文档内容
2024 届初三毕业班综合测试数学
本试卷共三大越 25小题，共 4页，满分 120分．考试时间 120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生
号填写在答题卡相应的位置上，再用 2B铅笔把考号的对应数字涂黑．
2.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改
液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题有 10个小题，每小题 3分，满分 30分，每小题给出的四个选项中．只有
一个是正确的）
1. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（ ）
1 1
A. −3 B. 3 C. − D.
3 3
【答案】A
【解析】
【分析】通过识图可得点A所表示的数为3，然后结合相反数的概念求解．
【详解】解：由图可得，点A所表示的数为3，
∴数轴上点A所表示的数的相反数为-3，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴上的点击相反数的概念，准确识图，理解相反数的定义是解题关键．
2. 据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表
示为（ ）
A. 1.087×104 B. 10.87×104 C. 10.87×103 D. 1.087×103
【答案】A
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数的一般形式为a×10n，其中1 ≤ a < 10，n等于原数的整数位数减
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学科网（北京）股份有限公司1，即可得到答案．
【详解】解：用科学记数法表示较大的数的一般形式为a×10n，其中1 ≤ a < 10，n等于原数的整数位
数减1，
∴10870=1.087×104，
故答案选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3. 下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了常见的几何体的三视图，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．
【详解】解：A、俯视图是三角形，主视图是长方形，左视图是长方形，中间有一条竖直实线，不符合题
意；
B、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是等腰三角形，不符合题意；
C、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是长方形，不符合题意；
D、主视图，俯视图，左视图都是圆，符合题意；
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. ( m−1 )2 =m2 −1 B. (2m)3 =6m3 C. m7 ÷m3 =m4 D. m2 +m5 =m7
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理．
【详解】解：A. ( m−1 )2 =m2 −2m+1，原运算错误，本选项不合题意；
B. ( 2m )3 =8m3，原运算错误，本选项不合题意；
C. m7 ÷m3 =m4，符合运算法则，本选项符合题意；
D. m2 +m5，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意；
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
【点睛】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键．
5. 一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得：
3+4+4+4+5
原中位数为4，原众数为4，原平均数为x= =4，原方差为
5
( 3−4 )2 +( 4−4 )2 +( 4−4 )2 +( 4−4 )2 +( 5−4 )2
S2 =
=
2；
5 5
4+4 3+4+4+5
去掉一个数据4后的中位数为 =4，众数为4，平均数为x= =4，方差为
2 4
( 3−4 )2 +( 4−4 )2 +( 4−4 )2 +( 5−4 )2
S2 =
=
1 ；
4 2
∴统计量发生变化的是方差；
故选D．
【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数、众数及方差是
解题的关键．
6. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车
辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）
75 50 75 50 75 50 75 50
A. = B. = C. = D. =
x−5 x x x−5 x+5 x x x+5
【答案】B
【解析】
【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．
【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输 ( x−5 ) 吨，
75 50
则 = ．
x x−5
故选B
【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司7. 下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】A、根据函数的图象可知y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
B、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而减增大，故本选项不符合题意；
C、根据函数的图象可知，当x＜0时，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增
大而增大，故本选项不符合题意；
D、根据函数的图象可知，当x＜0时，y随x的增大而减小；故本选项符合题意．
故选 D．
【点睛】本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键.
8. 如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 3m
的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30，则教学楼的高度是( )
A. 55.5m B. 54m C. 19.5m D. 18m
【答案】C
【解析】
AE
【分析】过D作DE⊥AB交AB于E，得到DE，在Rt△ADE中，tan30o = ，求出AE，从而求出AB
DE
【详解】过D作DE⊥AB交AB于E，
DE=BC =18 3
AE
在 Rt△ADE中，tan30o =
DE
3
∴AE=18 3× =18m
3
∴AB=18+1.5=19.5m
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学科网（北京）股份有限公司故选C
【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键
9. 如图，O是ABC的外接圆，且AB= AC，∠BAC =30°，在 AB 上取点D（不与点A，B重合），
连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（ ）
