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2020年江苏省泰州市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共有6小题，第小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，
恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
1 1
A．2 B． C．﹣2 D．-
2 2
2．（3分）把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（ ）
A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥
3．（3分）下列等式成立的是（ ）
1
A．3+4❑√2=7❑√2 B．❑√3×❑√2=❑√5 C．❑√3÷ = 2❑√3 D．❑√(-3) 2=3
❑√6
4．（3分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B
或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是
随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
5．（3分）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣1
6．（3分）如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为^AB上一点，CD⊥OA，
CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（ ）
第1页（共25页）A．10 B．9 C．8 D．6
二、填空π题（本大题共有10小π题，每小题3分，共3π0分，请把答案直接填π写在答题卡相
应位置上）
7．（3分）9的平方根等于 ．
8．（3分）因式分解：x2﹣4＝ ．
9．（3分）据新华社2020年5月17日消息，全国各地和军队约42600名医务人员支援湖
北抗击新冠肺炎疫情，将42600用科学记数法表示为 ．
10．（3分）方程x2+2x﹣3＝0的两根为x 、x ，则x •x 的值为 ．
1 2 1 2
11．（3分）今年6月6日是第25个全国爱眼日，某校从八年级随机抽取50名学生进行了
视力调查，并根据视力值绘制成统计图（如图），这50名学生视力的中位数所在范围
是 ．
12．（3分）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直
角重叠形成的角为65°，则图中角 的度数为 ．
α
第2页（共25页）13．（3分）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox
逆时针依次旋转30°、60°、90°、…、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标
系，点A、B的坐标分别表示为（5，0°）、（4，300°），则点C的坐标表示为 ．
14．（3分）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动
点，若以1cm为半径的 O与直线a相切，则OP的长为 ．
⊙
15．（3分）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角
坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为
．
3
16．（3分）如图，点P在反比例函数y= 的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标
x
k
轴的平行线，与反比例函数y= （k＜0）的图象相交于点A、B，则直线AB与x轴所夹
x
锐角的正切值为 ．
第3页（共25页）三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡规定区域内作答，解答时应写出必
要的文字说明、证明过程或演算步骤）
1
17．（12分）（1）计算：（﹣ ）0+（ ）﹣1-❑√3sin60°；
2
π
{ 3x-1≥x+1，
（2）解不等式组：
x+4＜4x-2．
18．（8分）2020年6月1日起，公安部在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某校小
交警社团在交警带领下，从5月29日起连续6天，在同一时段对某地区一路口的摩托车
和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，并将数据绘制成如下图表：
2020年6月2日骑乘人员头盔佩戴情况统计表
骑乘摩托车 骑乘电动自行车
戴头盔人数 18 72
不戴头盔人数 2 m
（1）根据以上信息，小明认为6月3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为
95%．你是否同意他的观点？请说明理由；
（2）相比较而言，你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度？为什么？
（3）求统计表中m的值．
19．（8分）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某
课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，
不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
第4页（共25页）摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 ．
（精确到0.01），由此估出红球有 个．
（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求
恰好摸到1个白球，1个红球的概率．
20．（10分）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选
择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走
