文档内容
2025 学年第一学期浙江 G5 联盟期中联考
高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由交集的定义求解即可.
【详解】集合 ， ，可得 ，
故选：A.
2. 设命题 ： ， ，则命题 的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得结果.
【详解】命题“ ”的否定为“ ”.
故选：D.3. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性，奇偶性定义逐项判断.
【详解】对于A，函数 图象关于原点对称是奇函数，故A错误；
对于B，幂函数 在 上单调递减，
又 ， ，故 是偶函数，故B正确；
对于C，指数函数 没有奇偶性，故C错误；
对于D，函数 在 上单调递增，故D错误.
故选：B.
4. 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
.
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性判断即得.
【详解】由指数函数的单调性可得： ，
由 可得 ，而由 不能推出 ，如 ，但 没有意义，
所以 是 的必要不充分条件.
故选：B5. 若实数a，b满足 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】先将指数式化成对数式，求出 ，再利用换底公式的推论 以及对数的运算法
则即可求出．
【详解】因为 ，所以 ，
．
故选D．
【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、换底公式推论 的应用以及对数的运算法
则的应用．
6. 若 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用指数函数及幂函数的单调性比较大小计算求解.
【详解】因为 在 上单调递增，所以 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，
所以 .
故选：C.
7. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 在 上递增列不等式，由此求得 的取值范围．
【详解】由于 在 上单调递增，所以 ，
由 得 即 ，
当 时， ， ，显然成立；
当 时， 单调递增，且 ，故 ，
综上， ，
所以a的取值范围是
故选：C
8. 函数 ： 满足 ，则这样的函数个数共有（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】D
【解析】
的
【分析】根据函数 定义，列举求解.
【详解】当 或2或3时，共3个；
当 或3时，共2个；
当 或3时，共2个；
当 或2时，共2个；
当 时，共1个；所以这样的函数共有10个，
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ， ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】可以通过举反例、运用不等式的性质或作差法等进行解决.
【详解】对于A：若 ，则结论不成立，故A错误；
对于B：由 可得 ，
.故B正确；
对于C：若 ,则结论不成立，故C错误；
对于D： ，
，故D正确.
故选：BD.
10. 函数 的图象可能是（ ）
A. B.C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由特殊情况 时可判断ACD符合；对于B可假设图象成立，推出矛盾排除.
【详解】 .
当 时， ，定义域为R， 则 为偶函数，
当 时，由对勾函数以及复合函数单调性可得 单调递减，且 ，故A符合；
当 时， ，定义域 ，
，则 为奇函数，
当 时，由复合函数单调性可得 单调递减，且 ，故C符合；
当 时， ，由指数函数性质可得D符合；
对于B选项，由于图象恒在 轴上方可得 恒成立，
则分母 恒正，则定义域为 ，与图像矛盾，故B错误；
故选：ACD.
11. 设集合 是实数集 的子集，如果实数 满足：对任意 ，都存在 ，使得 ，称实数 为集合 的聚点，则在下列集合中，以1为聚点的集合有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，从而
得到答案.
【详解】对于集合 ，对 ，不存在 ，使得 ，
所以1不是集合 的聚点，A选项不正确；
对于集合 ，对于任意实数 ，存在 ，都有 ，
从而1是集合 的聚点，B选项正确；
对于集合 ， ，
对于任意实数 时，存在 ，使得 ，从而1是集合
的聚点，C选项正确；
集合 中，存在 ，因为 ，所以
∴1不是集合 的聚点，D选项不正确；
故选：BC.
非选择题部分
注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知幂函数 （ 是常数）满足 ，则 ________.
【答案】5
【解析】
【分析】将已知 代入函数解析式求出 ，得到函数解析式，再求 即可.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
，故 .
故答案为：5.
13. 若关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知 且 ，然后利用分式不等式的解法可得出所求不等式的解集.
【详解】因为关于 的不等式 的解集为 ，所以 ，且有 ，故 ，
故不等式 即为 ，即为 ，等价于 ，
解得 ，
故不等式 的解集为 .
故答案为： .
14. 若实数 、 、 满足 ， ，则实数 的最小值是________.【答案】
【解析】
【分析】用 、 表示出 ，利用基本不等式求出 的最小值，即可求得 的最小值.
