文档内容
衡阳县 2025 年下学期高二创新实验班期末质量检测试题
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共4大题，19小题.答卷前，考生务必
将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.将答案写在答题卡上，写在试题卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡上交.
第I卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数， 对应的点位于（ ）
.
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
.
3 已知向量 、 满足 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽
的关系，即 其中 是信道容量，单位bps； 为信道带宽，单位Hz； 代表接收信
号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道
带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低 90%以上，需将信道容量由 17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据： ，
）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 在 中，“ ”是“ 为锐角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 函数 ，记 ，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若
数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列.如果函数 ，数列 为
牛顿数列，设 且 ， ，数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
8. 若关于 的方程 有三个不相等的实数解 ， ， ，且 ，则
的取值范围为（ ）A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某单位有职工 人，其中男职工 人，现为了解职工健康情况，该单位采取分层随机抽样的方法抽
取了一个容量为 的样本，得出体重情况:男职工的平均体重为 ，女职工的平均体重为 .则下列
说法正确的是（ ）
A. 抽查的样本中女职工人数为
B. 该单位男职工的体重普遍比女职工重
C. 估计该单位职工平均体重为
D. 男、女职工被抽中的可能性均为
10. 如图，底面 为边长是 的正方形，半圆面 底面 .点 为半圆弧 (不含
点)一个动点.下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥 的每个侧面三角形都是直角三角形
B. 三棱锥 的体积的最大值为
C. 三棱锥 的外接球的表面积为定值
D. 直线 与平面 所成最大角的正弦值为
11. 造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 的一部分．已知 过坐标原点 ．且 上的点满足横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之积为 ．以下结论正确的有
（ ）
A.
B. 曲线 上存在点 ，满足
C. 若点 是曲线 第一象限上的点，则 的面积的最大值为
D. 当点 在上时，不等式 恒成立
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线 与圆 相交于 两点，则 的最小值
为___________.
13. 已知双曲线E： 的左焦点为F，过点F 的直线与两条渐近线的交点分别为
1 1
M，N两点（点F 位于点M与点N之间），且 ，又过点F 作FP⊥OM于P（点O为坐标原
1 1 1
点），且|ON|＝|OP|，则双曲线E的离心率e为 __．
14. 若关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为____．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
16. 如图，三棱台 中， ，D是AC的中点，E是棱BC上的动点．
（1）若 平面 ，确定 的位置.
（2）已知 平面ABC，且 ．设直线 与平面 所成的角为 ，试在（1）的条件下，
求 的最大值．
17. 椭圆 的左、右焦点分别为 ，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点
时， ；当P点在短轴端点时， ．过 作直线 的垂线 ，过 作直线
的垂线 ，直线 的交点为Q．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若四边形 为平行四边形，求平行四边形 的面积；
（3）若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标．18. 已知函数 ， ， ．
（1）若 在点 处的切线平行于直线 ： ，求 的值；
（2）求 的单调区间；
（3）当 时，求证：对任意 ，恒有 成立．
19. 已知无穷数列 满足以下条件：① ，当 时， ；②若存 在某
项 ，则必有 ，使得 （ 且 ）．
的
（1）若 ，写出所有满足条件 ；
（2）若 ，证明：数列 为等差数列；
（3）设 ，求正整数 的最小值．
