四（上）54制青岛版数学知识重点_上册_四（上）数学重点知识点

一 泰山古树——计算器 一、认识计算器 1. 复杂的计算可以借助计算器。 2. 计算器是一种运算快、操作简便的计算工具。 3. 计算器的构造。 (1)计算器由显示屏和功能键两部分组成。 (2)常用键的功能。 ON 开机键:用于计算器的开启。 OFF 关机键:用于计算器的关闭。 AC 消除键:归 0,清除显示的计算。 0123456789 数字键:每按下一个数字键,显示屏的右端就出现 这个键上所标出的数字,同时把前面输入的数字依次向左移动一位。 +-×÷= 运算符号键和等号键:这些键可分别完成加、减、乘、 除运算并得出计算结果。 二、用计算器计算 1. 按 ON 键,打开计算器。 2. 输入要计算的算式,再输入=键,显示屏上出现的数就是计算 的结果。 3. 再按一下 AC 键,进行另一道题的计算。 用计算器进行加减乘除运算非常简便快捷,进行一步计算时,只 要按从左到右的顺序依次按准相应的键,便会显示出正确的结果。 ．．．．．． 三、用计算器进行混合运算 1. 使用计算器进行混合运算时,要考虑混合运算的运算顺序。 ．．．．．．．．．．． 2. 使用计算器进行混合运算时,先明确所用的计算器的类型,再 进行计算。 四、使用计算器探索规律 1. 理解并掌握规律是用计算器计算的前提条件。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2. 数的位数是有限的,可以用计算器计算。当数的位数较多时, 先找规律再计算。遇到特殊的算式,先认真观察、分析,发现规律后再 ．．．．．．． ．．．．．． 计算会更快捷。 ．．．．．． 3. 借助计算器来探索一些计算规律,通过计算规律可以不用计 算,直接得出结果。 例:找规律计算 66666×66667。 ．． 思路分析:这道题计算很复杂,我们可以把问题简单化,从简单类 ．．．．． 似题型算起,找出规律,再根据规律推出复杂计算的结果。通过计算发 现:6×7=42,66×67=4422,666×667=444222……由此得出结论:第一 个因数都是由数字 6 组成的,第二个因数比第一个因数 6 的个数少 1 个,并且个位上都是7,这样第一个因数中含有几个6,积就由几个4和 几个 2 组成。 解:66666×66667=4444422222。 ．． 计算器体积小,便于携带,计算迅速、准确。 易错题: 判断:关闭计算器时要按 AC 键。 (√)错因分析:本题错在对AC键的功能了解不够准确,AC键只能清除 显示屏上的数,使其变为0,不能关闭计算器,关闭计算器要按 OFF 键。 答案:✕ 易错提示: 用计算器计算时,误把AC键当作关机键。这是不对的,要熟记OFF ．．． 键和 AC 键的功能。 ．．．．．．．．． 易错题: 3000-128×6=(17232) 错因分析:此题错在用计算器计算时,是按从左到右的顺序依次 输入数据和运算符号了,应该先算乘法再算减法。 答案:2232 温馨提示: 用计算器进行四则混合运算时,每按一个键,都要认真核对显示 ．．．．．． 屏上显示的结果是否正确,避免出现错误。 ．．．．．．． 巧记口诀: 计算器的类型多, 常用的键要掌握; 擦亮眼睛看清楚, 准确输入是基础; 找规律时要仔细, 方便快捷数第一。 二 节能减排——用字母表示数 一、用字母表示数 1. 在数学中,我们经常用字母来表示数。 2. 在含有字母的式子里,数字和字母中间的乘号可以简写为“·”, ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 也可以省略不写。当省略乘号时,一般数字在前,字母在后。数字 1 与 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 字母相乘时,1 一般省略不写。 ．．．．．．．．．．．．．． 二、求含有字母的式子的值 1.先写出含有字母的式子。 2.把字母所取的值代入式子中,并还原乘号。 3.按照运算顺序计算。 4.计算结果不写单位名称,但在答语中要写单位名称。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、用字母表示数量关系 用含有字母的式子表示数量关系方便、易记。 1.通常用s表示路程,v表示速度,t表示时间,因此速度、时间和 ．．．．．． 路程三者之间的关系用字母表示为 ．．．．．．．．．．．．．．． s=v×t t=s÷v v=s÷t ．．．．． 2.如果用c表示工作总量,a表示工作效率,t表示工作时间,那么 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 工作总量、工作效率和工作时间之间的关系用字母表示为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． c=at a=c÷t t=c÷a ．．．． 3.如果用c表示总价,a表示单价,x表示数量,那么总价、单价和 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 数量之间的关系用字母表示为 ．．．．．．．．．．．．．c=ax a=c÷x x=c÷a ．．．． 四、用字母表示计算公式 1.正方形的周长和面积计算公式。 如果用C表示正方形的周长,S表示正方形的面积,a表示正方形 的边长。 正方形的周长=边长×4,用字母表示为C=a×4; ．．．．．．．．．．．． 正方形的面积=边长×边长,用字母表示为S=a×a。 ．．．．．．．．．．．． a×4 和 4×a通常可以写成 4·a或 4a;a×a可以写成a·a,也可 以写成a2,读作“a的平方”,表示 2 个a相乘。 ．．．．．．．．．．．．．．．．． 