文档内容
2022年全国普通高等学校春季招生统一考试
上海 数学试卷
考生注意：
1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非
选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、班级、准考证号.
一、填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则
一律得零分.
1. 已知复数z=2+i (其中i 为虚数单位),则z=
【解析】根据定义， Z=2-i.
2. 已知区间A=(-1,2)B=(1,3), 则A∩B=
【解析】(1,2) .
3. 求不等式 的解集为
【解析】(0,1) .
4.已知角α满足： tanα=3, 则t
【解析】
5.设二元一次方程组 ,若方程组有无穷组解，则m 的值为
【解析】只需D=D₂=D,=0, 即 ,从而m=4.
6. 已知函数f(x)=x³,f-'(x) 为 f(x) 的反函数，则f'(27)=
【解析】 f(x)=x³=27=x=3, 所以f'(27)=3.
7.已知有二项 ,其展开式的则x⁴ 前的系数为
第1页 | 共9页【解析】展开通项为
,需3(12-r)-r=-4, 则r=10, 即 , 系
数为66.
8. 在三角形ABC 中 ，AB=2,AC=3, , 则AABC 外接圆的半径为
【解析】利用余弦定理，得 |BCF= |ABP+ |ACP-2 |AB |- |AC |-cosA 代入可得
,再利用正弦定理，得!
,
从而外接圆半径
9.设由数字1、2、3、4组成上各个位置上数字不能重复的四位数，则大于2134的四位数
的个数为
【解析】显然，首位只为2或3或4,当首位为3或4时，均符合要求，共2×F³=12 种当
首位为2时 综上，共12+4+1=17种.
10.已知直角三角形ABC, 且AC=BC=2,M 为边AC 的中点，若P 在边AB 上运动(点P
可与A,B 重合),则MP ·CP 的最小值为
【解析】建系可得各点坐标为C(0,0),B(2,0),A(2,0),M(2,0),P(x,2-x), 其中0≤x≤2, 则
MP=(x,1-x),CP=(x,2-x), 从而MP.CP=x²+(1-x)(2-x)=2x²-3x+3, 其最小值为
11.已知双曲线T: ,任取双曲线T右支上两个不相同的点P(x,y₁),P(x₂,y₂), 都
有xx,-yy,>0 成立，则a 的取值范围是
【解析】设B(x₂-y₂) 显然B 也在右支上，转化为OF ·OF>0 恒成立，即角小于90°利
用渐近线和a≥1
12.已知奇函数f(x) 在xe(0,1) 时的解析式为f(x)=lnx, 且f(x) 关于x=1 对称，设方程
f(x)=x+1的正数根从小到大依次记为x,x₂….,x, 则
【解析】如图所示，答案为2.
第2页 | 共9页二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13. 以下函数的定义域为R的 是 ( )
A.y=x⁻¹ B. C. D. y=x²
【答案】 C
14.已知实数a,b,c,d 满足： a>b>c>d, 则下列选项正确的是( )
A. a+d>b+c B. a+c>b+d
C. ad>bc D. ab>cd
【答案】 B
【解析】
对于A, 可举反例：3>2>1>- 1; B 显然是正确的； 对于C, 可举反例：2>1>-2>-3.
15.如图所示，设上海海关楼的钟楼为正方体，且钟楼的四个侧
面均有时钟悬挂.在0点到12点中时针与分针的转动中(包括0
点，但不包括12点),相邻两面的时针出现两两相互垂直的情况
的次数为( )
A.0 B.2
第3页 | 共9页C.4 D.12
第4页 | 共9页【答案】B
【解析】根据对称性，不妨考虑0,2,3点的情况，可结合垂直相关理论，或者建立空
间向量，均可判断出只有3点和9点是垂直的，共2次.
16.设{a,}为等比数列，设S, 和T,分别为{a.}的前n项和与前n 项积，则下列命题正确的是：
( )
A. 若S>Smu, 则{S,}为递增数列 B. 若T>T, 则{T}为递增数列
C. 若{S} 为递增数列，则a202≥a2021 D. 若{T}为递增数列，则a₂z≥a22
【答案】D
【解析】
对于A,a2o₂≥0, 不正确；对于B,a₁=-2,q=2,T22>0,T₂<0 不正确；
对于C,S-S=a>0, 不正确；对于D, , 则q≥1, 正 确
三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤.
17. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设有底面半径为1的圆柱OO,AA,为圆柱的母线.
(1)若AA=4, 设M为AA,的中点，求直线MO 与圆柱上底面所成角；
(2)若过OO,的轴截面为正方形，求圆柱OO,的侧面积和体积
【解析】
(1)
(2)AA=α 侧面积Sm=2π×1×2=4π, 体积V=π×1²×2=2π .
18. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设有无穷数列{a.},记{a }的前n项和为S, 其中a₂=1
(1)若{a,} 为等比数列，且S₂=3, 求
第5页 | 共9页(2)若{a,}为等差数列，且S₂≥n, 求公差d 的取值范围.
【解析】
(2)
当n=1=d≤1; 当
19. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
上海某地区想设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形绿地ABCD中 ( 其 中AB 为
30米， AD 为15米),过道EF 将其分为两个主要区域 (E,F 分别是AB,CD 边上动点),监
测区为以D 为圆心， AD 为半径的四分之一圆，古树区为四边形BEFC, 且 EF 与圆弧相切，
记切点为G.
(1)若∠ADE=20°, 求 EF 的长(结果精确到0.1);
(2)E 点在线段AB 上何处时，才能使古树区的面积最大，并求出最大值(结果精确到0.01),
如图所示： DG⊥EF,FH⊥AB
【解析】
设角∠DFE=θ, 则 ,
则
2=cosθ+msin0=√m²+1sin0+φ≤√m²+1→m≥√3, 则
20. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分6分.
第6页 | 共9页椭圆T: ,A,B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，且直线x=a 上有两个不相同
的点C,D(C 是第一象限的点)
( 1 ) 设F 是椭圆T 的右焦点，且 ,求椭圆T 的标准方程；
(2)若C,D 两点的纵坐标分别为2和1,判断：直线BC 与AD 的交点是否在椭圆r 上，并
说明理由；
(3)设直线AD与直线BC 交椭圆T 于P,Q 两点，且P,Q 关于原点对称，求 |CD| 的最小值.
【解析】
(1) IOB=1 ∴ |OF√3,c=√3,b=1,
(3)
∴
所以 , 设xo=acosθ;yo=sinθ,
代入得： (注意： ),
,
当且仅当 时取等号；
21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分8分.
在定义域为R 的函数f(x)上，定义下面两个变换：φ:f(x)→f(x)-f(x-1),
ø:f(x)→ |f(x+1)-f(x)|, 其中t>0
(1)若t=1,f(x)=2*, 对 f(x)进行φ变换后得到函数g(x), 求方程g(x)=2 的解；
( 2 ) 若f(x)=x², 对f(x)进行 变换后得到函数h(x),解不等式： h(x)≥f(x);
第7页 | 共9页(3)已知定义在R上的函数f(x), 在(-x,0) 上单调递增，对函数f(x) 先作φ变换再做w 变
换得到函数h(x), 对函数f(x) 先作 变换再做φ变换得到函数h₂(x), 若对任意t>0 恒
有h(x)=h₂(x), 证明：函数f(x) 在R 上单调递增.
【解析】(1) g(x)=2⁴-2- ¹=2=x=2,
(2)|(x+1)²-x² |=|2x+² |≥x²,
当 时2x+t²≥x²=x ∈[(1-√2)r,(1+√2)],
综上x∈[(1- √2)t,(1+ √2)U{-};
(3)h(x)=[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|,
h₂(x)=|f(x+1)-f(x)|- 1f(x)-f(x- 1)|,
|A-BHA|-|B| 当且仅当AB≥0 且 |A|B| 时成立，进一步，若B>0,
则必有A>B>0,
所以若f(x)-f(x- 1)>0, 必有f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x- 1)>0( △);
(反证法)假设存在x₁0,
此时必存在keN, 满足x₂-kt<0 , 由h(x₂-k)=h₂ (x₂-kr), 知
[f(x₂-(k- 1)r)-f(x₂-kr)]-[f(x₂-kr)-f(x₁-kr)]
=|f(x₂-(k- 1))-f(x₂-kr)}-|f(x₂-kr)-f(x₁-k)|,
而由于0>x₂-kt>x₁-kt,f(x) 在(-x,0) 上递增，
知f(x₂-kr)-f(x₁-kt)>0,
根据(△),知f(x₂- (k-1)r)-f(x₂-kr)>0,
再由h₁(x₂-(k- 1)t)=h₂(x₂-(k- 1)r),
知f(x₂-(k-2)r)-f(x₂-(k- 1))>0,
依次类推，最终得到f(x₂)-f(x₁)>0,
与假设矛盾，命题得证.
第8页 | 共9页题目：已知奇函数f(x)在xe(0,1)时的解析式为f(x)=lnx, 且f(x)关于x=1 对称.
设方程 f(x)=x+1 的所有正实数解从小到大排列为x,x₂,,x…, 则
证明：先证f(x)以4为周期，由条件
f(-x)=-f(x),f(a+x)=f(1-x), 则
f(x+4)=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(-x)=f(x).
易知4n-2
