，长、宽、高共35厘米，这块砖的体积
是多少？
5、已知小明与小强步行的速度比是2：3，小强与小刚步行的速度比是4：5，已知小刚10分钟比
小明多走420米，那么，小明在20分钟里比小强少走多少米？
1
6、三个分数的和是2 ，它们的分母相同，分子比是1：2：3，这三个分数分别是多少？
10
7、四个数依次相差1/80，它们的比是1：3：5：7，那么这四个数的和是多少？
8、有甲、乙、丙三个梯形，它们的高之比是1：2：3，上底之比依次是6：9：4；下底之比依次为
12：15：10。已知甲梯形的面积是30平方厘米，那么乙与丙两个梯形的面积之和是多少平方厘
米？
9、（第三届华杯赛决赛试题）
四边形ABCD被AC和BD分成甲、乙、丙、丁四个三角形，已知：BE=80cm，CE=60cm，
DE=40cm，AE=30cm，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？
10、（北京市小学六年级数学竞赛试题）生产一批零件，甲每小时做18个，乙单独做要12小时
完成，现在甲、乙两人合做完成任务时，甲、乙生产零件数量之比是3：5，甲一共生产了零件多
少个？
11、（第四届华杯赛决赛试题）下图中有两个红色的正方形，两个蓝色的正方形，它们的面积
已在图中标出（单位：平方厘米）
问：红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？请说明理由。
12、（ “我爱数学”少年数学夏令营竞赛试题）三个班学生共157人，且三个班男生人数都相
等。第一班男生占全班人数的7/13，第二班男生占全班人数的4/7，那么第三班的女生是多少人？
13、（2000年西北大学附小数学竞赛试题）有浓度3.2%的盐水500克，为了使它变为浓度为8%
的盐水，需要使它蒸发掉多少克的水？
14、（第七届“五羊”初中数学竞赛初一试题）五羊小学一至六年级学生人数之比为30：29：
28：27：26：25，应届六年级学生毕业后，新招入一年级新生372人，其余学生全部升级，这样使
得新学期开学后低年级（一、二、三年级）与高年级（四、五、六年级）学生人数之比为10：9，则
这时五羊小学学生总数为多少人？
8015、（第三届华杯赛试题）1998夏天洪水居高不下，8月22日武汉关水位高达29.32米，已知武
汉关离长江入海口1125千米，而九江离武汉关269千米，假设武汉关到入海口长江江面坡度相
同，请计算当天九江的水位是多少米？（取二位小数）
16、（小学数学奥林匹克决赛试题）5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有
一些是喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？
17、（北京市第七届小学生迎春杯数学竞赛初赛试题）小华和小明各走一段路，小华走的路程比
小明多1/5，小明用的时间比小华用的多1/8，问小明的速度是小华的几分之几？
18、（第四届《小学生数学报》数学竞赛决赛试题）三名工人师傅张强、李辉和王充分别工加200
个零件，他们同时开始工作，当李辉加工200个零件的任务全部完成时，张强才加工了160个，
王充还有48个没有加工，当张强加工200个零件的任务全部完成了，王充还有多少个零件没有
加工？
19、（2004年全国小奥赛决赛试题）如图所示，在△ABC中，CD、AE、BF分别为BC、CA、AB长
的1/3，那么S 与S 面积之比是多少？
△MNP △ABC
比和比例参考答案
[同步巩固演练]
1、（1）甲、乙两车的速度之比是120：80=3：2
（2）甲、乙两车相遇时所行的路程比是3：2。
（3）甲、乙两车各自行完全程所用的时间比是2：3，
2、甲：乙=5：6，乙：丙=4：7，6与4的最小公倍数为12，根据比例的基本性质可得：甲：乙=10：
12，乙：丙=12：21，因此甲：乙：丙=10：12：21。
3、39/61
新的分数分子与分母之和是100+32+23=155，而分子与分母之比是2：3。因此：
2
分子=155× =62，
23
3
分母=155× =93
23
816223 39
原分数是
9332 61
4、24：20：45
5、126页
7 4
总页数：6÷（ 2）=180（页）
73 15
7
剩下的页数为：180× =126（页）
10
6、10人，12人，14人
5
36× =10（人）
567
6
36× =12（人）
567
7
36× =14（人）
567
1
7、2 小时
5
设走完全程需X小时，则
1
2：3=X：5
2
1
解此比例得X= 3
3
1 1 1
( ) 2 (小时)
两人相遇共需：1÷ 1 1 5
5 3
2 3
8、6960万元，3000万元。
两厂的产值比为：（6×11）：（5×10）=66：50
66
甲厂产值：6960× 3960(万元)
6650
乙厂产值：6960－3960=3000（万元）
[能力拓展平台]
1、90本
4
分析：某校原有文艺书的本数是630× 504本。买进一些科技书后，文艺书占现有书
14
7 7
总数的 。由此可推出现有书的本数。现有书的总数与原有书总数的差，就是买
37 10
进的科技书的本数。现有书的总数与原有书总数的差，就是买进的科技书的本数。
4
630× 504(本)
14
7
504÷ 720（本）
37
82720－630=90（本）
2、2.16千克，0.54千克
1
分析：把大瓶油的 倒给小瓶，两瓶油的总重量没有变，还是2.7千克。因此可按比例分配
4
3 1
求出现在大瓶油的重量是：2.7× 1.62千克。大瓶油倒出 后是1.62千克，即1.62千克
23 4
1 3 1
是原有油的1－ = ，这样就可倒推出大瓶原有油的千克数是：1.62÷(1－ ) 2.16千克,到
4 4 4
此小瓶原有油的千克数就不难求出了。
3
2.7× 162(千克)
23
1
1.62÷(1 ) 2.16(千克)
4
2.7－2.16=0.54(千克)
6、200千米，180千米。
因为甲、乙两车的速度比为4：3，相遇时所用时间的比为5：6，所以甲乙两车相遇时所行路
程的比为（4×5）：（3×6）=20：18=10：9。
甲车行了 380÷（10+9）×10=200（千米）
乙车行了 380÷（10+9）×9=180（千米）
7、830个
1
男、女生纸张之比是（3×2）：（2×3）=1：1，1992× 996，996÷2+996÷3=830（人）
11
8、15：11
汽车速度是甲班步行速度的48÷4=12倍，是乙班步行速度的48÷3=16倍。
我们不妨设汽车先送甲班到C点后再返回，在B点接到乙班后送往公园。
如图所示：
甲班行走的路程为CD，乙班行走的路程为AB。
甲班在行走CD这段路程时，汽车行驶了（2CB+CD），由于汽车速度是甲班步行速度的12倍，
所以2CB+CD=12CD，2CB=11CD。
乙班在行走AB这段路程时，汽车行驶了（2CB+AB），由于汽车速度是乙班步行速度的16倍，
所以2CB+AB=16AB，2CB=15AB。
这样11CD=15AB；CD：AB=15：11。即甲班学生与乙班学生需要步行的路程之比是15：11。
[全讲综合训练]
1、30人，18人
835 1
总人数为：14÷（ ）=48（人）
53 12
两个小组的人数分别为：
5 3
48× =30（人），48× =18（人）
8 8
2、325，195
设甲和乙的最大公约数为K，则甲数为5K，乙数为3K，它们的最小公倍数为15K。于是
K+15K=1040，解得K=65。
从而甲数为5×65=325，乙数为3×65=195。
2、1：2
4、1000立方厘米
长与宽的比为2:1=4:2，宽与高的比为2:1，故长、宽、高的连比为4:2:1，其中高为35×
1
=5（厘米）
421
宽为5×2=10（厘米），长为5×4=20（厘米），体积为20×10×5=1000（立方厘米）
5、480米
小强、小明、小刚的步行速度连比是8：12：15，所求路程为：[420÷（15-8）]×（12-8）×
（20÷10）=480（米）
7 14 21
6、 , ,
20 20 20
7 14
1 1 7 2 7 21
第一个数是2 ，第二个数是20 20 ，第三个数是 3 。
10 123 20 20 20
1
7、
10
将四个数分别看成 1 份、3 份、5 份、7 份，那么一、二两个数相差 2 份，每份是
1 1 1 1
2 ，四个数的和共有1+3+5+7=16份，所以和为： 16
80 160 160 10
8、150
将甲、乙、丙的高看作1、2、3份，上底看作6、9、4份，下底看作12、15、10份，那么甲、乙、丙
面积的份数依次是：
甲（6+12）×1÷2=9；乙（9+15）×2÷2=24；
丙（4+10）×3÷2=21。故乙、丙梯形面积份数之和是甲 梯形份数的（21+24）÷9=5（倍），故乙
丙梯形面积之和为30×5=150（平方厘米）
5
9、 倍。
4
因ABE和AED等高，故可得S ：S =80：40=2：1
甲 丁
而AED和DEC等高，故可得S ：S =60：30=2：1
乙 丁
同理我们还可以推知，S ：S =60：30=2：1
丙 甲
这就是说：S =2 S ，S =2 S ，S =2S =4 S
甲 丁 乙 丁 丙 甲 丁
84S S 5S S S 5
丁 丙 丁 丙 丁
从而得： 即
S S 4S S S 4
甲 乙 丁 甲 乙
5
即丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的 倍。
4
10、135个
11、前者大
先将蓝色的小正方形放入红色的小正方形中，可知19932比19922大2×1992+1（二个长方
形，长是1992，宽是1，一个正方形，边长为1）。再将红色的大正方形放入蓝色的大正方形中，
19962比19972小2×1996+1。
由于2×1992+1<2×1996+1
因此，两个红色的正方形面积的总和要比两个蓝色正方形面积总和小。
12、28人
4 7
一班、二班人数之比是 : =52：49，可推知一班有52人，二班有49人。那么三班女生人
7 13
7
数为：157-52-49-52× =28（人）
13
13、300克
设应蒸发掉x克水，则
500×3.2%=(500-x)×8%
x=300
14、2052人
分析：因为题目已知招入一年级新生372人，要求五羊小学学生总数，必须求得一年级学生
总数（372人）所占全校总数比。
设一年级新生所占各年级人数比的份数为x，那么新学期一至六年级人数之比为：
x:30:29:28:27:26
由题意知（x+30+29）：（28+27+26）=10:9，得（59+x）:81=10:9
x+59=90
x=31
31
一年级学生总数占全校总数的
171
31 171
所以，学校学生总数为：372÷ =372× =2052（人）
171 31
15、22.31米
分析 由假设武汉到入海口长江江面坡度相同，这就是说江面上任意两地的水位差与
85两地间的流程之比都相等，因此，江面上某地的水位与该地到长江入海口的距离之比都相等。
九江到入海口（沿江的）距离是
1125－269=856（千米）
设九江的水位是X米。
则有：29.32：x=1125：856
x=29.32×856÷1125
x=22.31(米)
16、129瓶
分析 161÷5=32余1，所以必须购买1瓶汽水，以后只要买4瓶汽水就能供5个学生喝用
（5个空瓶可换回1瓶汽水）。这就是说，买汽水的瓶数与喝汽水的瓶数的比是4：5
设至少要买X瓶汽水，那么
x：160=4：5
5x=4×160
x=128
至少购买的汽水瓶数是128+1=129瓶。
20
17、
27
根据题意，
1
小明走的路程：小华走的路程=1：（1+ ）
5
1
小明用的时间：小华用的时间=（1+ ):1
8
5 9
所以，小明的速度：小华的速度= : 20:27
6 8
20
也就是说，小明的速度是小华速度的 。
27
18、10个
解法1：根据题意，
张强和王充工作效率之比为：160:（200-48）,设王充没有加工的为x个,则有
160：（200－48）=（200－160）：x
x=152×40÷160
x=38(个)
48－38=10（个）
解法2：设当张强加工了200个零件时，王充加工了X个零件，由题意有；
160：（200－48）=200：x
x=200×152÷160
x=190(个)
200－190=10（个）
19、1：7
如下图，连结NC，设S =S ，S =S ，S =S ，S =S
△ANE 1 △MDC 2 △BPF 3 △MNP
显然S =2S 。
△NEC 1
S =S －S－2S
△DNC △ADC 1 1
861
= S －3S
3 △ABC 1
1
又S = S
△DNC 3 △BNC
1
= ×（S －2S）
3 △BEC 1
1 2
= ×（ S －2S）
3 3 △ABC 1
2 2
= S － S
9 △ABC 3 1
1 2 2
所以 S －3S= S － S
3 △ABC 1 9 △ABC 3 1
1
易得S= S
1 21 △ABC
1
同理可知：S=S =S = S
1 2 3 21 △ABC
下面再看S与S 与S 及S 的关系：
1 2 3
S =S +S +S +S－S－S－S
△ABC △ABE △BCF △ADC 1 2 3
1
而S =S =S = S
△ABE △BCF △ADC 3 △ABC
所以S=S +S +S
1 2 3
1 1
综合上述分析可知：S= S ×3= S
21 △ABC 7 △ABC
故S ：S =1：7
△MNP △ABC
立体图形
[同步巩固演练]
1、一个长方体的棱长之和是48厘米，长5厘米，宽4厘米，它的表面积是（ ），
体积是（ ）。
2、在棱长为10厘米的正方体玻璃缸里装满水，然后将这些水倒入长20厘米，宽10厘
米的长方体玻璃缸内，这时水深（ ）厘米。
3、一个正方体和一个长方体拼在一起成了一个新的长方体，新长方体比原来的长方体
的表面积增加60平方厘米，这个正方体的表面积是（ ）。
４、一个长方体正好分割成３个体积相等的正方体，已知一个正方体的表面积是３平方
厘米，原来长方体的表面积是（ ）平方厘米。
５、有一张长方形铁皮，按图剪下阴影部分制成圆柱体（单位：分米），求这个圆柱体的
表面积。
87６、如图，在棱长为５厘米的正方体中间挖了一个半径为２厘米的圆柱形的孔，求物体
的表面积。
７、高都是１米，底面半径分别是０.５米、１米和１.5米的三个圆柱组成的几何体如图。
求这个物体的表面积。
［能力拓展平台］
１、 如图，在棱长为５厘米的正方体的上下、前后、左右的正中位置都挖去一个棱长
为１厘米的正方体。问：此图形的表面积。
２、 某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织带如图所示包扎，
所用三条尼带长分别为235厘米、445厘米、515厘米。若每个尼龙带加固时接头重
叠都是5厘米，问这个长方体包装箱的体积是多少立方米？
3、（北京市每三届迎春杯数学竞赛初赛试题）
一个圆柱形水桶，若将高改为原来的一半，底面直径改为原来的2倍后，可装水40
千克，那么，原来的水桶可装水多少千克？
884、用铁皮做如下图所示的工件，需要多少平方厘米的铁皮？
[全讲综合训练]
１、 从一根长方体木料上截下一段体积48立方分米的长方体，木块剩下的部分正好
是一个棱长4分米的正方体木块，原来这根木料的表面积是（ ）平方分米。
２、 一个底面是正方形的长方体，它的侧面展开后正好是一个边长为4分米的正方形，
这个长方体的体积是（ ）立方分米。
３、 有一个正方体，如果它的高增加3厘米成为长方体，这个长方体的表面积就比原
来的正方体增加96平方厘米，原来这个正方体的体积是（ ）立方厘米。
４、 一只长方体水箱，长1分米，宽4.5厘米，水中浸没一只钢球，水深为8.2厘米，如
果把钢球从水中取出，水面就下降0.2厘米，这只钢球重（ ）克。（1立方
厘米钢重7.8克）
５、 两个完全相同的长方体，长10厘米，宽5厘米，高2厘米，拼成一个表面积最大
的长方体，拼成后的长方体表面积比原来两个长方体的表面积减少（ ）平
方厘米。
6、（2001年“《小学生数学报》杯”六年级决赛试题）
如下图，厚度为0.25毫米的铜板纸被卷成一个空心圆柱（纸卷得很紧，没有空隙），它
的外直径是180厘米，内直径是50厘米，这卷铜板纸的总长是多少米？（π取3.14）
7、（杭州外国语学校招生试题）
有两块同样的长为10厘米、宽为6厘米、高为8厘米的长方体木块，如果把其中一块
加工成最大的正方体，另一块加工成最大的圆柱体，那么加工后的正方体与圆柱体表
面积之和是多少？把正方体和圆柱体再分别加工成最大的圆锥体，那么两个圆锥体
的体积之和是多少？
8、（合肥市小学生数学竞赛试题）
一个底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯中装着水，水里放着一个底面直径为6厘米，
高20厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水面会下降多少厘米？
899、（辽宁省首届小学数学竞赛试题）
如图，有一个底面周长为942厘米的圆柱体，从中间斜着截去一段后，求截后的体积
是多少？
10、（第五届华杯赛复赛试题）一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水
深15厘米，今将一个底面半径2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中，求这时容器的水
深是多少厘米？
11、一个正方体木块在它的一个角上割去一个小正方体，如图所示，问现在这个多面体表面积
1
与以前的正方体表面积相比有无变化？若小正方体的棱长是原来大正方体棱长的 ，问小正
3
方体的体积是大正方体体积的几分之几？
12、如图所示图形是一个底面直径是20厘米的装有一部分水的圆柱形容器，水中放着一个底
面直径为12厘米，高为10厘米的圆锥柱铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中的水下降了几厘
米？
13、横截面直径为20厘米的一根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为7536平方厘米，原来那
根圆钢的体积是多少？（π=3.14）
14、一个长、宽和高分别为19厘米、14厘米和10厘米的长方体，现从它的上面尽可能大地切下
一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽
可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
15、（小学数学奥林匹克决赛试题）
面前有一个长方体如图，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，
那么这个长方体的体积是多少？
9016、（第一届华杯赛初赛试题）
边长1米的正方体2100个，堆成了一个实心的长方体，它的高是10米，长、宽都大于高。问
长方体的长和宽的和是多少米？
17、（第二届新苗杯小学生数学联赛试题）
用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长
方体木块多少块？
18、（全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）
一个圆柱体的容器内，放有一个长方体的铁块，现在打开一个水龙头往容器中注入 3分钟
时，水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟后，水灌满了容器，已知容器的高度是50厘米，
长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积与容器底面积的比是多少？
19、(第四《小学生数学报》数学竞赛试题)
一根长方体木料，体积是0.078立方米.已知这根木料长1.3米,宽为3分米,高应是多少分
米?孙健同学把高错算为3分米,这样,这根木料的体积要比0.078立方米多多少?
