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2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第
Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置
粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结
束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
如果事件A与事件B互斥，那么P(AÈB)= P(A)+P(B)．
如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB)= P(A)P(B)．
球的表面积公式S =4pR2，其中R表示球的半径．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集U ={-3,-2,-1,0,1,2,3}，集合A={-1,0,1,2}, B={-3,0,2,3}，则A I ð U B=（ ）
A. {-3,3} B. {0,2} C. {-1,1} D. {-3,-2,-1,1,3}
2.设aÎR，则“a>1”是“a2 >a”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4x
3.函数y = 的图象大致为（ ）
x2 +1
A B.
.
第1页 | 共6页C. D.
4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：
[5.31,5.33),[5.33,5.35),
L
,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零
件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）
A. 10 B. 18 C. 20 D. 36
5.若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. 12p B. 24p C. 36p D. 144p
-0.8
æ1ö
6.设a=30.7, b=
ç ÷
, c=log 0.8，则a,b,c的大小关系为（ ）
è3ø 0.7
A. a0,b>0)，过抛物线y2 =4x的焦点和点(0,b)的直线为l．若C的一
a2 b2
条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）
x2 y2 y2 x2
A. - =1 B. x2 - =1 C. - y2 =1 D. x2 - y2 =1
4 4 4 4
æ pö
8.已知函数 f(x)=sin ç x+ ÷．给出下列结论：
è 3ø
① f(x)的最小正周期为2p；
æpö
② f ç ÷是 f(x)的最大值；
è 2ø
第2页 | 共6页p
③把函数y =sin x的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数y = f(x)的图象．
3
其中所有正确结论的序号是
A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③
ìx3, x…0,
9.已知函数 f(x)=í 若函数g(x)= f(x)- kx2 -2x (kÎR)恰有4个零点，则k的取值范围
î-x, x<0.
是（ ）
æ 1ö æ 1ö
A. ç -¥,- ÷U (2 2,+¥) B. ç -¥,- ÷U (0,2 2)
è 2ø è 2ø
C. (-¥,0) (0,2 2) D. (-¥,0) (2 2,+¥)
U U
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2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分
，全部答对的给5分．
8-i
10.i是虚数单位，复数 =_________．
2+i
5
æ 2 ö
11.在
ç
x+
÷
的展开式中，x2的系数是_________．
è x2 ø
12.已知直线x- 3y+8=0和圆x2 + y2 =r2(r >0)相交于A,B两点．若| AB|=6，则r的值为_______
__．
1 1
13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落
2 3
入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
1 1 8
14.已知a>0, b>0，且ab=1，则 + + 的最小值为_________．
2a 2b a+b
uuur uuur uuur uuur 3
15.如图，在四边形ABCD中，ÐB=60°, AB=3，BC =6，且AD=lBC, AD×AB=- ，则实
2
第3页 | 共6页uuuur uuuur uuur
数l的值为_________，若M,N 是线段BC上的动点，且|MN |=1，则DM ×DN 的最小值为_________
．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.在 ABC 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a=2 2,b=5,c= 13．
V
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sin A 的值；
æ p ö
（Ⅲ）求sin ç 2A+ ÷的值．
è 4 ø
17.如图，在三棱柱ABC-ABC 中，CC ^平面ABC,AC ^ BC,AC = BC =2，CC =3，点D, E
1 1 1 1 1
分别在棱AA 和棱CC 上，且AD=1 CE =2, M 为棱AB 的中点．
1 1 1 1
（Ⅰ）求证：C M ^ BD；
1 1
（Ⅱ）求二面角B-BE-D的正弦值；
1
（Ⅲ）求直线AB与平面DBE所成角的正弦值．
1
第4页 | 共6页x2 y2
18.已知椭圆 + =1(a >b>0)的一个顶点为A(0,-3)，右焦点为F ，且|OA|=|OF |，其中O为原
a2 b2
点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
uuur uuur
（Ⅱ）已知点C满足3OC =OF ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切
于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．
19.已知 a 为等差数列， b 为等比数列，a =b =1,a =5a -a ,b =4b -b ．
n n 1 1 5 4 3 5 4 3
（Ⅰ）求
a
和
b
的通项公式；
n n
（Ⅱ）记 a 的前n项和为S ，求证：S S x ，有
1 2 1 2
f¢x + f¢x f x - f x
1 2 > 1 2 ．
2 x -x
1 2
第5页 | 共6页第6页 | 共6页
