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矩阵的特征值和特征向量
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1 、 单选题
设A,B为正定矩阵,C是可逆矩阵,下列矩阵不是正定矩阵的是().
正确答案： D
解析：
2 、 单选题
设A,B为n阶可逆矩阵,则().
正确答案： D
解析：
因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选(D).3 、 单选题
正确答案： B
解析：
4 、 单选题
下列矩阵中能相似于对角矩阵的是：
正确答案： C
解析：5 、 单选题
正确答案： D
解析：
6 、 单选题
设A,B为N阶矩阵,且A,B的特征值相同,则().
A ： ,B相似于同一个对角矩阵B ： 存在正交阵Q,使得Q^TAQ=B
C ： r(A)=r(B)
D ： 以上都不对
正确答案： D
解析：
7 、 单选题
设α,β为四维非零列向量,且α⊥β,令A=αβ^T,则A的线性无关特征向量个数为().
A ： 1
B ： 2
C ： 3
D ： 4
正确答案： C
解析：
8 、 单选题
设n阶矩阵A与对角矩阵相似,则().
A ： 的n个特征值都是单值
B ： A是可逆矩阵
C ： A存在n个线性无关的特征向量
D ： A一定为n阶实对称矩阵
正确答案： C
解析：
矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只
是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要
条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C).
9 、 单选题正确答案： A
解析：
10 、 单选题
设A为n阶矩阵,下列结论正确的是().
正确答案： D
解析：11 、 单选题
正确答案： C
解析：
12 、 单选题
正确答案： D
解析：13 、 单选题正确答案： D
解析：
A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩
阵中只有选项(D)中的矩阵的特征值与A的特征值相同且可以对角化，所以选(D).
14 、 单选题
设A为n阶实对称矩阵,下列结论不正确的是().
A ： 矩阵A与单位矩阵E合同
B ： 矩阵A的特征值都是实数
C ： 存在可逆矩阵P,使P^-1AP为对角阵
D ： 存在正交阵Q,使Q^TAQ为对角阵
正确答案： A
解析：
根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩
阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选(A).
15 、 单选题
设三阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=0,λ3=1,则下列结论不正确的是().
A ： 矩阵A不可逆
B ： 矩阵A的迹为零
C ： 特征值-1,1对应的特征向量正交D ： 方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量
正确答案： C
解析：
由λ1=-1，λ2=0，λ3=1得|A|=0，则r(A)小于3，即A不可逆，(A)正确；
又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值
的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向
量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，
一般矩阵不一定有此性质，所以选(C).
16 、 单选题
设A是n阶矩阵,下列结论正确的是().
A ： ,=B都不可逆的充分必要条件是AB不可逆
B ： r(A)｝
C ： AX==与BX=0同解的充分必要条件是r(A)=r(B)
D ： A～B的充分必要条件是λE－A～λE－B
正确答案： D
解析：
17 、 单选题
正确答案： B
解析：
