文档内容
2025-2026 学年度(上)教学质量监测卷
高二数学(参考答案)
一、单项选择题：本题共 8小题,每小题 5分,共 40分．在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题
目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 C B A D A C B C
二、多项选择题：本题共 3小题,每小题 6分,共 18分．在每小题给出的四个选项
中,有多项符合题目要求．全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0
分．
题号 9 10 11
选项 ABC AB ACD
三、填空题：本题共 3小题,每小题 5分,共 15分．
12． 13． 14．
四、解答题：本题共 5小题,共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
学科网（北京）股份有限公司15．(13分)
解：(1)由 知： ,
∴数列 是以 为首项,以 为公差的等差数列.……………………2分
∴ .……………………4分
,
当 时,
.……………………6分
又当 时, 也满足上式.……………………7分
数列 的通项公式为 .……………………8分
(2)由(1)知： .……………………10分
故 .………………11分
所以 .………………13分
16．(15分)
解：(1)由题设可知 .……………………2分
解得 ,故双曲线 的标准方程为 .……………………5分
学科网（北京）股份有限公司(2)设 , ,由题可知
联立 .……………………7分
所以 .……………………9分
所以
.………………………………12分
令 ,化简得 ,解得 或 .……………………14分
所以 或 .……………………15分
17．(15分)
解：(1)由 ,
解得 .……………………2分
数学成绩在各组的频率为： , , ,
, , .……………………4分
故样本中数学成绩的平均值为：
,
学科网（北京）股份有限公司据此可以估计该校高二上学期期中数学考试成绩的平均分为
分.……………………5分
(2)由(1)知样本数据中数学考试成绩在 分以下所占比例为
,
在 分以下所占比例为 .……………………7分
因此,第 百分位数一定位于 内,由 .
据此可以估计该校高二上学期期中数学考试成绩第 百分位数约为
分.……………………9分
(3)由题意可知, 分数段的人数为 (人),
分数段的人数为 (人) .……………………10分
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 名学生,则需在 分数段内抽 人,
分别记为 , ,需在 分数段内抽 人,分别记为 , , .……………………
12分
设“抽取的这 名学生中至少有 名学生数学考试成绩在 内”为事件 ,
则样本空间 共包含 个样
本点
而事件 的包含 个样本
点.……………………14分
所以 .……………………15分
18．(17分)
学科网（北京）股份有限公司(1)证明：法一：∵ ,则
∴ .……………………2分
∵平面 平面 ,且交线为
∴ 平面 .……………………4分
∵ 平面 ∴平面 平面 .……………………6分
法二：取 中点 ,连接 ,
∵ ∴ .……………………1分
∵平面 平面 ,且交线为 ∴ 平面
∴ .……………………3分
∵ ,则 ∴
∵ 平面 , ∴ 平面 .……………………5分
∵ 平面 ∴平面 平面 .……………………6分
(2)解：由(1)知 , 平面 ,取 中点 ,连接 ,
则 ,从而 .
以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 .……………………7分
则 , , ,
所以 , ,
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ,
则 ,可取 .……………9分
设平面 的法向量为 ,
则 ,可取 .………………11分
故 .
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .……………………12分
(3)由(2)及 为等腰直角三角形,可知球心 在直线 上,
又由 为等腰直角三角形,可知球心 在过点 且垂直于平面 的直线上,
故球心 在 点.……………………15分(通过计算距离相等求解相应给分)
所以
.……………………17分
19．(17分)
学科网（北京）股份有限公司解：(1)由题可知 ,所以 .……………………2分
解得 ,故椭圆 的方程为 .……………………4分
(2)(ⅰ)设直线 的方程为 ,
由 ,消去 得 .
设 ,则有 .……………………6分
所以
当且仅当 ,即 时, .……………………8分
所以 的面积 .……………………9分
(ⅱ)设 ,则
因为直线 的斜率必存在,所以直线 ,即
.……………11分
学科网（北京）股份有限公司设 到直线 与 的距离均是 ,则 .……………………
12分
平方得 ,
又由于 ,故 .
整理得 ,
即点 在直线 上.……………………14分
同理：点 也在直线 上
故直线 的方程为 .……………………15分
将其按照参数 进行整理： .……………………16分
令 ,解得 ,从而定点坐标为 .……………………17分
学科网（北京）股份有限公司
