文档内容
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为1
20分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题
卡的规定位置.
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作
答一律无效.
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
参考公式：
柱体的体积V =Sh，其中S 是柱体的底面积，h是柱体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上
．
1.已知集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3}，则A
I
B=_____.
2.已知i是虚数单位，则复数z =(1+i)(2-i)的实部是_____.
3.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4，则a的值是_____.
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.
5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为-2，则输入x的值是_____.
第1页 | 共6页x2 y2 5
6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 ﹣ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y= x，则该双曲线的离心
a2 5 2
率是____.
2
7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， f x=x3 ，则f(-8)的值是____.
p 2
8.已知sin2( +a) = ，则sin2a的值是____.
4 3
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2
cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.
π π
10.将函数y=3sin(2x﹢ )的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_
4 6
___.
11.设{a }是公差为d的等差数列，{b }是公比为q的等比数列．已知数列{a +b }的前n项和
n n n n
S =n2 -n+2n -1(nÎN+)，则d+q的值是_______．
n
12.已知5x2y2 + y4 =1(x,yÎR)，则x2+y2 的最小值是_______．
13.在△ABC中，AB=4，AC =3，∠BAC=90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若
uuur uuur 3 uuur
PA=mPB+( -m)PC（m为常数），则CD的长度是________．
2
3 1
14.在平面直角坐标系xOy中，已知P( ，0)，A，B是圆C：x2 +(y- )2 =36上的两个动点，满足
2 2
PA= PB，则△PAB面积的最大值是__________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15.在三棱柱ABC-A B C 中，AB⊥AC，B C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B C的中点．
1 1 1 1 1
第2页 | 共6页（1）求证：EF∥平面AB C ；
1 1
（2）求证：平面AB C⊥平面ABB ．
1 1
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,c= 2,B=45°．
（1）求sinC的值；
4
（2）在边BC上取一点D，使得cosÐADC =- ，求tanÐDAC的值．
5
17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN
平行，OO¢为铅垂线(O¢在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h (米)与D到OO¢的距离a
1
1
(米)之间满足关系式h = a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h (米)与F到OO¢的距离b(米)之间满
1 40 2
1
足关系式h =- b3 +6b.已知点B到OO¢的距离为40米.
2 800
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO¢的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥
第3页 | 共6页3
墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 k(万元)(k>0).问O¢E 为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?
2
x2 y2
18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E: + =1的左、右焦点分别为F ，F ，点A在椭圆E上且在
1 2
4 3
第一象限内，AF ⊥F F ，直线AF 与椭圆E相交于另一点B．
2 1 2 1
（1）求△AF F 的周长；
1 2
uuur uuur
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP×QP的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S ，S ，若S =3S ，求点M的坐标．
1 2 2 1
19.已知关于x的函数y = f(x),y = g(x)与h(x)=kx+b(k,bÎR)在区间D上恒有 f(x)³h(x)³ g(x)．
（1）若 f x=x2+2x，gx= -x2+2x，D=(-¥，+¥)，求h(x)的表达式；
（2）若 f(x)= x2-x+1，g(x)= klnx，h(x)= kx-k,D= (0，+¥)，求k的取值范围；
（3）若 f(x)= x4-2x2，g(x)= 4x2-8 ，h(x)= 4 t2-t x- 3t4+ 2t2(0< t≤ 2)，D= m, nÍé- 2, 2ù，
ë û
求证：n-m£ 7．
20.已知数列
a (nÎN*)的首项a
=1，前n项和为S ．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有
n 1 n
1 1 1
成立，则称此数列为“λ–k”数列．
S k -S k =la k
n+1 n n+1
（1）若等差数列
a
是“λ–1”数列，求λ的值；
n
（2）若数列
a
是“
3
-2”数列，且a ＞0，求数列
a
的通项公式；
n n n
3
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列
a
为“λ–
n
3”数列，且a ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，
n
第4页 | 共6页数学Ⅱ(附加题)
【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-2：矩阵与变换]
éa 1 ù
21.平面上点A(2,-1)在矩阵M =
ê
ú对应的变换作用下得到点B(3,-4)．
ë-1 bû
（1）求实数a，b的值；
（2）求矩阵M 的逆矩阵M-1．
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]
π π
22.在极坐标系中，已知点A(r, )在直线l:rcosq=2上，点B(r, )在圆C:r=4sinq上（其中
1 3 2 6
r³0，0£q<2p）．
（1）求r，r的值
1 2
（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标．
C．[选修4-5：不等式选讲]
23.设xÎR，解不等式2|x+1|+|x|£4．
【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
24.在三棱锥A—
BCD中，已知CB=CD= 5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
1
（2）若点F在BC上，满足BF= BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
4
25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入
另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X ，恰有2个黑球的概率为p ，恰有1个黑球的概
n n
第5页 | 共6页率为q ．
n
（1）求p ·q 和p ·q ；
1 1 2 2
（2）求2p +q 与2p +q 的递推关系式和X 的数学期望E(X )(用n表示) ．
n n n-1 n-1 n n
第6页 | 共6页