20、（乌鲁木齐地区第五届小学数学竞赛六年级试题）
一个圆柱底面半径为2分米，如把底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱体按扇形的半
径一一切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了
24平方米，问原来圆柱体的表面积是多少？
立体图形参考答案
[同步巩固演练]
1、94平方厘米，60平方厘米
2、5厘米
3、90平方厘米
4、7平方厘米
5、125.6平方分米
底面半径=8÷4=2(分米),16.56-2×2=12.56=3.14×2×2,所以长方形阴影部分正好制成圆柱
体的侧面,故圆柱的表面积是:
12.56×8+3.14×22×2=125.6(平方分米)
6、187.68平方厘米
7、32.97平方米
[能力拓展平台]
1、174平方厘米
把这个完整的正方体表面积加上因挖出六个小正方体而增加的(4×6=)24个面的面积,就是
这个图形的表面积.
9152×6+12×24=174(平方厘米)
2、0.54立方米
分析 利用尼龙编织带的长度分别求出长方体邮件的长、宽、高.
长方体中:宽+高=(235-5)÷2=115 ①
长+高=(445-5)÷2=220 ②
长+宽=(515-5)÷2=225 ③
②-①:长-宽=105 ④
（④+③）÷2:长=180
从而 宽=75
代入①得 高=40
所以长方体体积为：
180×75×40=540000（立方厘米）=0.54(立方米)
3、 20千克
h
设原来圆柱形水桶的高为h,底面直径为2r,若将高改为 ,底面直改为4r,这样它们的体
2
h
积分别为:V=r2h,V=(2r)2 ( ) 2r2h
1 2
2
这就是说，改变后的体积是原来体积的2倍。
4、2826
3.14×18×(45+55)÷2=2826
[全讲综合训练]
1、144平方分米
2、4立方分米
3、512立方厘米
4、70.2克
5、20平方厘米
6、9388.6米
设铜板纸的宽度为L厘米,先求出铜板纸的体积,再求出铜板纸的长度.
180 50
[( )2 ( )2]L 7475l
2 2
总长是7475L0.025L 938860(厘米).
=9388.6(米).
7、467.2平方厘米，157立方厘米。
8、0.6厘米
9、35.325立方厘米
10、17．72厘米
1
11、
27
大正方体的角上割去一个小正方体后，表面积并没有发生变化，这是因为割去一个小正方
体后只影响到大正方体的三个面，其余的面没受到影响，而这三个面所去掉的三个小正方形面
积被“割去小正方体后”多出来的三个小正方形面积所代替。
921
( a)3
设大正方体的棱长为a，则 V 小正方体 3 1
V a3 27
大正方体
1
所以小正方体的体积是大正方体体积的 。
27
12、1.2厘米
分析 因为玻璃容器是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，
这个圆柱的底面与玻璃容器的底面一样，是一直径为20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体
铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度。
因为铅锤的体积为：
1 12
V= ( )2 10 120(立方厘米)
1
3 2
设水面下降的高度为x厘米，则小圆柱的体积为：
V=π×(20÷2)2×x=100πx(立方厘米)
2
根据小圆柱的体积等于铅锤的体积有：
120π=100π·x 解此方程得：
x=1.2（厘米）
13、31400立方厘米
根据圆柱体的体积公式，体积等于底面积乘以高，由于底面直径已经知道，故只需依据条件
求出圆钢的长度。假设圆钢长为X厘米，由于将圆钢截成两段后，两段表面积的和等于圆钢的
侧面积加上四个底面 圆的面积，所以有下面的式子：
2π×（20÷2）×x+4π×（20÷2）2=20πx+400π
依据题中给出的已知条件，可得方程；
20πx+400π=7536
解方程：
7536400
x= 12020 100(厘米)
20
圆钢的体积为：
π×（20÷2）2×100≈31400(立方厘米)
14、806立方厘米
分析 显然第一次切下尽可能大的正方体的棱长是10厘米，其体积是103=1000（立方厘
米）。
这时剩余部分立体图的底面如图，所以第二次切下尽可能大的正方体的棱长是9厘米，其
体积是93=729（立方厘米）。
这时剩余部分除去一片正方形薄片后的立体图底面如上右图，因此第三次切下尽可能大
的正方体的棱长是5厘米，其体积是53=125（立方厘米）。
这样就可以算出最后剩下的体积了。
19×14×10－（103+93+53）=806（立方厘米）。
9315、374
由已知，得长×（宽+高）=209=11×19
因而有两种情况：
（1） 长=11，宽+高=19
（2） 长=19，宽+高=11
因为，宽和高都是质数，而且和为奇数，所以必有一个为2，另一个数为奇质数，从而宽、高
是2与17，长为11。
长方体体积是11×17×2=374
16、29米
分析：因为正方体的边长为1米，2100个正方体堆成的实心长方体体积为2100立方米，可
算出长方体的长×宽为210平方米。（高是10米）实心长方体体积是2100立方米，由已知高为
10米，所以长方体的长×宽为210平方米。
又210=2×3×5×7
由于长和宽都必须大于10米，因此长和宽只能是3×5和2×7，即15米和14米，它们的和
应是29米。
17、5292块
解 取9、6、7的最小公倍数
9×6×7=126
126÷9=14
126÷6=21
126÷7=18
所以至少需要这样的长方体木块14×21×18=5292（块）。
18、3：4
解：由水恰好没过长方体铁块的顶面后，18分钟灌满容器剩下的30厘米高度的水量，根据
容器底面积一定，圆柱水量与高度成正比例关系，可知灌满20厘米高度的水量应该用
20
18× 12(分钟)
30
可是实际一开始水面升到20厘米时仅用了3分钟，这说明：容器底面积没被长方体盖住的部分
1
只占容器的3÷12=
4
所以，长方体的底面积与容器底面积的比是3：4
说明：在求出灌满20厘米高度的水量应用12分钟后，可知长方形铁块的体积与12－3=9（分
钟）注水量相等，根据高度相等，底面积与体积成正比例关系，则长方体铁块底面积与容器底面
积的比是9：12，即3：4。
19、0.039立方米
94孙健同学把高错算为3分米，这样这根木料的体积就变成了
1.3×0.3×0.3=0.117(立方米)
这根木料的体积要比0.078立方米多：
0.117－0.078=0.039（立方米）
说明：本题已知长方体体积，又已知长方体底面宽3分米、长1.3米，可以得到它的底面面积，
再由体积和底面积，求得长方体的高。
0．078÷(1.3×0.3)=0.2(米)
0．2米=2分米
20、100．48平方厘米
设圆柱体的高为h，则拼成一个近似长方体后，增加了2个2×h的长方形，则
h=24÷2÷2=6（厘米）
3．14×2×2×6+3.14×2×2×2=100.48（平方厘米）
行程问题（二）
[同步巩固演练]
1、（全国小奥赛试题）
甲火车4分钟行进的路程等于乙火车5分钟行进的路程。乙火车上午8：00从B站开往A
站，开出若干分钟后，甲火车从A站出发开往B站。上午9:00两列火车相遇，相遇的地点离
A,B两站的距离的比是15:16，那么，甲火车从A站发车的时间是___________点__________分。
2、甲、乙两人同时由A地出发到B地，甲骑车每分钟行250米，乙步行每分钟行90米，甲骑车
到B地后立即返回，在离B地3.2千米处与乙相遇，求A、B两地之间的距离。
3、（全国小奥赛试题）
小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖行走。小张速度是每小时5.4千米，小王速
度是每小时4.2千米，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走，半小时后小张与小李相遇，
再过5分钟，小李与小王相遇。那么绕湖一周的行程是_________千米。
4、小王骑自行车从家去县城，原计划每小时行12千米，由于有事晚出发了半小时，要想按时到
达，必须比原计划每小时多行4千米，县城距小王家多少千米？
955、快慢两列火车相向而行，快车的车长是50米，慢车的车长是80米，快车的速度是慢车速度
的3倍，如果坐在慢车上的人见快车从窗口驶过的时间是5秒，那么坐快车的人见慢车从窗口
驶过的时间是多少秒？
6、（黑龙江哈尔滨第十三届“萌牙杯”数学竞赛）
一列火车车头及车身共41节，每节车身及车头长都是30米，节与节间隔1.5米，这列火车
以每分钟1千米的速度穿过山洞，恰好用了2分钟。这个山洞有多长？
7、一船逆水而上，船上某人有一件东西掉入水中，当船调回头时已过5分钟。若船的静水中速
度为每分钟50米，问再经过多长时间船才能追上所掉的东西？
[能力拓展平台]
1、一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时从某一点沿跑道向相反的方向跑，1分钟后相遇；
如果二人向同一方向跑，10分钟后相遇，已知甲比乙快，求甲、乙二人的速度。
2、（安徽省小学数学竞赛试题）
一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高25%，那么可比原定时间提前24分钟到达；如果
1
以原速行驶80千米后，再将速度提高 ，那么可以提前10分钟到达乙地，甲、乙两地相距多少
3
米？
3、一条轮船往返于A、B两地之间，由A到B是顺水航行；由B到A是逆水航行，已知船在静
水中的速度是每小时20千米，由A到B用了6小时，由B到A所用时间是由A到B所用时间
的1.5倍，求水流速度。
4、（黄冈市数学竞赛试题）
某停车场有10辆出租汽车，每一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出。在
第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场。以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场。
回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆。问：从第一辆出租
汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车？
5、（全国小奥赛总决赛试题）
一条环行道路，周长2千米。甲、乙、丙三人从同一点同时出发，每人环行两周。现有自行车
两辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑。已知
甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，三个骑车的速度都是每小
时20千米。请你设计一种走法，使三个人两辆车同时到达终点。问环行两周最少要用多少分钟？
[全讲综合训练]
1、两车同时从甲乙两地相对开出，甲每小时行48千米，乙车每小时行54千米，相遇时两车离
中点36千米，甲乙两地相距_____________千米。
2、A、B两地相距150千米，两列火车同时从A地开往B地，快车每小时行60千米，慢车每小时
行48千米，当快车到达B地时，慢车离B地还有_____________千米。
3、小明从甲地到乙地，去时每小时走6公里，回来时每小时走9公里，来回共用5小时，小明来
回共走了______________公里。
4、骑车人以每分钟300米的速度，从102路电车始发站出发，沿102路电车线前进，骑车人离
开出发地2100米时，一辆102路电车开出了始发站，这辆电车每分钟行500米，行5分钟到达
一站并停车1分钟，那么需要______________分钟，电车追上骑车人。
5、游船顺流而下，每小时前进7公里，逆流而上，每小时前进5公里，两条游船同时从同一个地
方出发，一条顺水而下，然后返回；一条逆流而上，然后返回。结果，1小时以后它们同时回到出
发点，在这1小时内有_____________分钟这两条船的前进方向相同？
966、甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走一圈的时间
是70分钟，如果在出发后第45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是____________分
钟。
7、有人沿公路前进，对面来了一辆汽车，他问司机：“后面有自行车吗？”司机回答：“十分钟
前我超过一辆自行车”，这个继续走了10分钟，遇到自行车。已知自行车速度是人步行速度的
三倍，那么汽车的速度是步行速度的______________倍。
8、（全国小奥赛试题）
龟兔赛跑，全程5.2千米。兔子每小时跑20千米。乌龟每小时跑3千米。乌龟不停地跑。但
兔子却边跑边玩，它先跑一分钟，然后玩十五分钟，又跑二分钟，然后玩十五分钟，再跑三分钟，
然后玩十五分钟，……，那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？
9、（四川德阳市第十二届小学数学邀请赛）
一列火车长48米，以每小时16千米的速度通过一座752米的桥。求火车从上桥到车尾离桥
共需多少时间？
10、（福建福州市小学数学竞赛试题）
一只船从甲码头到乙码头往返一次共用4小时，回来时顺水比去时每小时多行12千米。
因此后2小时比前2小时多行18千米。那么甲、乙两个码头的距离是多少千米？
11、（全国小奥赛试题）
如图，A、B是一圆形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙二人分别从A、B两点同时
沿相反方向绕道匀速跑步（甲、乙二人的速度未必相同）。假设当乙跑完100米时，甲、乙二人第
一次相遇，当甲差60米跑完一圈时，甲、乙二人第二次相遇。那么当甲、乙二人第十二次相遇时，
甲跑完________圈又_________米。
12、（ “小学生数学报”数学竞赛试题）
小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑
3
车去给小明送书。追上时，小明还有 的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学
10
校。这样小明比独自行走提早5分钟到校。小明从家到学校全部步行需多少分钟？
13、一列火车从甲地开往乙地，如果将车速提高20%，可以比原计划提前1小时到达；如果先以
原速度行驶240千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达。求甲、乙两地之间的距离
及火车原来的速度。
14、（全国小奥赛试题）
一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。这两只
蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米。它们每爬行1秒、3秒、5秒……(连续奇数)，就调头爬
行。那么，它们相遇时，已爬行的时间是多少秒？
15、（全国小奥赛决赛试题）
甲乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人的下山速度都是各自
上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。开始后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到
达山顶时，甲恰好下到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？
16、在一条公路上，甲、乙两个地点相距600米。张明每小时行走4千米，李强每小时行走5千
97米。8点整，他们两人从甲、乙两地同时出发相向而行，1分钟后他们都调头反向而行，再过3分
钟，他们又调头而行，依次按照1，3，5，7……（连续奇数）分钟数调头行走。那么，张、李两人相
遇时是8点_________分.
