文档内容
2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分
参考公式：
•如果事件A、B互斥，那么P(A B)=P(A)+P(B)．
U
•如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A) P(B)．
1
•球的体积公式V = pR3，其中R表示球的半径．
3
1
•圆锥的体积公式V = Sh，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．
3
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A=-1,0,1，B=1,3,5,C =0,2,4，则(A B) C =（ ）
I U
A．0 B．{0,1,3,5} C．{0,1,2,4} D．{0,2,3,4}
2．已知aÎR，则“a>6 ”是“a2 >36”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不允分也不必要条件
ln|x|
3．函数y= 的图像大致为（ ）
x2 +2
A． B．
第1页 | 共5页C． D．
4．从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分
数据分为8组：[66,70),[70,74), ,[94,98]，并整理得到如下的费率分布直方图，则评
L
分在区间82，86内的影视作品数量是（ ）
A．20 B．40 C．64 D．80
5．设a=log 0.3,b=log 0.4,c=0.40.3，则a，b，c的大小关系为（ ）
2 1
2
A．a0,b>0)的右焦点与抛物线y2 =2px(p>0)的焦点重合，
a2 b2
抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲钱的渐近线于C、D两点，若
CD = 2|AB|．则双曲线的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D．3
第2页 | 共5页ìcos(2px-2pa). x0 , b>0，则 + +b的最小值为____________．
a b2
14．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对
5 1
的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且
6 5
每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜
的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
15．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE ^ AB且交AB于点E．
uuur uuur uuur uuur uuur
DF//AB且交AC于点F,则|2BE+DF|的值为____________；(DE+DF)×DA的最小值
为____________．
三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成
演算步骤．
16．（本小题满分14分）
在 ABC ，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c，已知sinA:sinB:sinC =2:1: 2，
V
第3页 | 共5页b= 2 ．
（I）求a的值；
（II）求cosC的值；
æ pö
（III）求sinç2C-
÷
的值．
è 6ø
17．（本小题满分15分）
如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
1 1 1 1
（I）求证：DF //平面AEC ；
1 1 1
（II）求直线AC 与平面AEC 所成角的正正弦值．
1 1 1
（III）求二面角A-AC -E的正弦值．
1 1
18．（本小题满分15分）
x2 y2 2 5
已知椭圆 + =1 (a>b>0)的右焦点为F,上顶点为B,离心率为 ，且|BF|= 5
a2 b2 5
．
（I）求椭圆的方程；
（II）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线
交x轴于点P．若MP//BF，求直线l的方程．
19．（本小题满分15分）
已知a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．b 是公比大于0的等比数列，
n n
b =4,b -b =48．
1 3 2
（I）求a 和b 的通项公式；
n n
1
（II）记c =b + ,nÎN*.
n 2n b
n
第4页 | 共5页（i）证明 c2 -c 是等比数列；
n 2n
n a a
（ii）证明å k k+1 <2 2 nÎN*
c2 -c
k=1 k 2k
20．（本小恩满分16分）
已知a>0，函数 f(x)=ax-xex．
（I）求曲线y= f(x)在点(0, f(0))处的切线方程：
（II）证明 f(x)存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 f(x)£a+b对任意xÎR成立，求实数b的取值范围．
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