所以正方形的周长计算公式为C=4a; ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 正方形的面积计算公式为S=a2．。 ．．．．．．．．．．．．．．． 2.长方形的周长和面积计算公式。 如果用a表示长方形的长,b表示长方形的宽,C表示长方形的周 长,S表示长方形的面积。 长方形的周长=(长+宽)×2,用字母表示为C=(a+b)×2=2(a+b); ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 长方形的面积=长×宽,用字母表示为S=a×b=ab。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 速记口诀: 字母表示数,生活常用到; 省略乘号时,关键要牢记; ．．．．．．．．．．．． 数要写在前,字母写在后; ．．．．．．．．．．．． 字母变成数,结果定出现。 易错题: a×10=(a10) 错因分析:此题错在省略乘号后,没有把数字写在字母的前面。 答案:10a 温馨提示: 通常情况下,用字母表示速度、时间和路程以及长方形、正方形 的周长和面积的时候,哪个字母代表那个量是固定的。 易错题: 判断:a2=a×2 (√) 错因分析:本题错在对“两个相同字母相乘,用平方表示”理解不 够准确。a2表示 2 个a相乘,而a×2 表示 2 个a相加。 答案:✕温馨提示: ①一个数的平方等于这个数乘它本身。 ②利用字母公式进行计算时,先写出公式,然后把字母表示的数 值代入公式进行计算。将数据代入公式求值时,省略的乘号要还原。 速记口诀: 学习数学很重要, 数量关系常用到; 数量关系多又多, 文字叙述太麻烦; 若用字母来代替, 简单明了效果好; 小小字母作用大, 关键是要用准确。 三 快乐农场——运算律 一、加法运算律 1. 加法结合律。 三个数相加,先把前两个数相加,再加第三个数;或者先把后两个 数相加,再加第一个数,和不变。这叫作加法结合律。若用a,b,c代表 三个加数,则用字母表示加法结合律为(a+b)+c=a+(b+c)。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2. 加法交换律。 两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。这叫作加法交换律。 如果用a,b分别表示两个加数,那么加法交换律用字母可以表示为 ．．．．．．．．．．．．． a+b=b+a。 ．．．．．．．． 3. 加法运算律的应用。 (1)在一个加法算式中,当某些加数能凑成整十、整百、整千…… 数时,运用加法的交换律和结合律可以使计算简便。 (2)利用加法交换律可以对加法进行验算。 二、减法的性质 1. 一个数连续减去两个数,等于从这个数里减去这两个数的和。 这叫作减法的性质。用字母表示为a-b-c=a-(b+c)。 ．．．．． 2. 加减法各部分之间的关系。 (1)加法各部分之间的关系。 加数+加数=和 一个加数=和-另一个加数 ．．．．．．． ．．．．．．．．．．．． (2)减法各部分之间的关系。被减数-减数=差 被减数=差+减数 减数=被减数-差 ．．．．．．．． ．．．．．．．． ．．．．．．．． 3. 简算:在计算加减法时,可以根据题中数据的特点将数进行拆 ． 分或凑整,使计算简便。 ．．．． 易错题: 判断:(56+72)+28 与 56+(72+28)的计算结果相同,运算顺序也相 同。 (√) 错因分析:此题错在忽视了小括号的作用,导致对加法结合律的 认识不正确,应该是运算顺序不同。 答案:✕ 易错题: 判断:在a+b=b+a中,a,b只表示非零数。 (√) 错因分析:此题错在对加法交换律理解不正确,没有弄清加法交 换律的实质。a,b可以表示任意数。 答案:✕ 温馨提示: 加法交换律和结合律的区别是交换律改变的是加数的位置,而结 合律改变的是加法的运算顺序。 易错题: 435-(135+189) =435-135+189 =300+189 =489 错因分析:本题考查了减法的性质。错在对减法的性质理解不够 准确。在加号后面添、去括号时,括号里面的符号没变;在减号后面添、 去括号时,括号里面的符号要改变。 答案: 435-(135+189) =435-135-189 =300-189 =111 三、乘法结合律 三个数相乘,先把前两个数相乘再乘第三个数,或者先把后两个 数相乘再乘第一个数,积不变。这叫作乘法结合律。用字母表示为 (a·b)·c=a·(b·c)。四、乘法交换律 两个数相乘,交换因数的位置,积不变。这叫作乘法交换律。用字 母表示为a·b=b·a。 总结:在运用乘法运算律时,要注意计算中的几对特殊数:2 和 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5,4 和 25,8 和 125 等。如果它们在乘法算式中出现了,那么先把它们 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 相乘会使计算简便。 ．．．．．．．．． 五、除法的性质和乘、除法各部分之间的关系 1. 除法的性质。 一个数连续除以两个数(不为0),等于这个数除以这两个数的积。 用字母表示为a÷b÷c=a÷(b×c)(b,c均不为 0)。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2. 乘、除法各部分之间的关系。 积=因数×因数 一个因数=积÷另一个因数 ．．．．．．． ．．．．．．．．．．．． 商=被除数÷除数 除数=被除数÷商 被除数=除数×商 ．．．．．．．． ．．．．．．．． ．．．．．．．． 六、乘法分配律 1. 乘法分配律。 