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第 6 讲 分式方程
第一部分：知识点梳理
知识点一、分式方程的概念
1. 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 如 等这样的方程叫做分式方程.
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据。
知识点二、分式方程的解法
1. 解分式方程的基本思想：
将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形
时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，
所以解分式方程时必须验根（检验）.
2. 解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，
再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；若最简
公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
3. 解分式方程的增根
（1）增根的定义：方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
（2）产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为
0，对于整式方程来说, 求出的根成立, 而对于原分式方程来说，分式无意义, 所以这个根是原分式方程的
增根.
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根。若这个整式方程
本身无解，当然原分式方程就一定无解。
知识点三、列分式方程解决问题
1.分式方程解应用题的一般步骤：
①审题（找等量关系）；
②设未知数；
③列分式方程；
④解分式方程；
⑤检验（检验是否为增根，是否符合实际问题）；
⑥答。
2.分式方程中常见等量关系：
（1）利润问题：总价=单价×数量，利润＝售价－进价；利润率＝利润/进价×100%；
（2）工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间；
（3）行程问题：路程＝速度×时间.
第二部分：考点突破
第 1 页 共 10 页考点1分式方程的相关概念
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于 的分式方程 无解，那么实数 的值是
（ ）
A． B． C． 或 D． 且
2．（2023·山东淄博·中考真题）已知 是方程 的解，那么实数 的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
3．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于 的分式方程 解为负数，则 的值为（ ）
A． B． C． 且 D． 且
4．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组 至少有两个正整数解，且关于x的分
式方程 的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
5．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．0或2 D． 或3
6．（2022·四川德阳·中考真题）关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
7．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程 无解，则k的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于 的分式方程 的解是负数，那么实数 的取
值范围是（ ）
A． 且 B． C． D． 且
9．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程 的解为正数，则 的取值范围（ ）
第 2 页 共 10 页A． B． 且
C． D． 且
10．（2023·山东聊城·中考真题）若关于x的分式方程 的解为非负数，则m的取值范围是
（ ）
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
11．（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程 无解，则 ．
12．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程 的解为正整数，则整数m的值为 ．
13．（2024·重庆·中考真题）若关于 的不等式组 至少有2个整数解，且关于 的分式方
程 的解为非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和为 ．
14．（2024·四川达州·中考真题）若关于 的方程 无解，则 的值为 ．
15．（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程 （m为常数）有增根，则增根是
．
考点2解分式方程
16．（2025·湖南·中考真题）将分式方程 去分母后得到的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程 时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第 3 页 共 10 页18．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·海南·中考真题）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
21．（2025·湖南长沙·中考真题）分式方程 的解为 ．
22．（2025·北京·中考真题）方程 的解为 ．
23．（2025·甘肃平凉·中考真题）方程 的解是 ．
24．（2025·四川宜宾·中考真题）分式方程 的解为 ．
25．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程 的解为 ．
26．（2025·江苏连云港·中考真题）解方程 ．
27．（2021·江苏连云港·中考真题）解方程： ．
28．（2025·浙江·中考真题）解分式方程： ．
第 4 页 共 10 页29．（2024·青海西宁·中考真题）解方程： ．
30．（2025·广东·中考真题）在解分式方程 时，小李的解法如下：
第一步： ，
第二步： ，
第三步： ，
第四步： ．
第五步：检验：当 时， ．
第六步： 原分式方程的解为 ．
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写
出你的解答过程．
考点3分式方程的实际应用
31．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人
种植棵树比原计划少了3棵．若设原计划人数为 人，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
32．（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A， 两种货车运输化工原料，A货车比 货车每小时多运输15吨，
A货车运输450吨所用时间与 货车运输300吨所用时间相等．若设 货车每小时运输化工原料 吨，则
可列方程为（ ）
A． B． C． D．
33．（2024·宁夏·中考真题）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做
4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做 个盒子，
根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
第 5 页 共 10 页34．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的
路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车
每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为
35．（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某
厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元
购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为
元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰
辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多
30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
36．（2025·云南·中考真题）某化工厂采用机器人 ，机器人 搬运化工原料，机器人 比机器人 每小
时少搬运20千克，机器人 搬运800千克所用时间与机器人 搬运1000千克所用时间相等．求机器人 ，
机器人 每小时分别搬运多少千克化工原料．
37．（2025·吉林长春·中考真题）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，
结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．
38．（2025·四川成都·中考）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥
物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B
种挂件的价格是每个A种挂件价格的 ，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多
7个．
(1)求每个A种挂件的价格；
(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求
该游客最多购买多少个A种挂件．
第 6 页 共 10 页39．（2025·山西·中考真题）我国自主研发的 型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精
准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工
更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该
型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．
40．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒
玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少
50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．
(1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100
个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方
案？
41．（2025·内蒙古·中考真题）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器
人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态
下，该机器人的每一个机械手平均 秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比
用600秒采摘苹果的个数多25个．
(1)求 的值；
(2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械
手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个?
第 7 页 共 10 页42．（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的
数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元．
(1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？
(2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷
的数量不少于A种型号帐篷数量的 ，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费
用是多少元？
43．（2025·江苏扬州·中考真题）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款
书签价格是乙款书签价格的 倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，
求这两款书签的单价．
44．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国
有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
材料 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车
一 多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．
A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆．
材料
优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用 元/辆；
二
租用B型客车，租车费用打八折．
租车公司最多提供8辆A型客车；
材料
三
学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆．
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
第 8 页 共 10 页45．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，
用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
(1)两种棋的单价分别是多少？
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．
问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
46．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提
供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有 两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高 ；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的 ．
【问题解决】
(1)问题一：求出 两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购
买方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价 元，按问
题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
47．（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、
航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是
用1800元购买航海模型数量的 ．
第 9 页 共 10 页(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，
且航空模型数量不少于航海模型数量的 ，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
48．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国
具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是 ，装裱后，上、下、左、
右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后 与 的比是 ，且 ， ， ，求
四周边衬的宽度．
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