17、（全国小奥赛数总决赛试题）
快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。已知慢车从乙地到
甲地用12.5小时，慢车到甲地停留半小时后返回。快车到乙地停留1小时后返回，那么两车从
第一次相遇到第二次相遇共需____________小时______________分。
18、（浙江宁波市小学数学竞赛试题）
甲、乙两人同时从A地出发，以相同的速度向B地前进，甲每行5分钟休息2分钟；乙每
行210米休息3分钟。甲出发后50分钟到达B地，乙到达B地比甲迟到了10分钟。已知两人最
后一次休息地点相距70米。两人的速度是每分钟行多少米？
19、（第八届“华罗庚金杯”少年数学数邀请赛试题）
甲、乙两人从A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是5千米/时，中间三分之一
路程的行走速度是4.5千米/时，最后三分之一路程的行走速度是4千米/时；乙前二分之一路程
行走速度是5千米/时，后二分之一路程的行走速度是4千米/时。已知甲比乙早到30秒，A地到
B地的路程是多少米？
20、（全国小奥赛试题）
8点10分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地顺时针方向沿长方
形ABCD的边走向D点，甲8点20分到D点后，丙、丁两人立即以相同速度从D点出发。丙由
D向A走去，8点24分与乙在E点相遇，丁由D向C走去，8点30分在F点被乙追上，则连接
三角形BEF的面积为多少平方米？
行程问题（二）参考答案
[同步巩固演练]
1、8点15分
从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5：4=15：12，而相遇点距A，B两站的
距离的比是15：16，说明相遇前乙火车所走路程等于乙火车一小时所走路程的（16－12）÷16=
1 1
。也就是说已走了 小时。
4 4
所以甲火车发车时间是8点15分。
2、6800（米）
甲、乙两人同时出发到相遇所需的时间为
3200×2÷（250－90）=40（分）
（250+90）×40÷2=6800（米）
3、4．2千米
30分钟小王落后小张（5.4－4.2）÷2=0.6(千米)，由题意知小王和小李走这0.6千米用了5
分钟.因为小王和小李从出发到相遇共用35分钟,所以绕湖一周的行程是
0.6×(35÷5)=4.2(千米).
4、24千米
98按原计划，半小时行12÷2=6（千米）
要补上6千米的差距，实际行了6÷4=1.5(小时)
县城距小王家(12+4)×1.5=24(千米)
5、8秒
因相对速度一样，时间与车长成正比，设慢车驶过时间为X秒，则
50：5=80：x
x=8
6、710米
火车车长为：
30×41+1.5×(41－1)=1290(米)
山洞长度为:
1000×2－1290=710(米)
7、5分钟
这个问题相当于掉在水里的东西原地不动，船在静水中向前航行5分钟后调回头取掉在
水里的东西，所以再经过5分钟，船才能追上所掉的东西。
[能力拓展平台]
1、甲的速度为每分钟220米，乙的速度为每分钟180米。
根据第一个条件两人出发后一分钟相遇，可知两人的速度和为400÷1=400（米/分）。
根据第二个条件，两人向相同的方向跑，10分钟后两人相遇，可知10分钟两人的路程
差为400米，据此可求出两人的速度差为：
400÷10=40（米/分）
所以甲的速度为（400+40）÷2=220（米/分）
乙的速度为（400－40）÷2=180（米/分）
2、120千米
1 1
提示：原定全程时间为24÷（1 ) 120分，若全程提速 ，则提前时间为1÷（1+
125% 3
1 3 3 1
) ,120(1 ) 30分。现在只提前10分，说明只有 路段是提速的，那么全程是80÷
3 4 4 3
1
（1－ ）=120千米。
3
3、4千米/小时
分析 在这个问题中，不论船是逆水航行，还是顺水航行，其行驶的路程相等，都等于A、
B两地之间的路程；而船顺水航行时其行驶的速度是船在静水中的速度加上水流速度，而船在
逆水航行时的行驶速度是船在静水中的速度与水流速度的差。
设水流速度为每小时x千米，则船由A到B行驶的路程为（20+x）×6千米，船由B到A
行驶的路程为（20－x）×6×1.5千米,根据题意得:
(20+x)×6=(20－x)×6×1.5
x=4
4、108分钟
设从第一辆出租汽车驶出直至中断前最后一辆出租汽车回场的这段时间为 X分钟，则驶
x x2
出的出租汽车辆数为 1，而回场的出租汽车的辆数为 1，由题意得
4 6
99x x2
（ 1)( 1) 9 x 104.
4 6
这表示第一辆驶出104分钟后，停车场只剩下刚刚回场的一辆汽车，再经过4分钟，这一
辆汽车驶出后，停车场就无出租车了。
5、如下：
甲步行1千米是60÷5=12（分钟），乙、丙步行1千米是60÷4=15（分钟），骑车行进1千米是
60÷20=3（分钟），先假设乙、丙都骑车两圈，需要3×2×2=12（分钟），甲步行一圈，骑车一圈，需
要12×2+3×2=30（分钟）。
现在再考虑：如果乙、丙少骑0.5千米，甲就可以多骑1千米..
乙、丙少骑0.5千米,每人要多用(15－3)×0.5=6(分钟)
而甲却可以少用12－3=9(分钟)
一进一出两者相差6+9=15(分钟),而30分钟与12分钟相差18分钟,18÷15=1.2.因此,乙、丙
如果少骑0.5×1.2=0.6(千米),甲多骑1.2千米,就能扯平相差的18分钟.
现在,乙、丙所用时间是(4－0.6)×3+0.6×15,丙下车步行=19.2(分钟).
甲所用时间是(2+1.2)×3+(2－1.2)×12=19.2(分钟),三人能同时到达终点。
那么自行车如何安排呢？（见图示）
让甲先步行0.8千米,再骑车3.2千米;
让乙先骑车2.8千米,再步行0.6千米,再骑(丙留下车)车0.6千米;
让丙先骑车3.4千米,然后步行0.6千米。
[全讲综合训练]
1、1224
乙每小时比甲多行54－48=6（千米），而乙相遇时比甲多行36×2=72（千米），故相遇时
的时间为72÷6=12（小时），从而甲乙两地相距12×（48+54）=1224（千米）。
2、30
快车到达B地所需时间是150÷60=2.5(小时),慢车离B地的距离是150－48×2.5=30(千
米).
3、36
x x
设甲、乙两地相距x公里，则 5,
6 9
100故x=18，于是小明共行了18×2=36（公里）。
4、15.5
不考虑停车时间，电车追上骑车人所用时间为2100÷（500－300）=10.5（分钟），这期间，
电车需要经过两站，停车2分钟，骑车人在2分钟内所走的距离为300×2=600（米），
这样，考虑停车时间，电车追骑车人所用时间为（2100+600）÷（500－300）+2=15.5（分
钟）。
5、10
设1小时顺流时间为x分钟，则逆流时间为（60－x）分钟，由于路程一定，行驶时间与
速度成反比例，故x：（60－x）=5：7，解得x=25，60－x=35。
当两条船同时从同一地方出发，一条顺流走25分钟后，开始返回（逆流行走），这时另
一条还在逆流前进，这其间的35－20=10（分钟），两船同时向上游前进。
6、126
s s
设乙骑自行车走一圈要x分钟，环行公路长为S米，则有45（ ) s,解得x=126
70 x
7、7
设人行速度为每分钟1单位，则自行车速度为第分钟3单位，再设汽车速度为每分钟x单
位，依题意有（x－3）×10=（3+1）×10，故有x=7。
8、13.4分钟
1
兔子每分钟跑20÷60= （千米）
3
1
兔子跑完全程（不包括玩的时间），需要5.2÷ =15.6(分钟)，15.6=1+2+3+4+5+0.6， 15.6
3
分钟分成六段跑完，中间兔子玩了5次，每次15分钟，共玩了15×5=75（分钟）
兔子跑完全程，需要15.6+75=90.6(分钟)。
3
乌龟跑完全程，需要5.2+ 104（分钟）
60
因此，兔子比乌龟先到达终点，比乌龟快104－90.6=13.4（分钟）。
9、3分钟
（48+752）÷16000×60=3(分钟)。
10、45千米。提示：
如上图，2小时船逆水行到A处，距乙码头18÷2=9千米。①因为从B—A和从A—乙码头都
是9千米，船逆水行的时间相同，所以逆水从甲—B与顺水从乙—甲需要的时间相同，而距离相
差18千米，假设顺水从乙到甲时间为X，则（顺水速度-逆水速度）×X=18，X=18÷12，X=1.5小
时。②逆水从甲到乙地需要4－1.5=2.5小时，即逆水从B→A→乙码头用2.5－1.5=1小时，逆
水速度是18÷1=18千米/小时，甲、乙相距18×2.5=45千米。
11、6圈340米。
分析：第一次相遇两人共走的长度是半圆的弧长。即乙走半圆弧与甲相遇时是100米。
从第一次相遇到第二次相遇两人共走了一个整圆，乙应走了200米，所以从出发到第二次相遇
乙共走了300米，所以半圆弧长是300－60=240（米），圆周长240×2=480（米）；从第二次相遇
101到第十二次相遇，每相邻两次相遇之间，两人共走一个圆周长。由于甲与乙合走一圈相遇一次
时甲走了：（240－100）×2=280（米），所以从第二次相遇到第十二次相遇，甲共走了：
280×11=3220（米），折合圈数是：3220÷480=6圈340米。
1
12、23 分。提示：
3
如图，假设全程为单位“1”，C是中点，爸爸在D点追上小明，则爸爸与小明速度比是：（
3 1 3
1 ):(1 ) 7:2. ②由题意从D→B地，骑车比步行少用5分，可知步行BD的时
10 2 10
2 3 1
间为5÷（1 ) 7分,7 23 分.
7 10 3
13、540千米，90千米/小时
分析 若将车速提高20%，现在的车速与原来车速的比为（1+20%）：1=6：5。
现在走完全程的时间与原来走完全程的时间的比为速度的反比，即5:6。由于用现在的
车速跑完全程可比原计划提前1小时到达，由此可知，按原车速跑完全程需6小时。
若将车速提高25%，现在的车速与原来的车速之比为（1+25%）：1=5：4，故跑相同的路程
4
所用的时间比为4：5，即跑相同的路程，现在用的时间是原来所用时间的 。若从开始就将车
5
4 1 2
速提高25%，跑完全程时间可少用6×（1 ) 1 （小时），而现在只提前40分钟，即 小时，
5 5 3
1 2 8
提前1 小时,这是由于前面的240千米是按原速行驶的。即若将车速提高25%，行
5 3 15
8
驶2440千米可以提前 小时。
15
当速度一定时，行驶的路程与所用的时间是成正比的，同样，行驶的路程与提前的时间
也成正比例。
设甲、乙两地相距x千米，则有：
6
x 5 8 6
,即 x 240 ,x 540.