两个数的和乘一个数,可以先把它们分别乘这个数,再把所得的 积相加。这叫作乘法分配律。用字母表示为(a+b)·c=a·c+b·c。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 乘法分配律的逆运算: a·c+b·c=(a+b)·c 2. 乘法分配律拓展。 两个数的差乘一个数,可以先把它们分别乘这个数,再把所得的 积相减。用字母表示为(a-b)·c=a·c-b·c。 易错题: 125×7×8 =7×125×8 =7×1000 =7000 错因分析:此题错在只交换了 125 和 7 的位置,没有用小括号把 125×8 括起来。要改变连乘算式的运算顺序,就要把先算的用括号括 起来。 答案: 125×7×8 =7×(125×8) =7×1000 =7000易错题: 12×105 =12×(100+5) =12×100+5 =1205 错因分析:此题错在没有正确运用乘法分配律,只用100乘12了, 没有用 5 乘 12。 答案:12×105 =12×(100+5) =12×100+12×5 =1260 速记口诀: 乘加乘减莫着急, 考虑分配更适宜; 乘除之间要简算, 分解凑整最关键。 四 巧手小工匠——认识多边形 一、三角形 1. 三角形的特性:三角形具有稳定性。 ．．．．．．．．． 2. 认识三角形各部分的名称。 由三条线段围成的图形叫作三角形。 ．．．．．．．．．．．．．．．． 3. 认识三角形的底和高。 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线,顶点和垂足之间的 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 线段叫作三角形的高,这条对边叫作三角形的底。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4. 三角形高的画法。 过三角形的每个顶点都可以向对边作高,所以任意一个三角形都 有 3 条高(如下图)。 5. 三角形的分类。(1)三角形按角分类。 三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形; ．．．．． 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形; ．．．．． 有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。 ．．．．． (2)三角形按边分类。 边都不相等的三角形叫作不等边三角形; ．．．．．． 两条边相等的三角形叫作等腰三角形; ．．．．． 等腰三角形的两条腰相等,两个底角相等。 三条边相等的三角形叫作等边三角形,也叫作正三角形。 ．．．．． 三角形具有稳定性,它能固定物体,使物体不易变形。 温馨提示: 1. 一个三角形共有 3 条边,3 个角,3 个顶点,3 条高。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2. 三角形的底和高是相对的,并且是一组互相垂直的线段。 3. 画三角形的高时,必须由顶点向它的对边画垂线,所画的高要 用虚线表示,并且要标上垂直符号。 易错题: 判断:下图中所画的虚线是该三角形的高。 (√) 错因分析:此题错在没有正确理解三角形的高。三角形的高应是 从三角形的一个顶点到它的对边所画的垂线。 答案:✕ 易错题: 判断:等边三角形不是等腰三角形。 (√) 错因分析:此题错在不理解等腰三角形与等边三角形的关系。应 该说等边三角形是特殊的等腰三角形。 答案:✕ 速记口诀: 三角形有特性,三条边较稳定;三角形三条高,底高相对应; 三角 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．． 形按角、按边来分类;等腰三角形,两腰两底角都相等;等边三角形, ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三边三角都相等。 ．．．．．．．．等边三角形的特点:三条边都相等;三个角都相等且每个角都是 60°。 6. 三角形三条边之间的关系:三角形任意两边长度的和大于第 ．．．．．．．．．．．．．． 三边。 ．．． 7. 三角形的内角和:三角形的内角和是 180°。 ．．．．．．．．．．．．． 二、平行四边形 1. 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 2. 平行四边形容易变形。 从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段叫作平行四 边形的高,这条对边是平行四边形的底。 三、梯形 1. 梯形:只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 ．．．．．．．．．．．．．．．．． 从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。 梯形各部分的名称: 2. 等腰梯形:两腰相等的梯形叫作等腰梯形。等腰梯形的两底角 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 相等。 ．．． 3. 直角梯形:梯形的一条腰垂直于上下两底,这样的梯形叫作直 角梯形。 四边形之间的关系(如下图)。温馨提示: 平行四边形与长方形和正方形的关系(如下图)。 易错题: 判断:下图中所画的高是图中给定底边上的高。(√) 错因分析:此题错在对平行四边形的高认识不清楚,高和底没有 对应。应该是在给定的底边上画高。 答案:✕ 易错题: 判断:有一组对边平行的四边形是梯形。 (√) 错因分析:此题错在没有正确掌握梯形的特性。应该是只有一组 对边平行的四边形是梯形。 答案:✕ 速记口诀: 平行四边形,对边平行且相等;梯形有个性,只有一组对边平行; ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 画高并不难,夹在平行线间的垂直线段。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 五 动物世界——小数的意义和性质 一、小数的意义 1. 小数的意义。 (1)像 0.1、0.05、0.365……这样用来表示十分之几、百分之几、 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 千分之几……的数,叫作小数。 ．．．．．．．．．．．．．． (2)小数的计数单位。 把单位“1”平均分成 10 份、100 份、1000 份……表示这样的一 份的数叫作小数的计数单位。小数的计数单位是十分之一、百分之一、 千分之一……记作 0.1、0.01、0.001……每相邻两个计数单位之间 ．．．．．．．．．．． 的进率是 10。 ．．．．．．． 2. 小数的组成。 一个小数是由整数部分、小数点和小数部分三部分组成的。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3. 数位顺序表。二、小数的大小比较 比较小数的大小时,先比较它们的整数部分,整数部分大的小数 比较大;整数部分相同的就比较小数部分,先比较十分位上的数,十分 位上的数大的那个数就大;如果十分位上的数相同,就比较百分位上 的数……依此类推,直到比出大小为止。 三、小数的性质 小数的末尾添上“0”或去掉“0”,小数的大小不变。这叫作小 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 数的性质。 ．．．．． 1. 依据小数的性质可以进行小数的化简和改写。把整数改写成 小数时,在整数的右下角点上小数点,然后根据题目要求,添上相应个 数的“0”。小数的末尾加上“0”,小数的大小不变,但小数的意义改 变了。 2. 化简小数时,依据小数的性质去掉小数末尾的“0”,小数的大 小不会发生变化。 3. 改写小数的前提是不改变小数的大小,只要在小数的末尾添 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 上“0”或去掉“0”即可。 ．．．．．．．．．．．．． 四、小数点位置的移动引起小数大小变化的规律 1. 小数点向左移动引起小数大小变化的规律。 把一个小数缩小到它的 、 、 ……小数点分别向左移 1 1 1 动一位、两位、三位……反过来,把一个小数的小数点 10 100 1000 易错题: 判断:一个小数的百分位上的计数单位是 0.001。 (√) 错因分析:受整数部分数位的影响,误认为小数部分的百分位在 小数点后面第三位,从而导致错误。百分位在小数点后面第二位, 故 它的计数单位是 0.01。 答案:✕ 温馨提示: 整数部分的最低位是个位,没有最高位;小数部分的最高位是十 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 分位,没有最低位。因此没有最大的小数,也没有最小的小数。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 易错题: 判断:0.98 里面有 98 个 0.1。(√) 错因分析:本题错在对小数的意义理解不够准确,0.98 表示 98 个 ,也就是98个0.01,所以0.98里面有98个0.01,而不是98个0.1。 答案:✕ 1 温馨提示: 100小数的大小比较的方法与整数的大小比较的方法基本相同,都是 从最高位开始比起。不同之处是当整数位数不同时,整数位数多的那 个数就大,而小数的大小与小数的位数的多少无关。 分别向左移动一位、两位、三位……这个小数就缩小到它的 、 、 …… 1 1 1 10 100 2. 小数点向右移动引起小数大小变化的规律。 1000 把一个小数分别扩大到它的 10 倍、100 倍、1000 倍……小数点 分别向右移动一位、两位、三位……反过来,把一个小数的小数点分 别向右移动一位、两位、三位……这个小数就扩大到它的 10 倍、100 倍、1000 倍…… 五、名数的改写 1. 单名数的改写方法。 (1)把高级单位改写成低级单位,用高级单位的数乘两个单位之 间的进率;把低级单位改写成高级单位,用低级单位的数除以两个单 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 位之间的进率。 ．．．．．．． 低级单位的数 高级单位的数 (2)当进率是 10、100、1000……时,可直接利用小数点的移动来 完成。 低级单位的数 高级单位的数 2. 复名数的改写方法。 (1)把含有高级单位的复名数改写成高级单位的单名数,复名数 中高级单位的数不变,作为小数的整数部分;复名数中低级单位的数 除以两个单位之间的进率,所得结果作为小数部分。 (2)把高级单位的单名数改写成含有高级单位的复名数,小数的 整数部分直接作为高级单位的数;小数的小数部分乘进率,所得的结 果作为低级单位的数。 六、求小数的近似数 1. 用“四舍五入法”求小数的近似数:当保留整数时,应根据十 分位上的数的大小来判断是否进位;当保留一位小数时,应根据百分 位上的数的大小来判断是否进位……依此类推。 2. 求一个小数的精确度:当保留整数时,表示精确到个位;保留 一位小数时,表示精确到十分位;保留两位小数时,表示精确到百分 位…… 3. 把一个数改写成用“万”或“亿”作单位的数:在万位或亿位 的右下角点上小数点,去掉小数末尾的“0”,并在数的后面加上“万” 或“亿”字即可。