文档内容
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂
黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案
写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A=1，2，3，5，7，11，B=x|30
，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
第3页 | 共21页则：A-a,0,Ba,0 ，设Cx,y
，可得：A
®
C =x+a,y,B
®
C =x-a,y，
® ®
从而：AC×BC =x+ax-a+ y2，
结合题意可得： x+ax-a+ y2 =1，
整理可得：x2 + y2 =a2 +1，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， a2 +1为半径的圆.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查
学生的转化能力和计算求解能力.
7.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点
坐标为（ ）
1 1
A. （ ，0） B. （ ，0） C. （1，0） D. （2，0）
4 2
【答案】B
【解析】
【分析】
p
根据题中所给的条件OD^OE ，结合抛物线的对称性，可知ÐCOx=ÐCOx= ，从而可
4
以确定出点D的坐标，代入方程求得 p的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】因为直线x=2与抛物线y2 =2px(p>0)交于C,D两点，且OD^OE ，
p
根据抛物线的对称性可以确定ÐDOx=ÐCOx= ，所以C(2,2)，
4
1
代入抛物线方程4=4p，求得 p=1，所以其焦点坐标为( ,0)，
2
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物
线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
8.点(0，﹣1)到直线y =kx+1 距离的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
第4页 | 共21页【分析】
首先根据直线方程判断出直线过定点P(-1,0)，设A(0,-1)，当直线y =k(x+1)与AP垂直
时，点A到直线y =k(x+1)距离最大，即可求得结果.
【详解】由y =k(x+1)可知直线过定点P(-1,0)，设A(0,-1)，
当直线y =k(x+1)与AP垂直时，点A到直线y =k(x+1)距离最大，
即为|AP|= 2.
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用
几何性质是解题的关键，属于基础题.
9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A. 6+4 2 B. 4+4 2 C. 6+2 3 D. 4+2 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其
表面积.
【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
第5页 | 共21页1
根据立体图形可得：S =S =S = ´2´2=2
△ABC △ADC △CDB 2
根据勾股定理可得：AB= AD= DB=2 2
\△ADB是边长为2 2的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
1 1 3
S = AB×AD×sin60°= (2 2)2× =2 3
△ADB 2 2 2
\该几何体的表面积是：3´2+2 3 =6+2 3.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图
画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.
2
10.设a=log 2，b=log 3，c= ，则（ ）
3 5
3
A. a log 25= =c，
3 3 3 3 3 3 5 3 5 3
所以a0，b>0)的一条渐近线为y= 2 x，则C的离心率为_________．
第8页 | 共21页【答案】 3
【解析】
【分析】
b
根据已知可得 = 2，结合双曲线中a,b,c的关系，即可求解.
a
x2 y2
【详解】由双曲线方程 - =1可得其焦点在x轴上，
a2 b2
因为其一条渐近线为 y = 2x，
b c b2
所以 = 2，e= = 1+ = 3.
a a a2
故答案为： 3
【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注
意判断焦点所在位置，属于基础题.
ex e
15.设函数 f(x)= ．若 f¢(1)= ，则a=_________．
x+a 4
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
exx+a-ex exx+a-1
【详解】由函数的解析式可得： f¢x= = ，
x+a2 x+a2
e1´1+a-1 ae ae e
则： f¢1= = ，据此可得： = ，
1+a2 a+12 a+12 4
整理可得：a2 -2a+1=0，解得：a=1.
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
2
【答案】 p
3
【解析】
第9页 | 共21页【分析】
将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中BC =2,AB= AC =3，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为O，
1
由于AM = 32 -12 =2 2，故S = ´2´2 2 =2 2，
△ABC 2
设内切圆半径为r，则：
1 1 1
S =S +S +S = ´AB´r+ ´BC´r+ ´AC´r
△ABC △AOB △BOC △AOC
2 2 2
1
= ´3+3+2´r =2 2，
2
2 4 2
解得：r = ，其体积：V = pr3 = p.
2 3 3
2
故答案为： p.
3
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确
切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体
，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶
点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必
考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.设等比数列{a }满足a +a =4，a -a =8．
n 1 2 3 1
（1）求{a }的通项公式；
n
第10页 | 共21页（2）记S 为数列{log a }的前n项和．若S +S =S ，求m．
n 3 n m m+1 m+3
【答案】（1）a =3n-1；（2）m=6.
n
【解析】
【分析】
（1）设等比数列
a
的公比为
q
，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通
n
项公式；
（2）由（1）求出{log a }的通项公式，利用等差数列求和公式求得S ，根据已知列出关
3 n n
于m的等量关系式，求得结果.
【详解】（1）设等比数列
a
的公比为
q
，
n
ìa +aq=4 ìa =1
1 1 1
根据题意，有í ，解得í ，
î
aq2 -a =8 îq =3
1 1
所以a =3n-1；
n
（2）令b =log a =log 3n-1 =n-1，
n 3 n 3
n(0+n-1) n(n-1)
所以S = = ，
n 2 2
m(m-1) m(m+1) (m+2)(m+3)
根据S +S =S ，可得 + = ，
m m+1 m+3 2 2 2
整理得m2 -5m-6=0，因为m>0，所以m=6，
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计
算求解能力，属于基础题目.