240 8 15 5
15
∴原来的车速为540÷6=90（千米/时）
14、49秒
它们每秒钟共同爬行5.5+3.5=9厘米，第1秒在上半个圆周长，共同爬行了9厘米；
再过了3秒在下半圆上，共同爬行了9×3－9=18（厘米）；
再过5秒又在上半圆上，共同爬行了9×5－18=27（厘米）；
……
列出下表，找出规律。
爬行秒数 1 3 5 7 9 11 13
哪个半圆 上 下 上 下 上 下 上
共同爬行（厘米） 9 18 27 36 45 54 63
102圆周长是1.26米=126厘米，半圆周长是63厘米，因此，它们共同爬行了1+3+5+7+9+11+13=49
（秒）。
15、1.5小时
本题的难点在于甲上山与下山的速度不同。如果甲下山的速度与上山的速度相同，则相
应的条件变为“1小时后，乙离山顶差600米，甲走了下山路的400米”和“乙到达山顶时，甲
1
走了下山路的 ”。
3
1 4
由“乙到达山顶时，甲走了下山路的 ”知，甲的速度是乙的速度的 。因为1小时甲
3 3
比乙多走600+400=1000（米），所以甲、乙的速度分别是每小时4000米和3000米，山路长
3000+600=3600米。
再变回到“甲下山速度是上山速度的 1.5倍”。由1小时后，甲距山脚还有3600－
600=3000米。知，甲到山脚还需：
3000÷（4000×1.5）=0.5(小时)
所以甲从出发到回到山脚共用1+0.5=1.5小时。
16、24分
4 5
每分钟，两人共同走了 0.15(千米) 150(米)。
60 60
因为“相向”和“反向”要相互抵消，只有相向而行才能相遇，我们把抵消后相向行走
时间称作为有效时间，相遇所需有效时间是600÷150=4（分钟）。
我们把一次“反向”和一次“相向”算作一轮，每一轮的有效时间是1分钟，第二轮的
有效时间是5－3=2（分钟），那么第三轮只需4－1－2=1（分钟）的有效时间，即有8－7=1（分
钟），此时，他们共走了：
1分钟相向，3分钟反向，5分钟相向，7分钟反向，8分钟相向。
用去总时间为：1＋3＋5＋7＋8=24（分钟），所以，张、李两人相遇时是8点24分。
17、10小时48分
由题意知，快车5小时行的路程慢车需行12.5－5=7.5（小时），所以快车与慢车的速度
比为7.5:5=3:2。因为两车第一次相遇时共行甲、乙两地的一个单程，第二次相遇时共行三个单
程，所以，如果两车都没停留，第一次相遇到第二次相遇需10小时。现在慢车停留30分钟，快
车停留60分钟，所以第一次相遇后10小时30分，两车间的距离快车还需行30分钟，这段距离
3
两车共行需30× 18（分钟）。所以，第一次相遇到第二次相遇共需10小时48分。
32
18、50米/分
19、9千米
20、2497.5
由于甲乙速度相同，所以甲从A到D时，乙所走的路程也为AD，然而甲到D后，乙却还
在G点处，这是由于乙要多走60米，结合从8：20到8：24乙、丙在E点相遇，可知乙、丙4分钟
合走的路程（GD）就是60米，故乙、丙的速度和为60÷4=15米/分。
乙又用6分钟从E点走到F（8：24～8：30），而丁从D到F用了10分钟（8：20～8：30），
由于丙、丁两人速度相同，那么丙若从E到F则需4+10=14分钟，因为路程一定，速度和时间成
7
反比，所以乙速：丙速=14：6=
3
103根据和倍问题可求出乙、丙的速度
7 9
15÷（ +1）= (米/分)……丙速
3 2
9 7 21
(米/分)……乙速
2 3 2
21 9 9
所以AD= 10105（米），DE= 418（米），DF= 10 45（米），CF=60－
2 2 2
45=15（米）
进而可求出△BEF的面积：
S =S －S －S －S
△BEF ABCD △ABE △DEF △BCF
=105×60－87×60÷2－18×45÷2－105×15÷2
=6300－2610－405－787.5
=2497.5(平方米)
最大和最小问 1 2 3 4 5 6 7 8 题（二）
[同步巩固演练]
1、一个整数乘以13后，乘积的最后三位数是123，那么这样的整数中最小的是_____________。
2、一把钥匙只能开一把锁。现有8把钥匙和8把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试
____________次才能配好全部的钥匙和锁。
3、将 135 个苹果分成若干份，并且使其中任意两堆苹果数都不相同，最多可以分成
____________份。
4、（全国小奥赛试题）
现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各一个，最多可以称出______________种不同
的重量。
5、（“我爱数学”少年夏令营竞赛试题）
在给定的2×8的方格表中，第一行的8个方格内；依次写着1,2,3,4,5,6,7,8（如下表）。如果
再把1,2,3,4,5,6,7,8按适当次序分别填入第二行的8个方格内，使得每列两数之差（大数减小
数）的8个差数两两不同，那么第二行所显示的八位数的最大可能值是_____________。
6、ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A、B、C、D、E、F、G代表1与9中不同的数
104字。已知ABCD EFG 1993,问：乘积ABCDEFG的最大值与最小值差多少？
[能力拓展平台]
1、（全国小奥赛试题）
前五次考试的总分是428分，第六次至第九次的平均分，比前五次平均分多1.4分。现在
要进行第十次考试，要使后五次平均分高于所有十次的平均分，那么第十次至少要考
__________分。（注：每次考试的分数都是整数）。
2、在下图中，每个数字表示走这段路所需要的时间（单位：分钟），求A到B的最短时间。
3、甲城有157吨货物要运到乙城，大卡车载重量是5吨，小卡车的载重量是3吨，耗油量分别
是10升和7.5升，用多少辆大卡车及小卡车来运输，耗油量最省？
4、（全国小奥赛试题）
已知从1开始连续n个自然数相乘，1×2×3×…×n
乘积的尾部恰有25个连续的0，那么n的最大值是多少？
5、某健身球由一个黑球和一个白球组成一套。已知甲乙两车间均生产这种健身球，甲车间每
月用16天生产黑球，14天生产白球，共生产448套；乙车间每月用12天生产黑球，18天生
产白球，共生产720套。两厂合并后每月（按30天计算）最多能生产多少套健身球？
[全讲综合训练]
1、用长和宽分别是4厘米和3厘米的长方形小木块，拼成一个正方形，最少要用这样的木块
_____________块。
2、（全国小奥赛试题）
如果四个两位质数a,b,c,d两两不同，并且满足等式a+b=c+d,那么a+b的最大可能值是
。
3、1，2，3，…，2002这2002个自然数中最多可取出个数，能使取出的任意两个数的差都不等于
4？
4、（甘肃省第六届小学数学冬全营试题）
将99拆分成19个质数之和，要求最大的质数尽可能大，那么这个最大的质数是
5、（北京市数学竞赛试题）
从1至9这9个数中选出8个数，分别填在下面8个圆圈内，使算式的结果尽可能大。
[○÷○×(○+○)]－(○×○+○－○),你的计算结果是_____________。
6、A、B、C三人同去郊区医院看病。A打针要用5分钟，B换药要用2分钟，C针炙要用12分
钟。医生如何安排他们的治疗顺序才能使A、B、C的治疗和等候的时间为最少？
7、A、B、C、D四人同提一个水桶去打水，自来水笼头仅一个，他们打水用时分别为a，b，c，d。
已知a＞b＞d＞c，问如何安排他们的打水顺序才能使每人都打好水又同时回去所花费的时
间最短？这个总时间是多少？
8、（北京市第十三届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
某人有3千克菜籽，他要到油坊换油。甲油坊100千克菜籽可换油34千克；乙油坊100千
105克菜籽可换油32千克和菜饼50千克（菜饼每千克可卖0。4元）；丙油坊100千克菜籽可换油
33千克和菜饼35千克；丁油坊收购菜籽每千克3.80元，菜籽油每千克12.00元，他到哪个油坊
换油最合算？
9、（吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题）
右图是某市的部分街道图，有甲、乙、丙、丁四位好朋友准备从火车站乘出租车回家，图中甲、
乙、丙、丁表示各家的位置。如果一辆出租车最多乘坐4位乘客，每行1千米收费1.50元，并且
随时随地都有出租车服务。请你设计一个最节约的方案，使这四人乘出租车到各家的车费总和
最少，并求出此总和（图中数字是其相邻路口间距离。单位：千米）。
10、有一块长24厘米的正方形厚纸片，如果在它的四个角各剪去一个相同的小正方形，就可以
做成一个无盖的纸盒，现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？
11、（全国小奥赛试题）
如图，正方形ABCD的边长为8厘米，E、F是边上的两点，且AE=3厘米，AF=4厘米。在
正方形的边界上再选一点 P，使得三角形 EFP 的面积尽可能大，这个面积的最大值是
__________厘米2。
12、小公共汽车包括起点和终点站在内共有12个站，每个站上车的人中恰好在以后各站分别
下去一个。要使行驶中每位乘客均有座位，车上至少应有多少个座位供乘客用？
13、某公园的门票是每人10元，20人以上（含20人）可以买团体票，按7折优惠，即每人7元。
最少多少人时买团体票比买普通票便宜？
14、729个小轴承中有一个废品，废品比合格轴承轻，其余重量相同。现有一架无砝码天平，最
少称几次就一定能称出这个废品。
15、（全国小奥赛试题）
有若干人的年龄的和是4476岁，其中年龄最大的不超过79岁；最小的不低于30岁，而
年龄相同的人不超过3个人，则这些人中至少有多少位老年人（年龄不低于60岁的为老年人）？
16、唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟
100米，唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第n次指
令，米老鼠就以原速度的n×10%倒退一分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果唐老鸭想在
比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少应是多少次？
17、如右图，小明住在甲村，奶奶住在乙村，星期天小明去看奶奶，先在北山坡打一捆草，又在
南山坡砍一捆柴给奶奶送去，请问：小明应选择怎样的路线使路程最短？
10618、150人要赶到90千米外的某地去执行任务，装备一辆可乘座50人，时速 为70千米的卡车。
若这些人步行时速为10千米，请你设计一种乘车及步行的方案，使这150人全部到达目的地所
用的时间最少（上下车时间忽略不计）。
最大和最小问题（二）参考答案
[同步巩固演练]
1、471
2、28次
7+6+5+4+3+2+1=28（次）
3、15份
1+2+3+…+13+14+30=135
4、1～31克的重量均能称出。（注意天平的两边均可放砝码）。
5、87541362
6、525000
先解下面这道数字谜，求出A、B、C、D、E、F、G的值。
再考虑积的最大、最小值相差多少。
1234×759－1759×234=525000
[能力拓展平台]
1、81分
第六次至九次共得（428÷5+1.4）×4=348（分），如果第十次考428－348=80（分），则前五次
与后五次的总分相同，此时，后五次的平均分与所有十次的平均分相同。所以要使后五次的平
均分高于所有十次的平均分，第十次至少要考81分。
2、54分钟
从图中可以看出有三种较近的走法：（1）A→C→M→D→E→B；（2）A→O→P→N→F→B
（3）A→O→P→H→E→B。比较得第（3）种时间最短。18+7+10+9+10=54（分）。
3、31辆大卡车，1辆小卡车
大卡车耗油：10÷5=2（升），小卡车耗油7.5÷3=2.5（升），157÷5=31（辆）……2（吨）。用大
卡车31辆，小卡车1辆。
1074、109
5、1184套
30 30
甲车间每月能生产黑球448× =840（个），生产白球448× =960（个）；乙车间每月能
16 14
30 30
和产黑球720× =1800（个），生产白球720× =1200（个）。
12 18
960
安排甲车间只生产白球，则每月可生产960个白球，乙车间仅需30× =16（天）。就可
1800
12 14
生产黑球960（个）。剩下的14天乙车间可单独生产：720× 224（套）
18 30
合并后两厂共生产960+224=1184（套）。
[全讲综合训练]
1、12块
因4和3的最小公倍数为12，故最少需这样的木块12块。
2、168
从最大的两位质数起试算得出：97+71=89+79，因此最大可能值是168。
3、1002个
将1～2002分成251组：（1～8），（9～16）…（1993～2000），（2000，2002），
4×250+2=1002（个）
4、61
99=16×2+2×3+61
5、131
分析：如果按下面的填法算得的结果最大
[（A）÷（B）×（（C）+（D））]－[（E）×（F）+（G）－（H）]=
那么，其中A，C，D，H必须尽可能大的；B，D，F，G尽可能的小，而且必须A最大和B
最小，这就确定了A=9和B=1。由于C与D相加后还要与 AB相乘，它们的增加可以使答案增
加很多，而H并不与别的数相乘，因此其余的大数应首先分配给C与D，于得C=8，D=7（或
C=7，D=8）及H=6。E与F也是要相乘，所以它们必须比G小，于是将E=2，F=3（或E=3，F=2），
G=4。将它们填入算式就是
[（9）÷（1）×（（8）＋（7））]－[（2）×（3）＋（4）－（6）]=131
其中7与8、2与3可以互换，算得的结果是131。
6、28分
2×3＋5×2＋12×1=28（分）
7、4c+3d+2b+a
四人打水的顺序为C→D→B→A
8、丙油坊最合算。
9、28.5元
方案为：四人从火车站乘车到A处，丙下车另乘车回家；甲、乙、丁继续乘车到B处，丁
下车另乘车回家；甲、乙继续乘车到甲家，甲下车。乙继续乘车回家。车费总和为1.5×（4＋4＋
2+1+3+4+1）=28.5（元）。
10、4
设剪去的小正方形边长为x厘米，则纸盒容积为：
108V=x(24－2x)(24－2x)=2×2x(12－x)(12－x)
因2x＋(12－x)＋(12－x)=24是一个定值，故当2x=12－x时，即x=4时，其乘积最大即纸
盒容积也最大。
11、22平方厘米
分析：依题意，可在DC上靠近点C处选一点P，连成三角形PEF。设PC=x，则PD=8－
x，故S 可表示成下式：
△PEF
1 1 1
8×8－ 4(8x) 43 (x5)8 222x，为使S 尽可能大，那么
△PEF
2 2 2
22-2x必须尽可能大，故x=0，即点P与点C重合时，S 才最大，为22平方厘米。（即S ）
△PEF △CEF
12、36个
分析：求车上至少应有多少个座位，实际就是求车上最多时有多少人。因为有一个站
上车的人中恰好在以后各站分别下去一个，因此第一站上来11人，第二站上来10人，下去1
人……。从图中我闪可以看出，在第六站时车上的人最多，我们只需求出此时的人数即可。
上来的人 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑾ ⑿
下去的人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
11+10+9+8+7+6－1－2－3－4－5=36（个）
13、15人
20人买团体票需付款7×20=140元。这就相当于14张普通票的价钱（10×14=140元）。因此最少
15人时买20人的团体票比买普通票便宜。
14、6次
把729个小轴承平均分成三份（每份243个），在天平的两边各放一份，如果天平不平，
那么废品在天平翘起的那一边。如果天平平衡，废品就在剩下的一份中。依这种方法称6次就
一定能称出这个废品了。
15、6人
分析：若干人的年龄总和为4476岁，其中年龄最大的不超过79岁，最小的不低于30岁，
而年龄相同的不超过3个人，要使这些人中老年人尽量少，那么年轻人必尽量多。
(3059)30
若有30～59岁的人各3个的话，这些人年龄的和为： 3 4005岁，与
2
4476岁相差471岁。显然471岁是几个老年人的年龄和，为使老年人尽量少，那么他们的年龄
应尽可能大，而471=79×5＋76×1，故最少有老年人5+1=6（个）。
16、13次
米老鼠跑完全程用的时间为10000÷125=80（分），唐老鸭跑完全程的时间为10000÷100=100
（分）。
125n10%
唐老鸭第n次发出指令浪费米老鼠时间为1+ 10.1n.