路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．
21．（10分）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内．
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A
的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若a≈2❑√5，A点的坐标为（3，1），求P点的坐标．
22．（10分）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到
一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m的A处测得在C处的龙舟俯角为23°；他登高6m
到正上方的B处测得驶至D处的龙舟俯角为50°，问两次观测期间龙舟前进了多少？
（结果精确到 1m，参考数据：tan23°≈0.42，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，
tan67°≈2.36）
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与
B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．
第5页（共25页）24．（10分）如图，在 O中，点P为^AB的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC
分别与AD、PD相交⊙于点E、N，连接BD、MN．
（1）求证：N为BE的中点．
（2）若 O的半径为8，^AB的度数为90°，求线段MN的长．
⊙
25．（12分）如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，
过点E作ME的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G，点P、Q分别在线段EF、BC上
运动，且满足∠PMQ＝60°，连接PQ．
（1）求证：△MEP≌△MBQ．
（2）当点Q在线段GC上时，试判断PF+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，
如果变化，请说明理由．
（3）设∠QMB＝ ，点B关于QM的对称点为B'，若点B'落在△MPQ的内部，试写出
的范围，并说明理α 由．
α
26．（14分）如图，二次函数y ＝a（x﹣m）2+n，y ＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图
1 2
象分别为C 、C ，C 交y轴于点P，点A在C 上，且位于y轴右侧，直线PA与C 在y
1 2 1 1 2
轴左侧的交点为B．
第6页（共25页）（1）若P点的坐标为（0，2），C 的顶点坐标为（2，4），求a的值；
1
（2）设直线PA与y轴所夹的角为 ．
当 ＝45°，且A为C
1
的顶点时，α求am的值；
① α PA
若 ＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时， 的值不变；
PB
② α
（3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C 的顶点？请说明理由．
1
第7页（共25页）2020年江苏省泰州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共有6小题，第小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，
恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
1 1
A．2 B． C．﹣2 D．-
2 2
1
【解答】解：﹣2的倒数是- ．
2
故选：D．
2．（3分）把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（ ）
A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥
【解答】解：观察展开图可知，几何体是三棱柱．
故选：A．
3．（3分）下列等式成立的是（ ）
1
A．3+4❑√2=7❑√2 B．❑√3×❑√2=❑√5 C．❑√3÷ = 2❑√3 D．❑√(-3) 2=3
❑√6
【解答】解：A．3与4❑√2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B．❑√3×❑√2=❑√6，此选项计算错误；
1
C．❑√3÷ =❑√3×❑√6= 3❑√2，此选项计算错误；
❑√6
D．❑√(-3) 2=3，此选项计算正确；
故选：D．
4．（3分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B
或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是
随机事件的是（ ）
第8页（共25页）A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
【解答】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
5．（3分）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣1
【解答】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，
∴b＝3a+2，
则3a﹣b＝﹣2．
∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝﹣4+1＝﹣3
故选：C．
6．（3分）如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为^AB上一点，CD⊥OA，
CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【解答π】解：连接OC， π π π