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次
，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
[0，200] (200，400] (400，600]
空气质量等级
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
第11页 | 共21页4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4
，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是
否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
n(ad-bc)2
附：K2 = ，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、
0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；
（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；
（3）根据表格中的数据完善2´2列联表，计算出K2的观测值，再结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为
第12页 | 共21页2+16+25 5+10+12
=0.43，等级为2的概率为 =0.27，等级为3的概率为
100 100
6+7+8 7+2+0
=0.21，等级为4的概率为 =0.09；
100 100
（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
100´20+300´35+500´45
=350
100
（3）2´2列联表如下：
人次£ 400 人次>400
空气质量不好 33 37
空气质量好 22 8
100´33´8-37´222
K2 = »5.820>3.841，
55´45´70´30
因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考
查数据处理能力，属于基础题.
19.如图，在长方体ABCD-ABC D 中，点E，F 分别在棱DD ，BB 上，且2DE=ED
1 1 1 1 1 1 1
，BF =2FB ．证明：
1
（1）当AB= BC时，EF ^ AC；
（2）点C 在平面AEF 内．
1
第13页 | 共21页【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据正方形性质得AC ^ BD，根据长方体性质得AC ^BB ,进而可证AC ^平面
1
BBDD,即得结果；
1 1
（2）只需证明EC //AF 即可，在CC 上取点M 使得CM =2MC ,再通过平行四边形性质进
1 1 1
行证明即可.
【详解】
（1）因为长方体ABCD-ABC D ,所以BB ^平面ABCD\ AC ^BB ,
1 1 1 1 1 1
因为长方体ABCD-ABC D,AB= BC,所以四边形ABCD为正方形\AC ^ BD
1 1 1 1
因为BB I BD= B,BB、BDÌ平面BBDD,因此AC ^平面BBDD,
1 1 1 1 1 1
因为EF Ì平面BBDD,所以AC ^ EF；
1 1
（2）在CC 上取点M 使得CM =2MC ,连DM,MF ,
1 1
因为DE =2ED,DD //CC ,DD =CC ,所以ED=MC ,ED//MC ,
1 1 1 1 1 1 1
所以四边形DMC E为平行四边形，\DM//EC
1 1
因为MF//DA,MF=DA,所以四边形MFAD为平行四边形，\DM//AF,\EC //AF
1
因此C 在平面AEF 内
1
【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题.
第14页 | 共21页20.已知函数 f(x)=x3 -kx+k2．
（1）讨论 f(x)的单调性；
（2）若 f(x)有三个零点，求k的取值范围．
4
【答案】（1）详见解析；(2)(0, ).
27
【解析】
【分析】
（1） f'(x)=3x2 -k ，对k分k £0和k >0两种情况讨论即可；
ì k
ïf(- )>0
ï 3
（2） f(x)有三个零点，由（1）知k >0，且í ，解不等式组得到k的范围，
ï k
f( )<0
ï
î 3
再利用零点存在性定理加以说明即可.
【详解】（1）由题， f'(x)=3x2 -k ，
当k £0时， f '(x)³0恒成立，所以 f(x)在(-¥,+¥)上单调递增；
k k k
当k >0时，令 f '(x)=0，得x =± ，令 f '(x)<0，得- < x< ，
3 3 3
k k k k
令 f '(x)>0，得x< - 或x> ，所以 f(x)在(- , )上单调递减，在
3 3 3 3
k k
(-¥,- )，( ,+¥)上单调递增.
3 3
ì k
ïf(- )>0
ï 3
（2）由（1）知， f(x)有三个零点，则k >0，且í
ï k
f( )<0
ï
î 3
ì 2 k
ïk2 + k >0
ï 3 3 4
即í ，解得0 ，且 f( k)=k2 >0，
27 3
第15页 | 共21页k
所以 f(x)在( , k)上有唯一一个零点，
3
k
同理-k -1< - ， f(-k -1)=-k3 -(k +1)2 <0，
3
k
所以 f(x)在(-k -1,- )上有唯一一个零点，
3
k k
又 f(x)在(- , )上有唯一一个零点，所以 f(x)有三个零点，
3 3
4
综上可知k的取值范围为(0, ).
27
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考
查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.
x2 y2 15
21.已知椭圆C: + =1(00,b,c<0，由
b+c2 b2 +c2 +2bc
a3 =a2×a = = ，结合基本不等式，即可得出证明.
bc bc
【详解】（1） (a+b+c)2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc=0，
Q
1
\ab+bc+ca =- a2 +b2 +c2 .
2
1
Q
a,b,c均不为0，则a2 +b2 +c2 >0，\ab+bc+ca =- a2 +b2 +c2 <0；
2
（2）不妨设max{a,b,c}=a，
由a+b+c=0,abc=1可知，a >0,b<0,c<0，
1 b+c2 b2 +c2 +2bc 2bc+2bc
Q a=-b-c,a= ，\a3 =a2×a= = ³ =4.
bc bc bc bc
当且仅当b=c时，取等号，
\a³ 3 4 ，即max{a,b,c}… 3 4 .
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.
第21页 | 共21页