125
109当n次取数为1，2，3，4，…，13时，米老鼠浪费时间为1.1+1.2+1.3+1.4+…+2.3=22.1(分钟)，
大于20分钟。
17、 如右图，用“对称”方法找出甲和乙，连接甲乙后交北坡于A，交南山坡于B，小明应
在A处打草，在B处砍柴。
6
18、3 小时
7
分析 ：由于车只能运送50人，若将这50人从起点送至终点，其他人步行到终点，和
150人步行到终点所用时间相同（全部到达时间），汽车没有起到省时间的作用，因而汽车应把
50人送至路程中某一点后，返回去接另外50人，如此往返，另外不乘车的人也应步行前进。总
之：车要不停地开，人要不停地走，最大限度的利用人力和物力。为了省时间，应同时出发，同
时到达。由于车的限制，应把150人分成3组，每组50人，为了保证同时到达，每组乘车走的路
程相同，步行的路程也应相同。关键是乘车走多少路？步行多少路程？
如图，设每组步行2y千米，则乘车90－2y千米，设计方案如图。汽车送第一组走完90
－2y千米后返回接第二组，与第二组相遇时第二组走了y千米，此时汽车走了90－2y+90－2y
路程
－y=180－5y千米。由于它们所用的时间相同，根据时间= 。
速度
1805y y
有： ,解得y 15.
70 10
即步行30千米，乘车60千米，所用时间为
60 30 6
3 （小时）
70 10 7
110钟面问题
[同类问题拷贝]
1、（全国小奥赛试题）
如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针在旋转1990圈之后是____________点钟。
2、有一只钟，每小时比标准时间慢1分，中午12点调准，下午慢钟指到6点时，标准时间是下
午__________时_____________分。
3、（成都外国语学校招生试题）
钟面上6时45分，时针和分针所成的最小角度是______________度。
4、现在是11点整，再过_________________分钟，时针和分针第一次垂直。
5、（北京市第一届小学生迎新春数学竞赛初赛试题）
有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，钟敲6下，5秒钟敲完，钟敲12下
______________秒钟可敲完。
6、在0时到12时之间，钟面上的时针与分针成600角共有______________次。
7、（全国小奥赛试题）
有一钟表，每小时慢2分钟，早晨8点时，把钟表对准了标准时间，当中午钟表走到12点
整的时候，标准时间为_________________。
8、一个特殊的时钟，这只钟每昼夜只有10小时，每小时100分钟，当这只时钟显示5点钟时，
实际上是标准时间中午12点；当这只钟显示6点75分时，实际上是下午_____________点
______________分。
[能力拓展平台]
1、（第一届希望杯全国数学邀请赛试题）
现在4点5分，再过多少分钟，分针和时针每一次重合？
2、观察在镜面反射后的钟面的指针位置，并说出：
（1） 两钟面所表示的实际时刻；
（2） 两钟面的时间差。
1113、（上海市第五届小学数学六年级初赛试题）
7点多少分的时候，分针落后于时针1000？
4、钟楼上的一只大钟的秒针长1米，这根秒针的尖端一昼夜要走多少米？（π=3.14）
5、（第一届华杯赛初赛试题）
科学家进行一项实验，每隔五小时做一次记录，做第十二次记录时，挂钟的时针恰好指
向9，向做第一次记录时，时针指向几？
[全讲综合训练]
1、现在是中午12时，再过（ ）分，分针与时针第一次重合。
2、李好星期天上午在9点与10点之间开始做作业，当时钟面上时针与分针恰好成一直线，作
业做完时，发现时针与分针刚好重合。李好做作业共用了_______________分钟。
3、杨静新买的手表比家里的挂钟每小时快30秒，家里的挂钟每小时比标准时间慢30秒。杨
静的手表是快还是慢？一昼夜差多少秒？
4、小明晚上9时整将手表对准，可早晨8时到校时却迟到了10分钟，那么，小明的手表每小
时慢几分钟？
5、一只每天快5分钟的钟，现在将它的时间对准，这只钟下次显示准确时间需要经过多少天？
6、（第四届华杯赛初赛试题）
有一个时钟，它每小时慢25秒，今年3月21日中午12点它的指示正确。请问：这个时钟
下一次指示正确的时间是几月几日几点钟？
7、（江西省第二届八一杯小学数学竞赛决赛试题）
甲、乙两时钟都不准确，甲钟每走24小时，恰好快1分钟；乙钟每走24小时，恰好慢1
分钟，假定今天下午三点钟的时候，将甲、乙两钟都调好，指在准确的时间上，任其不停
地走下去，问下一次这两只钟都同样指在三点时，要隔多少天？
8、（北京市第14届小学生迎春杯训练题）
下图是一只钟表所表示的现在时刻，当它继续往前走到10时25分的时候，一共经过
了（ ）时（ ）分。
9、（《小学生数学报》第九届数学竞赛试题）
张奶奶家的闹钟每小时快2分钟。昨晚9时，她把闹钟与北京时间对准了，同时把钟拨
到今天早晨6时闹铃。张奶奶听到闹铃声响时比北京时间今天早晨6时提前了多少小时？
10、 老王家有一个挂在墙上的挂钟。这天，挂钟因忘了上发条而停了。他到集市购买日用
品，出门前他先上紧挂钟的发条，看了当时的时间是上午6:35（时间不准），途中经过电信
112局，电信局的时钟是上午9:00（标准时间），到集市采购完，又沿原路经过电信局，看到电信
局的时钟指向上午10:00，回到家里，墙上的挂钟指向上午10:35。如果到集市来回路上所
用时间相同，那么这时的标准时间是多少？
11、（北京市第四届小学生迎春杯数学竞赛初赛试题）
小明的爸爸在高山上工作，那里的气温白天和夜晚相差很大，他的手表由于受气温的影
1 1
响走得不正常，白天快 分钟，夜里慢 分钟。他10月1日对准时间，问：到哪一天手表正好快
2 3
5分钟？
12、一个快钟每小时比标准时间快10秒，一个慢钟每小时比标准时间慢20秒。若将两个钟同
时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示7点整时，慢钟恰好显示6点50分，此时的标准
时间是多少？
13、（北京市第二届迎春杯数学竞赛决赛初一试题）
有一天课间休息时，小明看了一下墙上的挂钟，时间是9点多，他发现时针和分针正好处
在关于铅垂线对称位置。请问：此时是几点几分？（要精确值）
14、实验室里有一只特别的钟，一圈共有20格。每过7分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过9
格。今天早晨8点整，指针恰好从0跳到9，昨天晚上8点整的时候指针指着几？
15、（北京市第七届小学生迎春杯数学竞赛初赛试题）
在8时至9时之间，钟表的长针与短针在同一直线上，这时是8时多少分？
16、早晨晓龙看到镜中的表的指针在6点20分，他赶快起床出去跑步，可跑步回来妈妈告诉他
刚到6点20分，问晓龙起床时实际是什么时刻？
17、（第九届华杯赛试题）
在9点到10点之间的某一时刻，5分钟前分针的位置与5分钟后时针的位置相同，问：此时
刻是9点几分？
113钟面问题参考答案
[同类问题拷贝]
1、下午4点
分钟转一圈，时针走1个字（即1小时），分钟走12圈时针走回原位置。
1990÷12=165……10圈。
说明时针和分针都回原位置后，分针还走10圈（即10小时）18+10－24=4（时），即下午4
时。
6
2、6时6 分
59
慢钟每小时比标准时间慢1分，也就是说标准钟走60分，慢钟走59分。
因此，慢钟速度：标准钟速度=59:60
慢钟走的时间：标准钟走的时间=59：60。
设标准时间为x时，则有
59 660
.
60 x60
360
,
x=
59
6
6 ,
x=
59
6 6
6 时6时6 分。
59 59
3、67.50
10
4、10 分钟
11
11点整时针与分针的夹角为300，时针和分针第一次垂直，需要（90－30）÷（6－0.5）
11410
=60÷5.5=10 (分钟)。
11
5、11秒
6、22次
从0到12时，时针转1圈，分针转12圈，分针共追上时针11圈，每追上1次，时针与分针
有2次成60度角，所以共有11×2=22（次）。
8
7、12时8 分
29
标准时间为1小时，钟表走58分钟，早晨8点到中午12点，钟表经过4小时即240分钟，
此时标准时间经过了：
8 8 8
240÷58×60=248 分钟，即4小时8 分钟，此时为12时8 分。
29 29 29
8、4点12分
特殊的钟10小时相当于标准钟的24小时，所以特殊钟1小时=标准钟2.4小时，特殊钟5
点到6点75分，经过了1.75小时，相当于标准钟的1.75×2.4=4.2(小时)=4小时12分钟，所以标
准时间是下午4点12分。
[能力拓展平台]
9
1、16 分钟
11
我们先看从4点开始经多少分钟，分针和时针第一次重合。
1
20÷（1－ ）
12
11
=20÷
12
9
=21
11
9
也就是说，从4点开始，经过21 分钟后，时针与分针第一次重合。
11
9 9
21 516 （分钟 ）
11 11
2、（1）7时55分，5时40分
（2）2小时15分
3、7点20分
4、4521.6米
一昼夜24小时=24×60（分钟）=1440（分钟），所以秒针一昼夜要旋转1440圈，所以秒针一
昼夜要走1×3.14×1440=4521.6(米)。
5、2时
从第一次记录到第十二次记录，相隔11次，共
5×11=55（小时）
时针转一圈是12小时，
55÷12=4……7
9－7=2（小时）
115[全讲综合训练]
5
1、65 分
11
8
2、32 分
11
3、慢6秒
60
4、 分
67
5、144天
当这只钟快12小时时，将再次显示准确时间。
6、6月1日中午12点钟
606012 1
72(天)
25 24
7、720天
可以先求出甲钟比标准钟多转一圈所需天数、标准时钟比乙钟多走一圈所需天数，然
后再求二者的最小公倍数。
60×12÷（61－60）=720（天） 60×12÷（61－59）=720（天）
下一次甲、乙两钟都同样指在三点时，要隔720天。
8、7时50分
9
9、 小时
31
10、11时30分
老王从家到电信局所用的时间是：
[（10：35－6：35）－（10：00－9：00）]÷2=1.5（小时）。
所以这人回到家里的标准时间为10点加上1小时30分，此时是11点30分。
11、 10月28日
这手表一整天快
1 1 1
(分钟)
2 3 6
快4.5分钟需
1
4.5 27(天)
6
再加一个白天正好快5分钟，因此到10月28日，手表正好快5分钟。
12、 6点56分40秒
快钟和慢钟在标准时间1小时相差10+20=30（秒）。快钟与慢钟相差10分钟合600秒时，
快钟经过了600÷30=20（小时），快钟20小时比标准时间快了10×20=200（秒），合3分钟
20秒，所以此时标准时间是6点56分40秒。
11
13、 9点13 分
13
由于∠AOB=∠COD，因此从9点开始，时针和分针转过的距离和是15小格。
1161
设分针的走速是“1”，则时针的走速是 ，从9点开始，时针和分针走到如图所示位置
12
时，需要
1
15÷（1+ ）
12
12
=15×
13
11
=13 （分）
13
14、 2
从昨天晚上8点到今天早晨8点共经过60×12=720（分钟），这只钟共跳过720÷7=102
（次）……6（分），共跳过9×102=918（格），918÷20=45（周）……18（格），20－18=2（格）。所
以昨天晚上8点整指着2。
10 7
15、 10 分或43 分
11 11
在一直线上表示两种情况：长针与短针所指的方向相同或相反，两种情况下，长针分别比
短针多走40小格和10小格。
1
设长针的速度是“1”，则短针的速度是 。
12
1
40÷（1－ ）
12
7
=43
(分)
11
1 10
10÷（1－ ）=10 （分）
12 11
16、 5点40分
造成晓龙与妈妈看到的钟面为同一时刻的原因就在于：晓龙看到的是反射在镜面上的钟
面，时钟、分针经过镜面的反射其位置改变了，反射前后钟面左右位置互换，也就是说，表
盘右边的刻度其指针经反射后变到左边了。相反，表盘左边的刻度其指针经过镜面反射后
变到右边了。如图分别为镜面反射后和未经镜面反射的两个钟面。因此，晓龙起床后看到
的镜面反射后的钟面上的长针指在4的位置。短针指在6的左侧，如图（甲）。而实际上长
针指在8的位置，短针则应指在6的右侧（如图（乙））。所以，晓龙起床时的实际时间为5
点40分。
117（甲） （乙）
17、9点55分
染色和覆盖
[同步巩固演练]
1、某影院有座位31排，每排29个座。某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众。如
果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他（前、后、左、右）相邻的某一观众交换座位，这
样能办到吗？为什么？
2、（北京市第12届小学生迎春杯决赛试题）
如图，把A、B、C、D、E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜
色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。那么，这幅图一共有_____________种不同的着色方法。
4、下图，是一所房子的示意图，图中数字表示房间号码，每间房子都与隔壁的房间相通。问能
否从1号房间开始，不重复的走遍所有房间又回到1号房间？
1 2 3
4 5 6
7 8 9
如图，由22块1×1的小正方形拼成，能不能用若干个2×1的矩形将这个图形不重复地全部覆盖？
4、
118[能力拓展平台]
1、有一个5×5的方格棋盘，如图所示，每一个小方格中有一只小甲虫，假设在同一时刻，所有
小甲虫都爬到邻格中（横向与纵向的格，不能斜爬），问此时能否会出现空格？
2、一个8×8国际象棋盘去掉对角上两格后，是否可以用31个2×1的“骨牌”，把象棋盘上的
62个小格完全盖住？
3、至少需要几种颜色，才能使右图中所有具有公共端点的线段涂上不同的颜色。
4、现有1，1，2，2，3，3，……，10，10共20个数。问能否将这些数排一行并满足两个1之间有
一个数，两个2之间有两个数，两个3之间有三个数，……，两个10之间有十个数？请说明
理由。
5、下图是由14个方格组成的图形，试证明，不论怎么裁剪，总不能把它剪成7个由相邻两个
方格组成的长方形。
[全讲综合训练]
1、六（1）班同学毕业前，互相交换照片留念，那么全班用来交换的照片的总张数是奇数还是
偶数？
2、正方形的展览厅如下图，共分16个展室，每个展室之间相通，你能不能设计出一条线路使
119参观的人不重复地走完全部展室？
3、将上题的入口改在A处，如下图，这条线路可能吗？
4、把下图中的圆图任意涂上红色或蓝色。有没有可能使每一条直线上的红圈数都是奇数？请
说明理由？
5、由14个1×1的正方形组成下图，用7个1×2的长方形能不能把这个图形都盖住？为什么？
6、在黑板上写出三个自然数，然后擦去一个数，换成其它两数的和减1，这样一直进行下去，
最后黑板上是17、1993、1997，问原来的三个数能否是8？
7、一串数排成一行，它们的规律是前两个数都是1，从第三个数起，每个数都是前两个数的和，