易错题: 化简:6.0400=(6.4) 错因分析:本题错在对小数的化简方法理解不到位,根据小数的 性质,去掉小数末尾的“0”,小数的大小不变,但其他的“0”不能去 掉,否则会改变小数的大小。 答案:6.04 易错题: 填空:把 5.82 缩小到它的 是(582)。 错因分析:本题错在对小数1点位置的移动引起小数大小变化的规 律掌握得不够准确。当把 5.8210缩0 小到它的 时,就是把 5.82 的小数 点向左移动两位,而不是向右。 1 答案:0.0582 100 速记口诀: 低化高来很简单,除以进率很简单;高化低来并不难,乘进率时想 周全;单复转化也不难,整小两部分分开看。 易错题: 2.39 千克=(2)千克(39)克 错因分析:此题错在记错了克与千克之间的进率,由千克转化成 克,要乘进率 1000,应该是 0.39×1000=390。 答案:2 390 速记口诀: 四舍五入求近似,小数方法同整数;小数改写近似数,末尾有 0 不 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 能丢;小数改写应注意,万位亿位应找对;数点点在它们右,万字亿字 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 不能丢。 ．．．． 六 趣味拼搭——观察物体 一、辨认从不同方向观察拼摆的一组立体图形得到的平面图形 观察立体图形 。 从前面、后面看到的都是 。 从侧面看到的是 。 从上面看到的是 。从不同的方向观察用小正方体拼摆的一组立体图形,所看到的形 ．．．．． 状可能是相同的,也可能是不同的。所看到的小正方形的数量可能是 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 相同的,也可能是不同的。 ．．．．．．．．．．．． 站在任意位置,观察同一物体,最多能看到这个物体的 3 个面。所 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 看到的图形都是平面图形。 ．．．．．．．．．．．． 二、辨认同一方向看到的几组拼摆的立体图形的形状 观察下面的立体图形: 从前面看到的是 、 和 ,从侧面看到的都是 ,从上面看到的都是 。 从同一方向观察拼搭的几组不同的立体图形时,看到的平面图形 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 的形状有可能相同,也有可能不同。 ．．．．．．．．．．．．．．．． 根据确定方向看到的形状确定立体图形的摆放方式时,首先要根 据平面图形分析立体图形的构成,根据想象,确定立体图形的摆放方 式。 三、根据确定方位看到的形状想象物体的摆放方式 无论从哪个方向观察立体图形时,视线要与被观察立体图形的表 面垂直。 易错题: 从前面看到的是什么图形?在正确图形的下面画“√”。 ( √ )( ) 错因分析:本题错在对观察方向把握得不够准确,在观察这个立 体图形时,观察的方向错了,导致结果出错。 答案: (√) 温馨提示: 在不同的位置观察立体图形,判断看到的立体图形的形状时,在 哪一位置观察立体图形,就从那一面说出正方体的数量及摆的形状。 速记口诀: 观察物体时, 视线要垂直; 分清左右图, 明确上下形; 方向不相同, 形状可差异。 1. 有 4 个小正方体,而且从前面看到的是 ,有下面几种摆法 (答案不唯一)。 2. 根据从某个确定的方向看到的形状来想象物体摆放方式的步 骤: (1)研究看到的图形的形状。 (2)摆出物体。 四、计算立体图形中小正方体的个数 数一数下面的立体图形中小正方体的个数。 按照一定的顺序数,从上往下一层一层地数:第一层有 1 个,第二 层有 3 个,第三层有 6 个,一共有 1+3+6=10(个)。 在观察物体时,可以借助实物和正方体模型从不同的方向观察, 这样做可以真实地体会到从不同的方向观察实物看到的图形是不同 的。在观察的基础上,再发挥想象力,这样可以有效地培养空间想象能 力。 五、拓展:由平面图形判断立体图形的形状 一个由小正方体搭成的立体图形,从侧面看到的形状是,从上面看到的形状是 ,这个立体图形最少由几个 小正方体搭成? 思考:由从侧面看到的形状是 ,可以知道这个立体图形前后 有两排,上下有两层,如图 ;由从上面看到的形状是 可知, 第一行有 3 个小正方体,第二行有一个小正方体且在最左边的位置, 如图 ;结合两个条件考虑,两部分合在一起最少由 6 个小正方 体搭成。 易错题: 下面的立体图形是由(4)个小正方体组成的。 错因分析:本题错在没有准确地把握物体的摆放方式。在最下层 还有一个被上面的一个小正方体压住了,看不见,没有数上。 答案:5 温馨提示: 辨认从前面、上面、侧面观察到的一组立体图形的位置和关系。 能够根据从确定方向看到的物体的形状想象出立体图形。 七 奇异的克隆牛——小数加减法 一、小数加法 1. 小数加法的意义。 小数加法的意义和整数加法的意义相同,都是把两个数合并成一 个数的运算。 2. 小数加法的计算方法。 (1)小数点对齐,也就是相同数位对齐。 (2)从末位加起,哪一位上的数相加满十要向前一位进一。 (3)在得数里对齐横线上的小数点,点上小数点。(4)得数中小数末尾有“0”的,一般要把“0”去掉。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3. 计算小数加法时,可用加法交换律来进行验算。 二、小数减法 1. 小数减法的意义。 小数减法的意义与整数减法的意义相同,都是已知两个加数的和 与其中的一个加数,求另一个加数的运算。 2. 小数减法的计算方法。 