文档内容
2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1. 已知集合A=x|-1< x<1 ，B=x|0£ x£2 ，则A U B=（ ）
-1,2 (-1,2] [0,1) [0,1]
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数z满足(1-i)z =2，则z =（ ）
A. 2+i B. 2-i C. 1-i D. 1+i
3.
已知 f(x)是定义在上[0,1]的函数，那么“函数 f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数 f(x)在[0,1]上的最大
值为 f(1)”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
3+ 3
A B. 4 C. 3+ 3 D. 2
.
2
x2 y2
5. 双曲线C: - =1过点 2, 3 ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
a2 b2
y2 x2 3y2 3x2
A. x2 - =1 B. - y2 =1 C. x2- =1 D. -y2 =1
3 3 3 3
a
6. a 和 b 是两个等差数列，其中 k 1£k £5 为常值，a =288，a =96，b =192，则b =（
n n b 1 5 1 3
k
第1页 | 共4页）
A. 64 B. 128 C. 256 D. 512
7. 函数 f(x)=cosx-cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2
9 9
C. 奇函数，最大值为 D. 偶函数，最大值为
8 8
8. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度．其中小雨（<10mm），中雨（
10mm-25mm），大雨（25mm-50mm），暴雨（50mm-100mm），小明用一个圆锥形容器接了24小时
的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
9. 已知圆C:x2 + y2 =4，直线l: y =kx+m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m=（
）
A. ±2 B. ± 2 C. ± 3 D. ± 5
10. 数列 a 是递增的整数数列，且a ³3，a +a ++a =100，则n的最大值为（ ）
n 1 1 2 n
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题5小题，每小题5分，共25分．
1
11.
(x3- )4展开式中常数项为__________．
x
12.
已知抛物线C: y2 =4x，焦点为F ，点M 为抛物线C上的点，且 FM =6，则M 的横坐标是_______；
第2页 | 共4页作MN ^ x轴于N ，则S =_______．
VFMN
r r r r r r r r
13. a=(2,1)，b=(2,-1)，c=(0,1)，则(a+b)c=_______；ab=_______．
14. 若点P(cosq,sinq)与点Q(cos(q+ ),sin(q+ ))关于y轴对称，写出一个符合题意的q=___．
6 6
15. 已知函数 f(x)= lgx -kx-2，给出下列四个结论：
①若k =0，则 f(x)有两个零点；
②k <0，使得 f(x)有一个零点；
③k <0，使得 f(x)有三个零点；
④k >0，使得 f(x)有三个零点．
以上正确结论得序号是_______．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
2
16. 已知在 V ABC 中，c=2bcosB，C = ．
3
（1）求B的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 ABC 存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．
V
3 3
①c= 2b；②周长为4+2 3；③面积为S = ；
DABC 4
17. 已知正方体ABCD-ABC D ，点E为AD 中点，直线BC 交平面CDE于点F ．
1 1 1 1 1 1 1 1
第3页 | 共4页（1）证明：点F 为BC 的中点；
1 1
5 AM
（2）若点M 为棱AB 上一点，且二面角M -CF-E的余弦值为 ，求 1 的值．
1 1 3 A 1 B 1
18.
为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，
则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2
人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
1
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为 ，定义随机变量X为总检测次数，求检
11
测次数X的分布列和数学期望E(X)；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
3-2x
19. 已知函数 f x= ．
x2 +a
（1）若a=0，求y = f x 在 1, f 1 处切线方程；
（2）若函数 f x 在x=-1处取得极值，求 f x 的单调区间，以及最大值和最小值．
x2 y2
20. 已知椭圆E: + =1(a>b>0)过点A(0,-2)，以四个顶点围成的四边形面积为4 5．
a2 b2
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-
3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
21. 定义R 数列 a ：对实数p，满足：①a + p³0，a + p=0；②nN,a