如下所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…这串数的前100个数（包括第100个数）中，有
多少个偶数？
8、象棋有棋盘上有一只马（马走“日”），跳了若干次，正次跳回到原来的位置，问马跳的步数
是奇数还是偶数？
9、有一批商品，每件都是长方体形状，它的尺寸是 1×2×4。现在有一批现成木箱，尺寸是
6×6×6。试问：能不能用这样的商品将木箱填满？
10、能不能用8张1×3的长方形纸片完全盖住下面的图。
12011、中国象棋的马走“日”字，车走横线或竖线，下图是半张中国象棋盘，试回答下面的问题：
一只车从位置A出发，在这半张棋盘上走，每步走一格，走了若干步后到了位置B，证明：至少
有一个格点没被走过或被走了不止一次。
12、在88的网格正方形中，用图形由三个的正方形组成的“ ”角片来覆盖，要求角片的
割线落在正方形的网格线上。为使所余部分不能再放下角片形状的图形，最少需要用角片的图
形多少个？
13、下图中的16个点表示16个城市，两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通。问能否
找到一条不重复地走遍这16座城市的路线？
14、在下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1算作一次操作，经过若
干次操作后变为右下图，问：右下图中A格的数字是几，为什么？
0 1 0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 1
1 1 1 1
1 0 1 0
A 1 1 1
15、有一个院子原来铺有40块方砖（如图），它们已经破损，需要全部更新，但是商店只有长方
砖，每块大小等于方砖的两块，院主买了20块长方砖回来，想不割开任何一块长方砖而把院子
铺满，问：能否做到？
12116、把三行七列的21个小格组成的矩形染色，每个小格染上红、蓝两种色中的一种。求证：总可
以找到4个同色小方格，处于某个矩形的4个角上。
红 红 红 红
17、如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑
格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入，请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个
格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由。
18、一种骨牌是由形如■□的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不
重复地完全覆盖？
（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4
（D）4×5 （E）6×3
19、（武汉市小学数学竞赛试题）
下面是俄罗斯方块中的七个图形；
122请你用它们拼出（A）图，再用它们拼出（B）图（每块只能用一次，并且不能翻过来用）。如果能
拼出来，就在图形上画出拼法，并写明七个图形的编号；如果不能拼出来，就说明理由。
20、在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的，恰包含两个白色小方格与一
个黑色小方格的长方形共有多少个？
123染色和覆盖参考答案
[同步巩固演练]
1、把影院的座位图画成黑白相间的矩形。（29×31），共有899个小方格。假定四角为黑格，则
共有黑格450个，白格499个。
根据题意每一黑白格必须互换，因黑白格的总数不相等。因此是不可能的。
2、96秒
4×3×2×2×2=96（种）
3、不能
将编号为奇数的房间染成黑色，编号为偶数的房间染成白色。从1号房间出发，只能按黑→
白→黑→白→……的次序，当走遍九个房间时应在黑色房间中，这个房间不与1号房间相
邻，故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间。
4、能
[能力拓展平台]
1、能
分析 初看这个总是似乎无从下手，但如果我们利用“染色”的手段，就会使问题简化，很
轻松地得到正确答案。
将5×5棋盘用黑白两种颜色相间染色，如图所示，此时共有黑格13个，白色格12个。当每
个小格中的甲虫同时爬向邻格时，即黑格中的甲虫爬到白格中，白格中的甲虫爬到黑格中，
由于黑格比白格多一格，则原来白格中的甲虫爬到黑格后必空一格，所以该题的答案是肯
定的。
2、不能
31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格。但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是
相同的，把它们去掉后剩下的是30个白格，32个黑格，或32个白格，30个黑格，因此不能
盖住。
3、4种
4、不能
两奇数之间要有奇数个数，说明两奇数所占的位置应为染色后颜色相同的两个位置。同理，
两偶数之间要有偶数个数，则两偶数所占的位置应为不同色的两个位置。这样共需15个白
色和5个黑色位置或15个黑色和5个白色位置。与黑、白色位置各占10个相矛盾。
5、证明如下：
将方格染色，白格6个，黑格8个，由相邻两个方块拼成的长方形中必是一黑一白，因此
无法使黑格与白格全配对，即原图不能剪成由7个相邻两格组成的长方形。
124[全讲综合训练]
1、偶数
2、不能
3、能
4、不能
如果每条直线上的红圈数是奇数，则五条线上红圈个数总和是奇数；但由于每个圆圈是两
条直线的交点，则每个圆圈都计算两次，因此，每个红圈都计算两次，总数应是偶数。因为
奇数≠偶数，所以每条直线上红圈数不可能都是奇数。
5、不能
黑白相间染色，有8个黑格，6个白格，用1×2，形如 的长方形覆盖，每次可盖住一黑格
一白格，但现在黑、白数不等，所以不能用1×2的长方形把原图盖住。
6、不可能
7、33个
8、偶数
把棋盘交点处按黑、白色染色，马从黑点出发，一定跳到白点，从白点出发一定跳到黑点，
落点依次为白、黑、白、黑……，要跳回原出发点，必须跳偶数步。
9、不能
这道题不能简单地理解为木箱的容积除以商品的体积，如果商是整数且没有余数，就能用
商品将木箱填满。现在木箱容积是6×6×6=216，商品的体积是1×2×4=8，216÷8=27，如果说
每个木箱正好装27件商品，那就错了，实际上27件商品是无法全部装入木箱的。我们用染
色法来验证这个结论。
先把6×6×6的木箱分成216个1×1×1的小正方体，接着将8个1×1×1的小正方体组成一个
2×2×2的正方体。整个木箱有27个这样的正方体。将这些棱长为2的正方体黑白相间的涂
上颜色，如图所示，黑的有14个，白的有13个。
将商品放入木箱，不管怎么放，每件商品必须填充8个棱长为1的小正方体的空间。其中黑、
白必须各是4个。现在白色的小正方体是8×13=104（个），配上104个黑色的小正方体，正
好放入2×13=26（件）商品，这时木箱还余下8×（14－13）=8（个）黑色小正方体所占的空间。
8个黑色小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等，但是木箱中余下的8个小黑色正方
体所占的空间无论如何是容纳不下一件商品的。
12510、 不能
11、 车”每一步，所在的格点就会改变一次颜色，因A、B两点异色，故从A到B“车”走
的步数是一个奇数。但半张棋盘共有45个格点，不重复地走遍半张棋盘要44步，44是一个
偶数。
12、 11个
13、 不能
对这16个城市进行黑白相间的染色，一种颜色有9个，另一种颜色有7个，而要不重复
地走遍这16个城市，黑色与白色的个数应该相等。
14、9原因如下：
无论经过多少次操作，黑格中的数之和与白格中的数的和的差总是一个常数。即
（7+A）－8=8，解得A=9。
15、 不可能
16、 在第一行的7格中必有4格同色，设这4格位于前4个位置，且均为红色。然后考虑前
4列构成的3×4矩形。若第二行和第三行中出现2个或2个以上的红色格子。则该行的两
个红色格子与第一行的红色格子就组成一个4角同为红色格子的矩形。
若不然，则第二、三行中都至少有3个蓝格在前4列中，设第二行前3格为蓝色，显然
第三行中的前3格中至少有2个蓝格，故在二、三行的前4列中必存在四角都是蓝色的矩形。
17、这种爬行路线是存在的。具体的设计一条，如右图所示。
18、通过试验，很容易看到，应选择签字（B）。
19、不能拼出（A）图，可以拼出（B）图，拼法如右图
20、48个
染色后，由于黑白染色具有对称性，不难求出棋盘中共有1×3的长方形2×6×8=96个，这96个
长方形中，包含两个白色小方格和一个黑色小方格的长方形恰占一半，为96÷2=48个。
126方程组
[同步巩固演练]
1、解下列方程组
1
6x y 10
3x y 12 2
（1） （2）
3x 482y
1
y4 x 3
3
x y 35 2x2y 75
（3） （4）
2x4y 94 14x 16y
20x12y 112 x y 10
（5） （6）
x y 11214 5(x1) 6x1
1
2、甲、乙两人共存款2000元，后来甲又存入100元，乙取出自己款数的 ，这时甲的存款
3
数是乙的2倍，现在两人共存款___________元。
3、（“我爱数学”少年夏令营竞赛试题）
5 1
甲、乙两班各有一个图书室，共有303本书。乙知甲班图书的 和乙班图书的 合在一起
13 4
是95本。那么甲班有图书_____________本。
4、（安徽省小学竞赛试题）
商店里有大、小两种书包。买大书包4个，小书包6个，需要392元；买大书包7个，小书包
3个，需要416元；买小书包9个，大书包1个，需要多少元？
5、如图所示，在3×3的方格内已填好了两个数19和99，可以在其余空格中填上适当的数，
使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数和都相等，则x=__________。
x
19
99
[能力拓展平台]
1、松鼠妈妈采松籽。晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连几天共采了112个
松籽，平均每天采14个。问这几天当中雨天、晴天各有几天？
2、两只小爬虫甲和乙，从A点同时出发，沿长方形ABCD的边，沿箭头方向爬行。在商C
点32厘米的E点它们第一次相遇；在离D点16厘米的F点第二次相遇；在离A点16厘米的G
点第三次相遇，长方形的边AB长多少厘米？
1273、甲、乙两位同学开学时在学校小储蓄所共存款50元，以后甲同学每月存2元，乙同学每
月存3.5元，半年后，甲同学的存款比乙同学的存款多9元。问开学时两人各存款多少元？
4、（全国小奥赛总决赛试题）
1
在三角形ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE= AB。已知：四边形BDME的
3
面积是35。那么，三角形ABC的面积是多少：
5、（北京市第四届小学生迎春杯数学竞赛初寒试题）
学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大的时候，你刚3岁，当你像我这么大的时候，
我已经39岁”，那么，这位老师今年有多少岁？
[全讲综合训练]
1、解下列方程组
3(x1) y5 3x4y 85
（1） （2）
5(y1) 6x 3x4y 5
2x 25%(x y) 375 3a 96105
（3） （4）
3x15%(x y) 510 7a4662
2、甲、乙两人从南、北两镇出发，相向而走，经过3小时走到胜利桥上相遇。如果他们仍从
南、北两镇出发，甲加快速度每小时多走2千米，乙提前0.5小时出发，结果又在胜利桥上相遇。
如果甲延迟0.5小时出发，乙减慢速度，每小时少走2千米，还是在胜利桥上相遇，问：南、北两
镇相距多少米？
3、（四川德阳市第十一届小学数学邀请赛）
某人承包一项工程，每个工人每天的工资数（以元为单位）正好与工人数相同。如果减少3
名工人，而每天付出的工资总数不变，这样每个工人每天的工资就增加3.9元，求原来每个工人
的工资是多少无？
4、若购买笔记本3本、铅笔5支、格尺1个，共需6.10元；若购买笔记本4本、铅笔7支、格
尺1个，共需7.92元。那么购买笔记本、铅笔、格尺各一件一共需要多少元？
5、甲、乙二人同时从A地出发，经过B地到达C地，甲先骑自行车达B地，然后步行，乙先
步行到B地，然后骑自行车，结果二人同时到达C地，已知甲乙二人的步行速度分别为4千
128米/时和3千米/小时，骑自行车的速度都是15千米/小时。那么甲从A地到C地的平均速度是多
少千米/小时？
6、某车间有三个小组，甲组比乙组多3人，乙组比丙组多4人；甲组每人每天比乙组每人
每天少生产2个工件，乙组每人每天比丙组每人每天少生产5个工件；又知甲组每天比乙组多
生产9个工件，乙组比丙组多生产5个工件，问各组有多少人，每人每天生产多少个工件？
7、（全国小奥赛试题）
如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形
BGHF的面积是多少平方厘米？
8、从甲地到乙地的公路，只有上坡路和上坡路，没有平路，一辆汽车上坡时每小时行驶20
1
千米，下坡时每小时行驶35千米，车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需7 小时。问甲、
2
乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？
9、（全国小奥赛试题）
正方形ABCD是一条环形公路。已知汽车在AB上的时速是50千米，在BC上的时速是
60千米，在CD上的时速是80千米，在DA上的时速是40千米，从CD上一点P，同时反向各发
出一辆汽车，它们将在AB中点相遇，如果从PC的中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将
A至N距离
在AB上一点N相遇，那么 ________。
N至B距离
10、如右图，AD、BE、CF 把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图
上标明，试求△ABC的面积（单位：平方厘米）。
12911、（2000年吉林省第六届小学数学夏令营竞赛试题）
某中学共有30个班级，各班的人数可能是44人，45人，46人，已知全校的学生总人数为
1352人，且44人的班级比45人的班级多2个，则这个中学里的44人的班级有几个？45个的
班级有几个？46人的班级有几个？
12、某校初一有甲、乙、丙三个班，甲班比乙班多4个女同学，乙班比丙班多1个女同学，如
果把甲班的第一组调到乙班，乙班的第一组调到丙班，丙班的第一组调到甲班，则三个班女生
人数相等。已知丙班第一组有2个女同学，问甲、乙两班第一组各有女同学多少人？
13、(江苏省第二届小学生探索与应用能力竞赛试题)
冯老师每天早上做户外运动,第一天他跑步2000米,散步1000米,共用24分钟;第二天他跑
步3000米,散步500米,共用22分钟.冯老师跑步时的速度总是一样的,散步时的速度也总是一
样的,求冯老师跑步的速度.