【详解】由 可得 .
由 可得 ，
所以
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，且仅当 即 时取等号.
∴ 时，实数 取得最小值 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集为 ，集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据已知，应用集合的交、补运算求集合；
（2）由交集结果得 ，讨论 、 列不等式求参数范围.
【小问1详解】
当 ， ， ，
所以 或 ，则 ；
【小问2详解】
由 ，得 ，
① 时，则 ，解得 ，
② 时，则 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围为 .
16. 已知不等式 的解集为 .
（1）求 和 的值；
（2）解关于 的不等式 .
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）法1，2，根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根的关系求出 ；
（2）问题转化为 ，按照 ， ， 讨论求解.
【小问1详解】
法一：由题意， 和 为方程 的两解，且 ，所以 ，
解得 或 （舍去），
所以 ， .
法二：
由题意， ， 为方程 的两解，
由韦达定理得 ，解得 .
【小问2详解】
由（1）可得不等式为 ，
①当 时，不等式可化为 ，则解集为 ；
又不等式 可转化为 ，
②当 时，则 ，则不等式的解集为 ；
③当 时，则 ，则不等式的解集为 或 .
综上，当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 或 .
17. 某企业计划生产某种新型的电子设备，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产试销.通
过市场分析发现，生产此款电子设备全年需投入固定成本120万元，每生产 千套电子设备，需另投入成本 万元，且 ，假设每千套电子设备售价定为500万
元，且全年内生产的电子设备当年能全部销售完.
（1）求全年的利润 万元关于年产量 千套的函数关系式（利润=销售额 成本）；
（2）当全年产量为多少千套时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？
【答案】（1）
（2）全年产量为40千套时，企业所获利润最大，且最大利润为4080万元.
【解析】
【分析】（1）根据给定信息，利用利润的意义求出解析式.
（2）由（1）的结论，利用二次函数、基本不等式分段求出最大值并比较大小即可.
【小问1详解】
当 时， ，
当 时， ，
所以
.
【小问2详解】
当 时， ，当 时， 万元；
当 时， ，
当且仅当 时，即 时， 万元，而 ，
所以全年产量为40千套时，企业所获利润最大，且最大利润为4080万元.
18. 已知函数 是奇函数.（1）求实数 的值；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明；
（3）已知函数 ，若对 ， ，使得 ，
求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）函数 在 上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
的
【分析】（1）根据奇函数定义域对称求得 值，并检验得解；
（2）利用函数单调性定义判断证明；
（3）根据题意问题转化为 ，求出最值得解.
【小问1详解】
因为 是奇函数，则其定义域 关于原点对称，即 ，
则 ，经验证， ，故 满足题意.
【小问2详解】
函数 在 上单调递增，证明如下：
，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，则 ，所以 ，即 ，
所以 ，函数在 上单调递增.
【小问3详解】
由题意得： ，
由（2）知， 在 上单调递增，所以 ，
由 ，得对称轴方程为 ，
①当 时，即 时， 在 上单调递减，
所以 ，解得 ，又 ，故无解；
②当 时，即 时， ，
解得 ，又 ，所以 ；
③当 时，即 时， 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，又 ，所以 .
综上，实数 的取值范围为 .
19. 设函数 .
（1）求证： 是偶函数；
（2）若 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
（3）设函数 ，若方程 在 有唯一实数解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3） .
【解析】
【分析】（1）由 代入即可求解；
（2）由已知 代入可得， 在 上能成
立，换元后利用二次函数的性质可求；
（3）结合已知，代入 可求，然后结合方程 在 有唯一实数解，利用换元法，结
合二次函数的性质可求.
【小问1详解】
函数 的定义域为 ，
因为 ，都有 ，且 ，
故 是偶函数.
【小问2详解】
存在 ，使得 成立，
即 ，
则 在上能成立，
即 ，设 ，则 ， ，
则 的对称轴方程为直线 ，
在 单调递减，故 ，即 .
【小问3详解】
由题意得 ，
设 ，又函数 在 上单调递增，则 ，
若方程 在 有唯一实数解，即
在 上有唯一实数解，
即 有唯一实数解
在 上连续且单调递减，在 上连续且单调递增，
又 时， ； 时， ，
所以 的取值范围为 .