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴CD∥OE，
第9页（共25页）∴∠DEO＝∠CDE＝36°，
由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，
∴∠COB＝∠DEO＝36°
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
36⋅π×102
∵S扇形OBC =
360
=10
π
∴图中阴影部分的面积＝10 ，
故选：A． π
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相
应位置上）
7．（3分）9的平方根等于 ± 3 ．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3．
故答案为：±3．
8．（3分）因式分解：x2﹣4＝ （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ） ．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
9．（3分）据新华社2020年5月17日消息，全国各地和军队约42600名医务人员支援湖
北抗击新冠肺炎疫情，将42600用科学记数法表示为 4.26×1 0 4 ．
【解答】解：将42600用科学记数法表示为4.26×104，
故答案为：4.26×104．
10．（3分）方程x2+2x﹣3＝0的两根为x 、x ，则x •x 的值为 ﹣ 3 ．
1 2 1 2
【解答】解：∵方程x2+2x﹣3＝0的两根为x 、x ，
1 2
c
∴x •x = =-3．
1 2 a
故答案为：﹣3．
第10页（共25页）11．（3分）今年6月6日是第25个全国爱眼日，某校从八年级随机抽取50名学生进行了
视力调查，并根据视力值绘制成统计图（如图），这50名学生视力的中位数所在范围
是 4.6 5 ﹣ 4.9 5 ．
【解答】解：∵一共调查了50名学生的视力情况，
∴这50个数据的中位数是第25、26个数据的平均数，
由频数分布直方图知第25、26个数据都落在4.65﹣4.95之间，
∴这50名学生视力的中位数所在范围是4.65﹣4.95，
故答案为：4.65﹣4.95．
12．（3分）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直
角重叠形成的角为65°，则图中角 的度数为 140 ° ．
α
【解答】解：如图，
∵∠ACB＝90°，∠DCB＝65°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣65°＝25°，
第11页（共25页）∵∠A＝60°，
∴∠DFB＝∠AFC＝180°﹣∠ACD﹣∠A＝180°﹣25°﹣60°＝95°，
∵∠D＝45°，
∴∠ ＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，
故答α案为：140°．
13．（3分）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox
逆时针依次旋转30°、60°、90°、…、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标
系，点A、B的坐标分别表示为（5，0°）、（4，300°），则点C的坐标表示为 （ 3 ，
240° ） ．
【解答】解：如图所示：点C的坐标表示为（3，240°）．
故答案为：（3，240°）．
14．（3分）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动
点，若以1cm为半径的 O与直线a相切，则OP的长为 3 cm 或 5 cm ．
⊙
【解答】解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，
∴ O与直线a相切时，切点为H，
∴⊙OH＝1cm，
当点O在点H的左侧， O与直线a相切时，如图1所示：
⊙
第12页（共25页）OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；
当点O在点H的右侧， O与直线a相切时，如图2所示：
⊙
OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；
∴ O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，
故⊙答案为：3cm或5cm．
15．（3分）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角
坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为
（ 2 ， 3 ） ．
【解答】解：如图，点I即为△ABC的内心．
第13页（共25页）所以△ABC内心I的坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
3
16．（3分）如图，点P在反比例函数y= 的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标
x
k
轴的平行线，与反比例函数y= （k＜0）的图象相交于点A、B，则直线AB与x轴所夹
x
锐角的正切值为 3 ．
3
【解答】解：点P在反比例函数y= 的图象上，且横坐标为1，则点P（1，3），
x
1
则点A、B的坐标分别为（1，k），（ k，3），
3
{
k=m+t
设直线AB的表达式为：y＝mx+t，将点A、B的坐标代入上式得 1 ，解得m
3=- km+t
3
＝﹣3，
故直线AB与x轴所夹锐角的正切值为3，
故答案为3．
三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡规定区域内作答，解答时应写出必
要的文字说明、证明过程或演算步骤）
1
17．（12分）（1）计算：（﹣ ）0+（ ）﹣1-❑√3sin60°；
2
π
{ 3x-1≥x+1，
（2）解不等式组：
x+4＜4x-2．
❑√3
【解答】解：（1）原式＝1+2-❑√3×
2
3
＝1+2-
2
3
= ；
2
第14页（共25页）（2）解不等式3x﹣1≥x+1，得：x≥1，
解不等式x+4＜4x﹣2，得：x＞2，
则不等式组的解集为x＞2．