14、如图,在矩形ABCD中,放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，试求图
中阴影部分的总面积。
15、一水池有A、B两个进水龙头和一个出水龙头C，如果在水池空时同时将A、C打开，2
小时可注满水池；同时打开B、C两龙头3小时可注满水池。当水满时，先打开C，7小时后把
A、B同时打开（C仍开着），1小时后水池可注满，那么单独打开A，几小时可注满水池？
16、小明与小亮同在一幢楼，他们同时出发骑车去郊外看王老师，又同时到达王老师家，但
1 1
途中小明休息的时间是小亮骑车时间的 ，而小亮休息的时间是小明骑车时间的 ，则小明和
3 4
小亮骑车的速度比是___________。
方程组参考答案
130[同步巩固演练]
x 8 x 3 x 23
1、 （1） （2） （3）
y 12 y 16 y 12
x 20 x 2 x 6
（4） （5） （6）
y 17.5 y 6 y 4
2、1800
x y 2000
设甲、乙原来分别存款 x 元、y 元，依题意，得 1 ，解得
x100 2y(1 )
3
x 1100
y 900
2
所以现在两人共存款（900× ）×（1+2）=1800（元）。
3
3、143本
x y 303
x 143
设甲班有x本，乙班有y本，依题意得 5 1 解得
x y 95 y 160
13 4
4、368
设大书包每个x元，小书包每个y元。
4x6y 392, x 44,
解得
7x3y 416. y 36.
x+9y=44+36×9=368（元）
a xb ac99
5、如图，依题意有 a x B
cd 19bd 99
C d 19
①+②整理，得x=179 99
[能力拓展平台]
1、晴天2天，雨天6天
设雨天有x天，晴天有y天，则
112
x y x 6
14 解得
12x20y 112
y 2
2、64厘米
分析：假设长方形的长为x厘米，宽为y厘米。甲、乙第一次相遇，合行一个全程，甲走的路程为
x+y－32；；甲、乙第二次相遇，合行二个全程，甲走的路程为x+y+x-16；甲、乙第三次相遇，合行
131三个全程，甲走的路程为x+y+x+y+16，根据关系列出方程可求出AB的长。
解：设长方形长x厘米、宽y厘米，根据题意得：
(x y32)2 x y x16
(x y32)3 x y x y16,
由①式得
y=48。 ③
由②式得
x+y=112。 ④
把③代入④得
x=64。
即AB长是64厘米。
3、甲：34元，乙：16元
设甲存x元，乙存元y，则
x y 50 x 34
解得
x269 y3.56 y 16
4、150
连结BM，设S△ABC=x，S△BEM=a，则S△BDM=35－a，依题意可得
x 6a2(35a)
1
x a2(35a)
3
a 20
解之得
x 150
5、27岁
分析 我们将老师讲的这句话列成下表：
生 师 年龄差是常数
现在的年龄 Y X x－y=a
a年前 y－a=3 Y
a年后 y+a=x x+a=39
关键是求出a，问题就解决了。
解 这位老师今年是x岁，老师与学生的年龄差为a，则有：学生今年的年龄为x－a，a年以前
学生的年龄是（x－a）－a=3，即x－2a=3①
a年后老师的年龄是x+a=39②
由①、②得3a=36，a=12，
所以x=39－12=27（岁）
即这位老师今年27岁。
说明 本题是年龄问题，因为两个人年龄是一个常数，老师说“当我像你这么大的时候”，老
师的年龄减少了“二个年龄差”。学生的年龄变为x－2a=3，这一点是解决问题的关键，这里设
132年龄差为a，以帮助列出方程，也是间接发设未知数的一种方法。
[全讲综合训练]
x 5 x 15
1、 （1） （2）
y 7 y 10
x 175 a 8
（3） （4）
y 75 b 9
2、72千米
从题意中可知：甲按原速走3小时到达胜利桥，甲每小时多走2千米，2.5小时到达胜利桥；乙
按原速3小时可由北镇到达胜利桥，而每小时少走2千米，则需3.5小时到达。由此可求出甲、
乙两人原来的速度。
设甲原来速度为每小时走x千米。
3x=2.5(x+2)
x=10
设乙原来每小时走y千米.
3y=3.5(y－2)
y=14
(10+14)×3=72(千米)
即 南北两镇相距72千米.
3、13元
设原来每个工人每天工资是x元。依题意可得方程
x2=（x－3）×（x+3.9）
x2=x2+3.9x－3x－11.7
0.9x=11.7
x=13
4、 2.46
3本5笔尺6.10
解
4本7笔尺7.92
3×①－2×②得本+笔+尺=2.46(元).
50
5
5、
71
设AB=a，BC=b，依题意可知，甲、乙二人从A到C所用时间相等，即
a b a b 11
,整理得a b
15 4 3 15 16
11
ab bb
50
16
因此，甲从A到C的平均速度是 a b = 5 (千米/时).
1 11 b 71
15 4 b
15 16 4
6、 18，15，11人；13，15，20个工件
133设丙组x人，甲组每人每天生产y个工件，则乙组x+4人，甲组（x+4）+3=x+7人；乙组每人每天
生产y+2个工件，丙组每人每天生产（y+2）+5=y+7个工件，依题意，得
x7)y (x4)(y2)9
(x4)(y2) x(y7)5解得x 11,y 13,所以绒x415,x7 18,y215,y7 20
即 各组分别有18，15，11人，每人每天生产13，15，20个工件。
7、 14平方厘米
连结BH，由于BE:CD=BG:GD=1:2，所以S△BGH：S△DGH=1：2，又由F是BC中点，可知
S△BFH=S△FHC，设S△BGH=x，S△BHF=y，则
2x x y 12022
x 8
2 解得 x+y=14
x y y 1204 y 6
3
8、 210 140
设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，依题意得：
x y
9
20 35
x y 1
7
35 20 2
1 1
于是（x+y）（ ）=16.5，解得，x+y=210（千米）。
20 35
7 210 4 3
将y=210－x代入①式，得 x x 9,即 x69,解得x 140（千米）。
140 35 140 140
23
9、
73
把正方形的边长看作2，并设DP=x，则PC之长为2－x，利用相遇问题的时间相等可列方程：
x 2 1 2x 2 1 1
解得x=
80 40 50 80 60 50 3
5
因此PC之长为2－x=
3
134再设AN=y，再次利用时间相等列方程：
7 2 y 5 2 2 y 23 73
80 80 解得y ，2 y
60 40 50 6 60 50 48 48
23 73
所以AN：BN=y：（2－y）= ： 23：73
48 48
10、 315
设S =x，S =y
△BOF △AOE
因为S ：S = S ：S 。所以40：30=（40+84+x）：（30+35+y），整理得4y－3x=112 ①
△BDO △CDO △BDA △CDA
又因为S ：S =S ：S 所以 35：y=（35+30+40）：（84+x+y），整理得70y－35x=2940 ②
△CEO △AEO △CEB △AEB
由①②解得x=56，y=70
又因为S = S + S + S + S + S + S
△ABC △AFO △AEO △BFO △BDO △CEO AEO
所以 S =84+70+56+40+30+35=315（平方厘米）
△ABC
11、 10个，12个，8个
设44人的班级x个，45人的班级为（x－2）个，46人的班级y个。则
x(x2) y 30
44x45(x2)46y 1352
x=10，y=12，x－2=8。
12、 甲组：5人，乙组：4人
甲班5人，乙班4人
设丙班有n个女同学，甲班第一组有x个女同学，乙班第一组有y个女同学，则乙班原有n+1个
女同学，甲班原有n+5个女同学，依题意，列出方程
（n+5）－x+2=（n+1）－y+x=n－2+y
7－x=1－y+x=y－2
72x 1 y
即
1 x 2y2,解得x 5,y 4
即 甲班第一组有5个女同学，乙班第一组有4个女同学。
13、200米
设冯老师跑步、散步每分钟分别行了x米、y米。列方程组得
2000 1000
24,
x y
3000 1000
22.
x y
解得 x=200。
冯老师跑步每分钟行了200米。
14、 44平方厘米
设小长方形的长为x，宽为y，
x3y 14
依题意得
(x y)2y 6
135解得 x=8， Y=2。
则 AD=6+2y=6+2×2=10。矩形 ABCD面积=14×10=140（平厘米）
阴影部分总面积=140－6×2×8=44（平方厘米）
3
15、
2
设单独打开A、B龙头（或C龙头），分别可在x、y（或z）小时内注满水池（或放尽池水），依题
意，得
2 2
1
x z
3 3
1
x z
7 1 1 1
1 ( ) 1,(z 7)
z x y z
1 1 1
或 1 ④
x y z
36
x 3
23 x
2
36
联立①②③解得y 联立①②④y 2
17
z 6
36
z
5
36
单独打开C龙头放完一池水所需时间不少于7小时（事实上为 ）小时，单独打开A龙头，
5
26
小时可注满水池，当单独打开C龙头放完一池水所需时间少于7小时（事实上为6小时），
23
3
单独打开A龙头， 小时可注满不池。
2
9
16、
8
设小明休息时间为x小时，小亮休息时间为y小时，小明、小亮骑车速度分别为乙 千米/小时、
1
x4y y3x
r 千米/小时，依题意，得 ① ②
2 4yr 3xr
1 2
2 2 乙 9
由①得 2x=3y 即y= x ，代入②得 4× xr 3xr 所以 1
3 3 1 2 乙 8
2
136不定方程
[同步巩固演练]
1、把118分成两个自然数A和B，使A为11的倍数，B为17的倍数，则
A=__________________， B=__________________。
2、求下列不定方程的自然数解。
（1）3x－2y=20 （2）4x+5y=98
3、有甲、乙两种卡车，甲车每次可装煤6吨，乙车每次可装煤8吨。现在有煤130吨，要求一次
运完，而且每一辆卡车都要满载，问需要甲、乙两种卡车各多少辆？
4、（北京市第三届小学生迎春杯数学竞赛决赛试题）
甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支，问张明用6角钱恰好买两种铅笔共多少支？
5、（全国小奥赛决赛试题）
若干学生搬一堆砖，若每人搬K块，则剩下20块未搬完，若每人搬9块，则最后一名学生只搬6
块，那么学生共有多少人？
6、（第九届《小学生数学报》数学竞赛初赛试题）
马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月
付给他薪金350元。年终，马小富从两家公司共获薪金7620元。问他甲公司找工多少个月？在
乙公司兼职多少个月？
[能力拓展平台]
1、不定方程2x+3y+7z=23的自然数是________。
2、（第五届《小学生数学报》数学竞赛决赛试题）
要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫
米铜管，那么，只有当锯得38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最
少？
3、小明用5天时间看完了一本200页的故事书。已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的
页数是第一二两天看的页数之和，第四天看的页数是第二三两天看的页数之和，第五天看的页
数是第三四两天看的页数之和，那么，小明第五天至少看了______页。
4、两个自然数，一个除以11，一个除以1991，商的和正好等于1，问有多少种可能？
5、今有三部自动换币机，其中第一部总是将一枚硬币换成2枚其他硬币，第二部总是将一枚硬
币换成4枚其他硬币，而第三部总是将一枚硬币换成10枚其他硬币，某人共进行了12次换币，
便将一枚硬币换成了81枚，试问他在第一部换币机上换了几次，在第三部换币机上换了几次？
6、（2004年全国小奥赛 决赛试题）
某商店甲、乙、丙三种商品的单价分别为2元、3元、5元，某人买走三种商品每种若干件，共付
20元，此人发现其中有件商品买多了，退两件这种商品，但营业员只有10元一张的人民币，没
有零钱退，此人只好将其它的两种商品购买的数量予以调整，使总价保持不变，这时，此人所购
三种物品中，乙 种商品的件数是多少？
[全讲综合训练]
1、M、N表示两个自然数，且有：11M+17N=146，那么M=_________，N=____________。
2、大客车有42个座位，小客车有25个座位，现有310位乘客，要使每位乘客都有座位，而且没
有空座位，需大、小客车各多少辆？
3、甲、乙两人搬砖，甲搬的砖数是16的倍数，乙搬的砖数是21的倍数，两人共搬砖270块，甲、
乙两人搬的砖相差多少块？
1374、现在有3米长和5米长的钢管各6根，安装31米长的管道，问：怎样接用料最省？
1
5、全家每个人喝了一满杯咖啡加牛奶，并且李明喝了全部牛奶（若干杯）的 和全部咖啡（若
4
1
全部咖啡）的 ，那么全家有几口人？
6
6、已知1999×△+4×□=9991，其中△，□是自然数，那么□代表的数是多少？
7、箱子里有乒乓球若干个，其中25%是一级品，五分之几是二级品，其余91个是三级品，那么，
箱子里有乒乓球多少个？
8、某班同学分成若干小组去植树，若每组植树n棵，且n为质数，则剩下树苗20棵；若每组植
树9棵，则还缺少2棵树苗，这个班的同学共分成了几组？
9、一个学生1991年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和，问这个学生2005年
多少岁？
10、一个三位数除以19所得的商等于这个三位数各位数码的和，这种三位数有多少个？
11、一个三位数除以17所得的商等于这个三位数字之和，求这个三位数。
12、一个盒中有蟋蟀和蜘蛛各若干只，共有46只脚，求蜘蛛和蟋蟀各有几只？
13、已知一个四位数是一个完全平方数，并且前两位数字相同，后两位数字也相同，求这个四位
数。
14、（江苏吴江市小学数学竞赛试题）
三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每
箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车共多5个苹果，这三车苹果共有多少个？
15、（北京市第十二届“迎春杯”小学数学竞赛决赛试题）
小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁四种书，共10册，已知甲、乙、丙、丁四种书每本价格分别为3
元，5元，7元，11元，而且每种书至少买了一本。那么，共有几种不同的购买方法？
16、今年，祖父的年龄是小明的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明的5倍。又过几年以后，祖父
的年龄将是小明的4倍。求：祖父今年是多少岁？
17、有甲、乙、丙在种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需315元。若购甲4件，乙10件，丙1
件共需420元。现购甲、乙、丙各一件共需多少元？
18、在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图，小明像玩跳棋那样从A出发，沿着逆时针
方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后跳回到A孔，他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到
B孔；他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔；最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，
问：这个圆圈上共有多少个孔？
19、（希望杯全国数学邀请赛试题）
一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，
蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，问小明摸出的
球中红球最多不超过多少个？
20、（北京市第七届迎春杯数学竞赛试题）
138某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费，如果超过
24度，超出的部分按每度2角收费，已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9角6分钱（用电按
整度计算），问甲、乙两家各交了多少电费？
21、（韩国汉城国际小学数学奥林匹克竞赛试题）
哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片，他先到甲文具店去买了几张500元钱的卡片，剩下的卡片到