位数相同的小数减法:相同数位对齐,(即小数点对齐),从末位减 起,在得数里对齐横线上的小数点,点上小数点。 3. 验算时可以运用减法各部分之间的关系进行验算。 被减数-差=减数 减数+差=被减数 4. 知识拓展:计算位数相同的小数减法时,要注意把小数点对齐, 如果得数里小数末尾出现“0”,一般把“0”去掉。 5. 位数不同的小数减法:计算小数减法时,小数点要对齐,从末 位减起,当被减数的小数位数比减数的小数位数少时,被减数的小数 部分的末尾可以用“0”补足,然后再减,哪一位上的数不够减时,要从 前一位上退一,在本位加 10 再减。对齐横线上的小数点,在得数上点 上小数点,得数里小数的末尾有“0”时,一般要去掉“0”。 解决“一个数比另一个数多几,已知另一个数,求这个数”的题目, 用加法计算。解决“求一个数比另一个数少几”的题目,用减法计算。 三、小数加减混合运算和简便算法 1. 小数加减混合运算的运算顺序。 (1)小数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺 序相同。在没有括号的算式里,如果只有加减法,那么就按照从左到右 的顺序依次进行计算;如果算式里有括号,要先算括号里面的,再算括 号外面的。 (2)整数加减混合运算的顺序对小数同样适用。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 减法的运算性质同样适用于小数减法。 ．．．．．．．．．．．．．．．．． 2. 运用整数运算律进行小数的简便计算。 整数的运算律同样适用于小数。在小数的四则混合运算中,恰当 地运用整数的运算律会使计算更加简便。 3. 运用整数的运算律解决实际问题。 在解决有关小数连加的实际问题时,可根据题中数据的特点,运 用加法交换律和加法结合律进行简算。 温馨提示: 用竖式计算小数加法时,一定要把相同数位对齐,从末位加起。 易错题: 判断: (√) 错因分析:此题错在十分位上的数相加时,忘记加上从百分位进 上来的“1”,结果应该等于 0.8。 答案:✕温馨提示: 位数不同的小数相减时,根据小数的性质,可以添“0”再减,计算 时也可以不写出“0”,把一个计数单位也没有的那一位竖式计算,看 作“0”来减。 巧记口诀: 小数加减法,计算并不难,数位对齐是关键,小数点儿不要漏; 被减数位不够时,末尾添 0 来帮忙;小数末尾若有 0,去掉 0 后更方便。 巧记口诀: 小数加减混合算, 运算顺序是关键; 从左到右依次算, 计算结果要准确; 遇到括号要先算, 运算规律要改变; 一些数据要牢记, 技能技巧掌握好。 八 今天我当家——小数乘法 一、小数乘整数 1.小数乘整数的意义。 小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,都是求几个相同加数 的和的简便运算。如 2.5×6,表示 6 个 2.5 的和是多少。 2.小数乘整数的计算方法。 (1)按照小数乘整数的意义计算:求几个相同加数的和是多少。如 3.1×3,就是把 3 个 3.1 相加,即 3.1+3.1+3.1=9.3。 (2)把小数乘法转化成整数乘法计算。 如3.1×3中的3.1可以看成是3.1元,即31角,然后按照整数的 乘法用竖式计算。 因为是在单位换算情况下完成的计算,所以要把积“93 角”换成 以“元”为单位的数,是 9.3 元,即 9.3 为最终结果。 (3)利用积的变化规律直接用竖式计算。 将小数转化为整数,按整数乘法算出积,根据因数扩大到原来的 倍数,将算得的积缩小到相应的原来的几分之一,点上小数点。 如即小数乘整数先按整数乘法计算,再看小数中有几位小数,就从 积的右边起数出几位,点上小数点。如计算 1.25×4,先算 125×4=500, 由于因数 1.25 中有两位小数,就从积的右边起数出两位,点上小数点, 即 1.25×4=5.0 0 =5。 若积的小数位数不够时,要在积的前面用 0 补足。如计算 0.0125 ×4,先算125×4=500,由于因数 0.0125 中有四位小数,此时积的小数 位数不足四位,要用 0 补足,即 0.0125×4=0.05。 3.整数乘小数的意义与计算方法。 (1)第二个因数是小数的乘法意义与整数乘法的意义不同。当第 二个因数是纯小数时,可以理解为求一个数的几分之几是多少。如 6 ×0.9,0.9 表示 9 个十分之一,即 ,故可理解为求 6 的 是多少。 9 9 (2)计算整数乘小数时,先按照整数乘法的计算法则算出积,再看 10 10 因数中共有几位小数,积就有几位小数。如 4×0.25=1.0 0 =1。 二、小数乘小数 1.小数乘小数的计算,同小数乘整数、整数乘小数一样,先按整数 乘法计算出结果,再看这两个因数中一共有几位小数,就从积的右边 起数出几位,点上小数点。 温馨提示: 小数乘整数可以按照小数乘整数的意义转化成加法来计算。此方 法不适用于相对复杂的计算,如 43.8×11。 易错警示: 积的末尾有“0”时,要先点小数点,再根据小数的性质去掉小数 ．． 末尾的“0”。整数末尾的“0”不能去掉。 ．．．．．．2.积的小数位数与因数的小数位数的关系:两个因数中一共有几 位小数,积就有几位小数。 3.当积的小数位数不够时,要在积的前面用“0”补足,再点小数 点。 4.比较小数乘积的大小。 a×b=c(a≠0),当b<1 时,c1 时,c>a;当b=1 时,c=a。即 当一个非0自然数乘比1小的数,积比这个数小;当一个非0自然数乘 比 1 大的数,积比这个数大。 三、积的近似值 1.用“四舍五入法”求积的近似值。 (1)保留整数,即精确到个位,就要看十分位。若十分位满 5,就要 向个位进 1,否则舍去。如 1.7×0.9=1.53≈2(保留整数)。 (2)保留一位小数,即精确到十分位,就要看百分位。若百分位满 5,就要向十分位进 1,否则舍去。