18．（8分）2020年6月1日起，公安部在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某校小
交警社团在交警带领下，从5月29日起连续6天，在同一时段对某地区一路口的摩托车
和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，并将数据绘制成如下图表：
2020年6月2日骑乘人员头盔佩戴情况统计表
骑乘摩托车 骑乘电动自行车
戴头盔人数 18 72
不戴头盔人数 2 m
（1）根据以上信息，小明认为6月3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为
95%．你是否同意他的观点？请说明理由；
（2）相比较而言，你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度？为什么？
（3）求统计表中m的值．
【解答】解：（1）不同意，虽然可用某地区一路口的摩托车骑乘人员佩戴头盔情况来
估计该地区的摩托车骑乘人员佩戴头盔情况，但是，只用6月3日的来估计，具有片面
性，不能代表该地区的真实情况，可用某地区一路口一段时间内的平均值进行估计，就
比较客观、具有代表性．
（2）通过折线统计图中，摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔的百分比的变化情况，
可以得出：电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行宣传，毕竟这5天，其佩戴的百分比
增长速度较慢，且数值减低；
72
（3）由题意得， =45%，解得，m＝88，
72+m
答：统计表中的m的值为88人．
第15页（共25页）19．（8分）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某
课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，
不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 0.33 ．
（精确到0.01），由此估出红球有 2 个．
（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求
恰好摸到1个白球，1个红球的概率．
【解答】解：（1）观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在
0.33附近，由此估出红球有2个．
故答案为：0.33，2；
（2）画树状图为：
由图可知，共有9种等可能的结果数，其中恰好摸到1个白球、1个红球的结果数为4，
4
所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为 ．
9
20．（10分）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选
择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走
路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．
【解答】解：设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为（1+50%）
xkm/h，
25 30 6
- =
依题意，得： ，
x (1+50%)x 60
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
第16页（共25页）∴（1+50%）x＝75．
答：走路线B的平均速度为75km/h．
21．（10分）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内．
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A
的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若a≈2❑√5，A点的坐标为（3，1），求P点的坐标．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求；
（2）由（1）可得OP是角平分线，设点P（x，x），
过点P作PE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，AD⊥PE于点D，
∵PA＝a≈2❑√5，A点的坐标为（3，1），
∴PD＝x﹣1，AD＝x﹣3，
根据勾股定理，得
PA2＝PD2+AD2，
∴（2❑√5）2＝（x﹣1）2+（x﹣3）2，
解得x＝5，x＝﹣1（舍去）．
所以P点的坐标为（5，5）．
22．（10分）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到
一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m的A处测得在C处的龙舟俯角为23°；他登高6m
到正上方的B处测得驶至D处的龙舟俯角为50°，问两次观测期间龙舟前进了多少？
（结果精确到 1m，参考数据：tan23°≈0.42，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，
tan67°≈2.36）
第17页（共25页）【解答】解：如图，根据题意得，∠C＝23°，∠BDE＝50°，AE＝15m，BE＝21m，
AE 15
在Rt△ACE中，tanC＝tan23°= = =0.42，
CE CE
解得：CE≈35.7，
BE 21
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝tan50°= = =1.19，
DE DE
解得：DE≈17.6，
∴CD＝CE﹣DE＝35.7﹣17.6＝18.1≈18m，
答：两次观测期间龙舟前进了18m．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与
B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．
【解答】解：（1）∵PD∥AB，
CP CD
∴ = ，
CB CA
∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，
x CD
∴ = ，
4 3
第18页（共25页）3
∴CD= x，
4
3
∴AD＝AC﹣CD＝3- x，
4
3
即AD=- x+3；
4
1 1 3 3 3
（2）根据题意得，S= AD⋅CP= x(- x+3)=- (x-2) 2+ ，
2 2 4 8 2
∴当x≥2时，S随x的增大而减小，
∵0＜x＜4，
∴当S随x增大而减小时x的取值范围为2≤x＜4．
24．（10分）如图，在 O中，点P为^AB的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC
分别与AD、PD相交⊙于点E、N，连接BD、MN．
（1）求证：N为BE的中点．
（2）若 O的半径为8，^AB的度数为90°，求线段MN的长．
⊙
【解答】（1）证明：∵AD⊥PC，
∴∠EMC＝90°，
∵点P为^AB的中点，
∴^PA=^PB，
∴∠ADP＝∠BCP，
∵∠CEM＝∠DEN，
∴∠DNE＝∠EMC＝90°＝∠DNB，
∵^PA=^PB，
∴∠BDP＝∠ADP，
∴∠DEN＝∠DBN，
∴DE＝DB，
第19页（共25页）∴EN＝BN，
∴N为BE的中点；
（2）解：连接OA，OB，AB，AC，
∵^AB的度数为90°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝8，
∴AB＝8❑√2，
由（1）同理得：AM＝EM，
∵EN＝BN，
∴MN是△AEB的中位线，
1
∴MN= AB＝4❑√2．
2
25．（12分）如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，
过点E作ME的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G，点P、Q分别在线段EF、BC上
运动，且满足∠PMQ＝60°，连接PQ．
（1）求证：△MEP≌△MBQ．
（2）当点Q在线段GC上时，试判断PF+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，
如果变化，请说明理由．
（3）设∠QMB＝ ，点B关于QM的对称点为B'，若点B'落在△MPQ的内部，试写出
的范围，并说明理α 由．
α
第20页（共25页）【解答】证明：（1）∵正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，AM＝BM＝3，
∵△MBE是等边三角形，
∴MB＝ME＝BE，∠BME＝∠PMQ＝60°，
∴∠BMQ＝∠PME，
又∵∠ABC＝∠MEP＝90°，
∴△MBQ≌△MEP（ASA）；
（2）PF+GQ的值不变，
理由如下：如图1，连接MG，过点F作FH⊥BC于H，
∵ME＝MB，MG＝MG，
∴Rt△MBG≌Rt△MEG（HL），
∴BG＝GE，∠BMG＝∠EMG＝30°，∠BGM＝∠EGM，
∴MB=❑√3BG＝3，∠BGM＝∠EGM＝60°，
∴GE=❑√3，∠FGH＝60°，
∵FH⊥BC，∠C＝∠D＝90°，
∴四边形DCHF是矩形，
∴FH＝CD＝6，
FH ❑√3 6
∵sin∠FGH= = = ，
GF 2 FG
第21页（共25页）∴FG＝4❑√3，
∵△MBQ≌△MEP，
∴BQ＝PE，
∴PE＝BQ＝BG+GQ，
∵FG＝EG+PE+FP＝EG+BG+GQ+PF＝2❑√3+GQ+PF，
∴GQ+PF＝2❑√3；
（3）如图2，当点B'落在PQ上时，
∵△MBQ≌△MEP，
∴MQ＝MP，
∵∠QMP＝60°，
∴△MPQ是等边三角形，
当点B'落在PQ上时，点B关于QM的对称点为B'，
∴△MBQ≌△MB'Q，
∴∠MBQ＝∠MB'Q＝90°
∴∠QME＝30°
∴点B'与点E重合，点Q与点G重合，
∴∠QMB＝∠QMB'＝ ＝30°，
如图3，当点B'落在MαP上时，
第22页（共25页）同理可求：∠QMB＝∠QMB'＝ ＝60°，
∴当30°＜ ＜60°时，点B'落在α△MPQ的内部．
26．（14分）α如图，二次函数y
1
＝a（x﹣m）2+n，y
2
＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图
象分别为C 、C ，C 交y轴于点P，点A在C 上，且位于y轴右侧，直线PA与C 在y
1 2 1 1 2
轴左侧的交点为B．
（1）若P点的坐标为（0，2），C 的顶点坐标为（2，4），求a的值；
1
（2）设直线PA与y轴所夹的角为 ．
当 ＝45°，且A为C
1
的顶点时，α求am的值；
① α PA
若 ＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时， 的值不变；
PB
② α
（3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C 的顶点？请说明理由．
1
【解答】解：（1）由题意m＝2，n＝4，
∴y ＝a（x﹣2）2+4，
1
1
把（0，2）代入得到a=- ．
2
（2） 如图1中，过点A作AN⊥x轴于N，过点P作PM⊥AN于M．
①
∵y ＝a（x﹣m）2+n＝ax2﹣2amx+am2+n，
1
第23页（共25页）∴P（0，am2+n），
∵A（m，n），
∴PM＝m，AN＝n，
∵∠APM＝45°，
∴AM＝PM＝m，
∴m+am2+n＝n，
∵m＞0，
∴am＝﹣1．
如图2中，由题意AB⊥y中，
②
∵P（0，am2+n），
当y＝am2+n时，am2+n＝6ax2+n，
❑√6
解得x＝± m，
6
❑√6
∴B（- m，am2+n），
6
❑√6
∴PB= m，
6
∵AP＝2m，
PA 2m
= =
∴PB ❑√6 2❑√6．
m
6
（3）如图3中，过点A作AH⊥x轴于H，过点P作PK⊥AH于K，过点B作BE⊥KP
交KP的延长线于E．
第24页（共25页）设B（b，6ab2+n），
∵PA＝2PB，
∴A[﹣2b，a（﹣2b﹣m）2+n]，
∵BE∥AK，
BE PB 1
∴ = = ，
AK PA 2
∴AK＝2BE，
∴a（﹣2b﹣m）2+n﹣am2﹣n＝2（am2+n﹣6ab2﹣n），
整理得：m2﹣2bm﹣8b2＝0，
∴（m﹣4b）（m+2b）＝0，
∵m﹣4b＞0，
∴m+2b＝0，
∴m＝﹣2b，
∴A（m，n），
∴点A是抛物线C 的顶点．
1
第25页（共25页）