乙文具店去买了。乙文具店的一张卡片价格是以百元为单位，且小于2000元。哲洙买了50张
卡片共花了30400元。请你写出他在乙文具店买的卡片数量的所有可能情况。
22、（全国小奥赛总决赛试题）
新世纪学校的学生总数是一个三位数，平均每个班36人，统计员提供的学生总数都比实际总
人数少180人。原来，他在纪录时粗心地将这个三位数的百位、十位上的数字对调了。这个学校
学生总数最多有多少人？
23、（2000年福建福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题）
地面上有18堆石子，每堆都是100个石子。随意挑选 17堆，从每堆中各取一个石子放到剩下
的一堆里，称为一次操作。下一次操作时，再随意挑选17堆，从每堆再各取一个石子，放到剩下
的的一堆里。经过不到40次操作后，发现有一堆石子数是70，另有一堆的石子数在170到190
之间，那么这堆石子数的确切数字是多少？请简要说出理由。
24、（第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题）
甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书。已知甲班1人捐6册，有2人各捐7册，其余人各捐11
册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余人各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，
其余人各捐9册。已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多捐9册。各班捐书总数在
400册与550册之间，问甲、乙、丙三个班各有多少人？
25、（2000年全国小学数学奥林匹克竞赛预赛试题）
某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过
10度而不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分按每度1.50元收费。某月甲
用户比乙用户多交电费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，那么甲、乙、丙三用户共交电费
多少元（用电按照度数收费）？
不定方程参考答案
[同步巩固演练]
1391、 33，85
依题意可设A=11a， B=17b，则有：11a+17b=118
11817b
a=
11
经试验a=3，b=5，所以A=11a=33，B=17b=85
2、答案如下：
x 8 x 10 x 14
（1） 等
y 2 y 5 y 11
x 12 x 2 x 7 x 17 x 22
（2）5组，
y 10 y 18 y 14 y 6 y 2
3、有几种情况，如下：
设甲、乙两种车分别需x辆、y辆，则有
6x+8y=130
x 19 x 15 x 11 x 7 x 3
符合题意的解有：
y 2 y 5 y 8 y 11 y 14
4、16支或12支
设张明买甲级铅笔x支，乙级铅笔y支，根据题意，列方程
7x+3y=60
由于3、60均被3整除，因此7x一定能被3整除。
当x=3时，y=13，此时3+13=16；
当x=6时，y=6，此时6+6=12；
当x大于等于9时不满足方程。
即 张明用6角钱恰好买两种铅笔16支或12支。
5、23人
设共有学生x人，依题意可列如下方程：
kx+20=9×（x－1）+6
kx+20=9x－3
x×（9－k）=23
23是一个质数，而9－k≤9，所以x必然等于23，即共有23人搬砖。
6、11个月，7个月。
设马小富在甲公司打工x个月，在乙公司兼职y个月，这里x＞y，且x、y都是不大于12的自然
数，根据题意，列方程：
470x+350y=7620
47x+35y=762
由于35y的末位数字一定是5或0，因此47x的末位数字是7或2，x只能是1或11或6。
当x=1或6时，y没有自然数解，不符合题意；
当x=11时，y=7。
即 马小富在甲公司打工11个月，在乙公司兼职7个月。
[能力拓展平台]
140x 2 x 5 x 3
1、答案y 4 y 2 y 1
z 1 z 1 z 2
解：显然z只能取1，2，3。
当z=1时，2x+3y=16，其自然数解为x=2，y=4；x=5，y=2。
当z=2时，2x+3y=9，其自然数解为x=3，y=1。
当z=3时，2x+3y=2，显然无自然数解。
x 2 x 5 x 3
所以原方程的自然数解为y 4 y 2 y 1
z 1 z 1 z 2
2、7段，8段．
要使损耗最少，应尽可能多锯90毫米长的铜管，但必须符合：（1）两种铜管都有；（2）两种铜管
长度之和加上损耗部分的长度应等于1米。
设38毫米、90毫米的铜管分别锯x段、y段，根据题意，列方程：
38x+90y+（x+y－1）=1000
39x+91y=1001
由于39、91、1001有公因数13，方程两边同除以13得
3x+7y=77
773X
y=
7
3
x
即 y=11－
7
要使损耗最少，应尽可能多锯90毫米长的铜管，也就是说x尽可能小。又x、y均是自然数，可
得
x=7，y=8。
即 只有当锯得38毫米的铜管为7段，90毫米的铜管为8段时，所损耗的铜管才能最少。
注：列出方程后，要选用简便算法，本题是先把1001、39、91分解质因数后约分，然后把y用x
来表示，利用y是自然数，x必须能被7整除来求解。
3、 84页
设小明第一天看了a页，第二天看了b页，则前五天看的页数依次为：
a，b，a+b，a+2b，2a+3d。
上面各个数的和是200，得到
5a+7b=200
因为5a与200都是5的倍数，所以b是5的倍数，因为b＞a，所以上式只有两组解：
b=20，a=12；b=25，a=5
将这两组解分别代入2a+3b，得到第五天至少看了84页。
4、10种
a b
设两个正整数是a和b，由题意有： 1，化简得 181a+b=1991，b应是181的倍数，
11 1991
设b=181b，则181a+181b=1991，a+b=11。a、b 都是正整数，有10组解，它们均满足题意。故有
1 1 1 1
14110种可能。
5、8次
设在第一部、第二部、第三部换币机上分别换了x、y、Z次硬币，则有x+y+Z=12。另一方面，每
当在第一部机器上换一次可使硬币增加一枚，相应地，每当在另外两部机器一换一次，可使硬
币分别增加3枚和9枚，因此有：x+3y+9Z=80，解得：x=y=2，Z=8。
6、 1件
设此人购买甲、乙、丙三种商品的件数分别为a件、b件、c件，依题意有：
2a+3b+5c=20
由于此人退的两件商品的价钱不是10元，所以退回的商品单价不为5，退回的是甲种或乙种
商品，故有C＜3（若c=3，则a=b=1，退回的必须是丙种商品）。
经试验，满足 2a+3b+5c=20的正整数解有三组：
a 3 a 6 a 2
b 3 b 1 b 2
c 1 c 1 c 2
结合题意，可知原来三种商品分别买3件，3件，1件，而现在购买三种商品的件数分别为：
6件，1件，1件。
[全讲综合训练]
1、44，102
设一个数为11x，另一个数为17y，由题意得：
14617Y
11x+17y=146，x= , 因为x、y必须是自然数，解得x=4，y=6，符合题意，所以这两个
11
整数为44和102。
2、5辆、4辆
设需大客车x辆，小客车y辆。
31042x
则有：42x+25y=310，整理得：y= ，解得x=5，y=4。
25
3、18块
设甲搬砖16x块，乙搬砖21y块，则：16x+21y=270，解得自然数解：x=9，y=6。即甲搬砖
16×9=144（块），乙搬砖21×6=126（块），甲比乙多搬144－126=18（块）。
4、2米，5米
315y
设3米长用x根，5米长的用y根。根据题意有：3x+5y=31，x= ，当y=2时，x=7＞6，不
3
符合题意，舍去。当y=5时，x=2，符合题意。
5、 5人
1 1
设全家共喝x杯牛奶和y杯咖啡，得 x y 13x2y 12 x 2,y 3，所以共
4 6
喝了2+3=5（杯），因此，全家有5口人。
6、1998
△是小于4的奇数，只需检验△=1或3两种情况即可。
7、260
142a
设 箱子里共有n个乒乓球，二级品占 ，依题意得，
5
a
n×25%+n +91=n
5
整理得 n（15－4a）=20×91 ①
易知 15－4a＞0，所以a≤3。
将a=1，2，3，代入①知，只有a=2符合要求，此时 n=260（个）
8、11
9、33岁
设他出生于19xy年，则有：1991－19xy=9+x+y，91－（10x+y）=10+x+y，11x+2y=81。
解得：x=7，y=2。即这个同学出生于1972年，他2005年的年龄是2005－1972=33（岁）。
10、有11个
设这个三位数为abc，a、b、c均为0~9的整数，且a≠0，于是：19（a+b+c）=100a+10b+c，即：
81a=9b+18c，9a=b+2c，把b=0、1、2、3……9分10种情况讨论，可得此方程的11个解。这11个
解组成以下11个三位数：114，133，152，171，190，209，228，247，266，285，399。
11、153
设这个三位数为abc，a、b、c均为0~9的整数，且a≠0，于是17（a+b+c）=100a+10b+c，化简得：
83a=7b+16c，当a=1，b=5，c=3是本题的唯一解。所求三位数是153。
12、如下：
x 1, x 5,
设蟋蟀有x只，蜘蛛有y只，则：6x+8y=46 即3x+4y=23。解得：
y 5, y 2.
13、7744
设这个四位数前两个相同的数字为x，后两个相同的数字为y，且这个四位数为一个自然数n的
平方，从而得1000x+100x+10y+y= n2 所以11×（100x+y）= n2，由此可知n中有11这个因数，此
四位数则应有两个因数11，因此100x+y中还应有一个因数11。由100x+y=99x+（x+y）可知x+y
应是11的倍数，（即x+y=11），那么所求的数就是：xxyy=11×（99x+11）=121×（9x+1），因为
xxyy是一个完全平方数，所以（9x+1）也应是一个完全平方数，只有当x=7时，9x+1=64是完全
平方数，由x=7，x+y=11得y=4，所以所求的数为7744。
14、如下：
设乙车有x箱苹果，则甲车有（x+4）箱，丙车有（x－4）箱苹果；乙车每箱有y个苹果，则甲车每
箱有（y－3）个，丙车每箱（y+5）个苹果。
(x4)(y3)xy 3
xy(x4)(y5) 5
1434y3x 15(1)
化简，得
5x4y 15(2)
①+②，得2x=30，x=15
将x=15代入①，得y=15
x+4=19，y－3=12；
x－4=11，y+5=20
答：甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个。
15、如下：
设买甲种书a本，乙种书b，丙种书c本，丁种书d本。则
abcd 10
3a5b7c11d 70
① －②×3，得
2b+4c+8d=40
即 b+2c+4d=20 ③
从③看出d＜
当d=4时，c=1，b=2，a=3
当d=3时，c=2，b=4，a=1或c=3，b=2，a=2
当d=2时，c=5，b=2，a=1
当d=1时，无解。
因此，有以下四种不同的购买方法：
甲 乙 丙 丁
3 2 1 4
1 4 2 3
2 2 3 3
1 2 5 2
即共有4种不同的购买方法。
16、72岁
设今年小明x岁，那么今年祖父6x岁。y年以后，祖父的年龄是小明的5倍，于是有：
5（x+y）=6x+y
设又过z年以后，祖父的年龄是小明的4倍，于是有：
4（x+y+z）=6x+y+z
所以得方程组：
5(x y) 6x y
4(x y z) 6x y z
化简得：
x 4y
2x 3y3z
1441
x
由（3）得y= ，代入（4）得
4
1
x
2x=3× +3z
4
5
x
即 z=
12
因为经过的年数只能取自然数，所以x可取12，24，36……；
因为今年祖父的年龄为6x岁，当x=12时，6x=72；当x=24时，6x=144，这不可能，以后更大，
更无可能。所以只有当x=12时，6x=72是可能的。
17、105元
设购甲、乙、丙一件各需x 元，y元，z元。根据题意列方程组，得
3x7y z 315
4x10y z 420
2(x3y)(x y z) 315
即
3(x3y)(x y z) 420
（1）×3－（2）×2，得
x+y+z=315×3－420×2=105
即 现购甲、乙、丙各一件共需105元。
18、91个
每隔2、4、6孔跳一步，实际分别跳3、5、7孔；每步跳3、5孔跳到B孔，即总孔数除以3和5
分别余1，因为3和5的最小公倍数为15，所以就是 总孔 数除以15余1。每步跳7孔，正
好回到A孔，即总孔数能被7整除。
设所求总孔数为15x+1，总孔数除以7的商为y，于是得方程
15x+1=7y
15X 1 x1
即 y= 2x
7 7
61
因为步数为自然数，而y＜100，所以，只有当x=6时，y=2×6 13，总孔数为
7
15×6+1=91（或7×13=91），才满足题意。
即 这个圆圈上共有91个孔。
19、4个
设有蓝球x个，黄球y个，则红球有（10－x－y）个，根据题意，列方程：
3x+2y+（10－x－y）=21
2x+y=11
则x可取1、2、3、4、5，y分别取9、7、5、3、1，对应（10－x－y）的值为0、1、2、3、4。
因此红球的个数最多不超过4个。
20、2.76元，1.8元
若两家都没超过24度或都超过24度，则甲家多交的电费应该分别是9和20的倍数。但96
不是9和20的倍数，设甲家用电x度，乙家用电y度，这里x大于24，y小于24，且大于0，根据
145题意，列方程：
24×9+20（x－24）=9y+96
20x=360+9y
由于20x、360都能被20整除，因此y是20的倍数，y只能取20或0。可求得x=27或18。
又18＜24，不符合题意，舍去。
因此，乙家交电费：20×9=180（分）=1.8(元)
甲家交电费：180+96=276（分）=2.76(元)
21、设哲洙在乙文具店买了x张卡片，每张价格为y×100元。由花钱总数可列方程，为
500×（50－x）+100y×x=30400
25000－500x+100xy=30400
100xy－500x=5400
x（y－5）=54
从上式可看出x与（y－5）都是54的约数，且x＜50，那么x与y的关系如下表：
X 1 2 3 6 9 18 27
y－5 54 27 18 9 6 3 2
因为乙文具店一张卡片价格小于2000元，推知y小于2000÷100=20，那么y－5＜15。这时
x的取值是6、9、18、27。
即 哲洙在乙文具店买卡片的数量有买6、9、18、27张的可能。
22、972人
设这个学校的学生总数为abc，则abcbac 180。100a+10b+c－（100b+10a+c）=180，
得a－b=2。这个学校人数总数可能是20□，31□，42□，53□，64□，75□，86□，97□。又知学
生总数是36的倍数，直接除以36，或想这些数是4、9的倍数，得出648，756，864，972。
最多有972人。
23、178个
有一堆石子数70，共减少了100－70=30个石子，如果有从其它17堆拿石子放入这堆的操
作，那么至少操作了100+17－70=47次，与不到40次矛盾。所以这堆石子每次都要拿出1个石
子，共操作了30次。
另一堆石子数在170~190之间，设这30次操作中有n 次是从17堆石子放入这堆中，有
（30－n）次是从这堆拿出石子。拿出（30－n）个石子。这堆石子数为 100－（30－n）
+17n=70+18n，170≤70+18n≤190，当n=6时，70+18n=178，这堆石子178个。
24、51人，53人，49人。
设甲班a人，乙班b人，丙班c人，则甲班捐书6+7×2+11（a－3）=11a－13。
乙班捐书6+8×3+10（b－4）=10b－10，
丙班捐书4×2+7×6+9（c－8）=9c－22。
由甲班比乙班多28本，乙班比丙班多101本，得
11a13(10b10) 28(1)
由(2),得
10b10(9c22) 101(2)
10b－10=101+9c－22代入（1）得11a－13－（101+9c－22）=28。
化简，得10b－9c=120。因为400＜11a－13＜550，
400＜10b－10＜550，400＜9c－22＜550
146解得 a=51，b=53，c=49。
25、24.05元
设乙用电x度，丙用电y度。其中x＞10，y＜10，则有
0.45×(10－y)+0.8×(x－10)=3.75
4.5－0.45y+0.8x－8=3.75
0.8x－0.45y=7.25
80x－45y=725
16x－9y=145
解得 x=13,y=7
乙用户用电13度,丙用户用电7度.
丙交电费：0.45×7=3.15(元)
乙交电费：3.15+3.75=6.90(元)
甲交电费：6.90+7.10=14.00(元)
三户共交电费：
3.15+6.90+14.00=24.05(元)
147