如 5.02×1.7=8.534≈8.5(保留一位 小数)。 (3)保留两位小数,即精确到百分位,就要看千分位。若千分位满 5,就要向百分位进 1,否则舍去。如 0.11×0.53=0.0583≈0.06(保留 两位小数)。 2.小数乘法取近似值的方法。 (1)先按照小数乘法的计算方法进行计算,再根据需要,对乘积用 “四舍五入法”保留一定的位数。 (2)有时还要根据实际情况合理保留近似值,如人民币最小的单 位是“分”,在计算需要多少元钱的问题时,通常只算到“分”,即得 数保留两位小数即可。 四、小数四则混合运算 1.小数四则混合运算的运算顺序与整数相同。 在只有同级的运算中,要从左往右依次计算;在没有括号的算式 里,有第一级运算和第二级运算,要先算第二级运算,再算第一级运算; 在有括号的算式里,先算括号里面的,再算括号外面的。 2.整数乘法的运算律对于小数同样适用。 0.25×4.78×4 =0.25×4×4.78→(乘法交换律) =1×4.78 =4.78 0.65×201 =0.65×(200+1)=0.65×200+0.65×1→(乘法分配律) =130+0.65 =130.65 温馨提示: 小数乘小数,积的变化规律仍然适用:一个因数扩大到原来的m(m ≠0)倍,另一个因数扩大到原来的n(n≠0)倍,则积扩大到原来的m× n倍;一个因数缩小到原来的 (m≠0),另一个因数缩小到原来的 (n≠ 1 1 0),则积缩小到原来的 。 × 1 易错警示: 求积的近似值时常出现以下几种错误:一是没有根据实际情况取 积的近似值;二是取了近似值,但还是用的“=”,而不是用“≈”;三 是取近似值时,近似值末尾有“0”,此时小数末尾的“0”不能去掉。 易错警示: 在小数四则混合运算中,暂时没有计算到的部分,必须按原式抄 写下来,不可遗漏,也不能颠倒,否则会造成计算错误。 在小数四则混合运算中,有时可以运用运算律进行简便计算,做 题时要根据具体情况,灵活选择合理的算法。 牢记 25×4=100,125×8=1000,并依据积的变化规律(如 0.25× 4=1)做到在简便运算中熟练应用。 九 我锻炼 我健康——平均数 一、用平均数来比较两组数据的整体水平 1. 平均数的意义。 平均数是统计中的一个重要概念,这里所说的平均数是算术平均 数,也就是一组数据的总和除以这组数据的总份数,所得的商叫作这 组数据的平均数。 平均数是一个“虚拟”的数,是借助平均分的意义通过计算得到 的。平均数既可以描述一组数据本身的总体情况,又可以作为不同数 据比较的一个指标。 2. 求平均数的方法。 (1)移多补少法。 在日常生活中,我们经常遇到这样的情况:有几个杯子,里面的水 有多有少。要想使杯子里的水一样多,就得把水多的杯子里的水倒一 些到水少的杯子里。反复几次,直到几个杯子里的水一样多。这就是 我们经常遇到的“移多补少”——也就是求平均数的问题。(2)运用公式法求平均数。 既然和不变,最后几个数又要变得相同,很自然地就得出了平均 数的求法:平均数=所有数据总和÷数据总份数。 这个式子深刻说明:首先“和”即总数不变,所以要把每个数相加; 最后要取得平均,所以要除以总的份数让它们变相等。 3. 利用平均数解决实际问题。 总数量÷总份数=平均数 平均数×总份数=总数量 总数量÷平均数=总份数 二、单式分段统计表 数据跨度大时,可以将数据进行分段整理。 1.分段整理数据。 (1)对数据进行合理分段。 (2)整理数据。 2. 制作单式分段统计表。 (1)确定统计表的名称。 (2)确定统计表的行数和列数。 3. 分析统计表。 将数据分段整理后,能更清楚地反映统计的整体情况。 温馨提示: 平均数作为反映一组数据整体水平的统计量,是统计学中运用最 普遍的概念。在求平均数的问题时,一定要找好对应关系。 温馨提示: 用平均数比较两组或几组同类数据的总体情况的方法:先计算出 每组数据的平均数;再对比各组数据的平均数,进行正确地判断。 小贴士: 移多补少法在数据移动的过程中比较容易出错,相对来说较为麻 烦。对于数据较多,数据间相差较大的情况不适用。最好是用公式法 求平均数。 易错题: 下面是某班甲、乙两组的英语测试成绩,判断一下哪个组的成绩 好一些? 甲组 姓名 小磊 小熙 小丽 小华分数(分) 93 98 85 96 乙组 姓名 小菲 小倩 小梅 分数(分) 97 93 95 甲组:93+98+85+96=372(分);乙组:97+93+95=285(分) 372>285 答:甲组的成绩好一些。 单式分段统计表的作用:能更清楚地反映出一组数据的整体情 ．．．．．．．．．．． 况。 三、复式分段统计表 1. 要想更清楚地看出两组数据的总体情况,可以合并成一个统 计表。 2. 制作复式分段统计表。 (1)确定复式分段统计表的名称。 把两个单式分段统计表合并成一个复式分段统计表时,要把两个 单式分段统计表的名称进行合并。可以简单地概括成两组数据整理统 计表。 (2)确定统计表的行数和列数。 (3)制作表头。表头的左上角一格用斜线分成三部分,如 123 :1 说明横栏类别,3 说明竖栏类别,2 说明右下方的空格填 写的数据。 (4)填写数据,完成统计表。 3. 分析统计表。 4. 最后观察对比,得出结论。 复式分段统计表的作用:便于对几组数据进行全面的比较,并由 ．．．．．．．．．．． 此作出正确的判断和预测。 四、运用统计表解决问题 1. 根据统计表中的信息,通过分析统计表中的表头、数据等,从 统计表中得到所要解决问题的答案。 2. 读懂复式分段统计表,要善于运用不同的方法进行观察、比较, 还要注意从统计表中获取相关的信息,从而预测事物发展的相关趋势。错因分析:此题错在要想比较两组数据的整体水平,如果两个小 组的人数相同,可以用总数量进行比较。本题中两个组的人数不同, 不能用总数量来衡量两个组成绩的好坏。只能用平均数比较两组数据 的总体水平。 答案: 甲组:(93+98+85+96)÷4= 93(分);乙组:(97+93+95)÷3=95(分) 93<95 答:乙组的成绩好一些。 温馨提示: 制作分段统计表时,各数据段间的界限要清晰,才能对数据作出 全面正确的分析。 易错题: 下面制成的统计表对吗? 成绩(厘 119 及 160 及 合 120~ 140~ 米)人数队 119 160 计 139 159 别 以下 以上 第一小队 20 1 5 10 4 第二小队 20 2 9 6 3 (√) 错因分析:本题错在制成的复式分段统计表不完整,缺少统计表 名称。应该先确定统计表的名称。 答案:✕ 温馨提示: 三组及三组以上的统计项目也可以制成复式分段统计表,制作方 法和制作两个项目的复式分段统计表是相同的。 十 游三峡——小数除法 一、小数除以整数 (4)如果除到被 1.小数除法的意义。 除数的末尾仍有余 小数除法的意义与整数除法的意义相同, 数,就在余数的后面 都是已知两个因数的积与其中的一个因数, 添“0”继续除。 求另一个因数的运算。 如 22.4÷ 如 9.84÷3 的意义就是表示已知两 4=5.6,1.8÷ 个因数的积 9.84 与其中的一个因数 3,求另 12=0.15。 一个因数是多少的运算。 2.除数是整数的小数除法的计算方法。 (1)除数是整数的小数除法,按照整数除 法的法则计算。 (2)商的小数点要和被除数的小数点对 齐。 (3)被除数的整数部分不够商 1 时,要先 在商的个位上写 0,点上小数点后再除。巧记小数除法 的计算方法: 小数除法不难 算, 数点对齐是关 键。 整数部分不够 除, 商0再点小数点。 末位如果有余 3. 整数除法中不能除尽的计算方法。 数, 添0再把商来算。 整数除法中,除到个位不能除尽时,应在 要想验证商对 错, 除数乘商来验 商的个位数字后点上小数点,余数添“0”继 算。 续除。如 15÷4=3.75。 4. 商大于 1 还是小于 1 的判断方法。 被除数大于除数,商大于 1;被除数小于 除数,商小于 1;被除数等于除数,商等于 1。 二、除数是小数的除法 1.除数是小数的除法。 利用商不变的性质将除数转化成整数, 同时被除数扩大相同的倍数,然后按照除数 是整数的方法去除。如 2.除数是小数的竖式计算方法。 (1)计算思路:利用商不变的性质,使除 数变成整数。 (2)计算方法: ①移动除数的小数点,使它变成整数; ②除数的小数点向右移动几位,被除数 的小数点也向右移动几位(位数不够的,在被 除数的末尾用“0”补足); 商不变的性质: 被除数和除数同时 乘或除以相同的数 (0 除外),商不变。 易错点:用竖式计算小数加减法时,必须 ③按照除数 对齐小数点;但是在计算乘法时,要末尾对齐; 是整数的小数除法 计算除法时,商的小数点要和被除数的小数 进行计算。 点对齐。循环节:一个循 如计算 7.004÷0.68。 环小数的小数部分, 依次不断重复出现 的数字,如 5.6060… 的循环节是 除数是两位小数,要扩大到 “60”,2.466…的循 原来的 100 倍,除数的小数点向右移动两位, 环节是“6”。 被除数的小数点也向右移动两位。 写循环小数时, 然后按照除数是整数的小数除法进行计 可以只写一个循环 算。 节。如果循环节只有 一位时,在它的上方 点一个圆点;如果循 环节超过一位时,就 在这个循环节的首 位和末位数字上方 分别点一个圆点。 3.商与被除数的大小比较。(被除数≠0) 如 2.466… 当除数大于 1 时,商小于被除数。当除数 小于 1 时,商大于被除数。当除数等于 1 时, 商等于被除数。 · 三、商的近似值 =2.4 ;5.6060… 1.商的近似值。 实际中有时不需要用精确的数描述一个 量,如求钱数只需要计算到“分”或“元”, ·6· 这时就要根据需要用“四舍五入法”保留一 =5. ;2.1756756 定的位数,求出商的近似值。 2.求商的近似值的方法。 求商的近似值,一般先除到比需要保留 60· · 的小数位数多一位,再按照“四舍五入法”取 …=2.1 5 。 商的近似值。 例:一个玩具厂试制了35架玩具飞机,共 求循环小数的 花费1560元。平均每架玩具飞机花费多少元? 近似值的7 方6法:先把 由题列式:1560÷35=44.571…(元) 循环小数多补充几 计算时发现,如果除下去,永远除不完。 位,再运用“四舍五 而现实生活中最小的人民币单位是“分”,因 入法”按要求求出近 此商保留两位小数就够了。计算时只需除到 似值。 商的小数点后第三位即可。 保留两位小数:1560÷35≈44.57(元) 保留一位小数:1560÷35≈44.6(元) 保留整数:1560÷35≈45(元) 3.求商的近似值与求积的近似值的相同 点与不同点。 相同点:都要用到“四舍五入法”,并且 都要看保留那一位的下一位。 不同点:求积的近似值,要先算出积的精 确值,再求近似值;求商的近似值,不需求出 商的精确值,只要求出要保留的下一位就可 以了。 四、有限小数、无限小数与循环小数 有限小数:小数部分的位数是有限的小 数,如 2.125。 无限小数:小数部分的位数是无限的小 计算口诀:一看 数,如 3.1818… (除数是几位小数), 循环小数:像 二移(用商不变的性 58.3333…,2.86363…,2.1756756…,小数部 质移动小数点),三 分从某一位起,一个数字或者几个数字依次 算(按除数是整数的 不断地重复出现,这样的小数叫作循环小数。 方法计算)。求商的近似值时,如果小数末尾有“0”, 则末尾的“0”不能去掉。 在解决问题的时候,有时还会根据实际 情况选择“进一法”和“去尾法”求商的近 似值。 循环小数:①必须是无限小数;②小数部 分必须依次不断地重复出现一个数字或几个 数字。 循环小数一定是无限小数,无限小数不 一定是循环小数。