A. 60° B. 105° C. 75° D. 72°
【答案】C
【解析】
【分析】连接CD，根据题意，得∠BAD=∠BCD,∠ABD=∠ACD，结合AB= AC，∠BAC =30°，
180°−∠BAC
得到∠ACB = =75°，计算∠BAD+∠ABD即可，本题考查了圆周角定理，等腰三角形的
2
性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】连接CD，根据题意，得∠BAD=∠BCD,∠ABD=∠ACD，
∵AB= AC，∠BAC =30°，
180°−∠BAC
∴∠ACB = =75°，
2
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=75°,
故选C．
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学科网（北京）股份有限公司．
10. 如图，M 是ABC三条角平分线的交点，过M 作DE ⊥ AM ，分别交AB、AC于点D、E两点，
设BD=a，DE =b，CE =c，关于x的方程ax2 +( b+1 ) x+c=0的根的情况是（ ）
A. 一定有两个相等的实数根 B. 一定有两个不相等的实数根
C. 有两个实数根，但无法确定是否相等 D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】M 是ABC三条角平分线的交点，过M 作DE ⊥ AM ，则得出∠BDM =∠MEC =∠BMC，即
1
可得出DBM∽MBC，再求出BMC∽MEC，DBM∽EMC ，即可得出：ac= b2，即可求解．
4
【详解】AM 平分∠BAC，DE ⊥ AM ，
1 1
∴∠ADM =∠AEM ，MD=ME = DE = b，
2 2
1
∴∠BDM =∠MEC =90°+ ∠BAC，
2
1
∴∠BMC =90°+ ∠BAC，
2
∴∠BDM =∠MEC =∠BMC，
M 是ABC的内角平分线的交点，
∴DBM∽MBC，
同理可得出：BMC∽MEC，
∴DBM∽EMC ，
BD MD
∴ = ，
ME CE
∴BD⋅EC =MD⋅ME，
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学科网（北京）股份有限公司1
即：ac= b2，
4
∴∆=(b+1)2 −4ac=b2 +2b+1−b2 =2b+1>0，
∴关于x的方程ax2 +(b+1)x+c=0的根的情况是：一定有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了根的判别式，相似三角形的判定与性质，根据已知得出∠BDM =∠MEC =∠BMC
是解题关键．
二、填空题（本题有 6个小题，每小题 3分，共 18分）
11. 方程4+2x=0的解为______．
【答案】x=−2
【解析】
【分析】根据解方程的基本步骤解答即可，本题考查了解方程的基本步骤，熟练掌握步骤是解题的关键．
【详解】4+2x=0，
2x=−4，
解得x=−2，
故答案为：x=−2．
12. 因式分解：x2﹣3x=_____．
【答案】x（x﹣3）
【解析】
【详解】试题分析：提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）．
考点：因式分解.
13. 现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》人物卡片,正面朝下放置在桌面上,从中随机抽取
一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回,洗匀后再抽.通过多次试验后,发现抽到绘有孙悟空这个人
物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为____.
【答案】15
【解析】
【详解】因为通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3，
则这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数=0.3×50=15(张).
所以估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为15张．
故答案为15.
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学科网（北京）股份有限公司14. 已知P ( x ,1 ) ，Q ( x ,1 ) 两点都在抛物线 y = x2 −3x+1上，那么x +x =________．
1 2 1 2
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意可得点P和点Q关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答．
b −3 3
【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：x=− =− = ，
2a 2 2
( ) ( )
∵P x ,1 ，Q x ,1 ，
1 2
x +x 3
∴ 1 2 = ，
2 2
∴x +x =3．
1 2
故答案为：3．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P、Q两点关于对称轴对称求解．
20
15. 如图，平面直角坐标系中，A与x轴相切于点B，作直径BC，函数y= (x>0)的图象经过点
x
C，D为y轴上任意一点，则ACD的面积为_______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数 k 的几何意义可得
OB⋅BC =20，由切线的性质可得BC ⊥ x轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．
20
【详解】解：∵点C在函数y= (x>0)的图象上，
x
∴OB⋅BC =20，
∵A与x轴相切于点B，
∴BC ⊥ x轴，
∴BC∥y轴，
1 1 1
∴S = AC?OB BC?OB ?20 5，
ACD 2 4 4
故答案为：5．
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学科网（北京）股份有限公司16. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且
∠AFE =90°．
（1）当BF =5时，tan∠FEC =______；
（2）当∠AED最大时，DE的长为_______．
6 10 1
【答案】 ①. ②. ##3
5 3 3
【解析】
【分析】（1）证明∠AFB=90°−∠EFC =∠FEC，利用tan∠AFB=tan∠FEC计算即可；
（2）当BC与O相切时，∠AFD的值最大，此时， ∠AED也最大，利用三角形相似计算即可．
【详解】（1）∵矩形ABCD中，AB=6，AD=8，
∴∠ABF =90°,∠FCE =90°
∵∠AFE =90°，
∴∠AFB=90°−∠EFC =∠FEC，
AB 6
∴tan∠AFB=tan∠FEC = = ，
BF 5
6
故答案为： ．
5
（2）如图，取AE的中点O，连接OD,OF,DF ．
∵矩形ABCD中，AB=6，AD=8，
∴∠ADE =90°，
∵∠AFE =90°，
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠AED= AFD，
∴当BC与O相切时，∠AFD的值最大，此时， ∠AED也最大，
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学科网（北京）股份有限公司∴OF ⊥ BC，
∵矩形ABCD中，AB=6，AD=8，
∴∠ADE =∠ABF =90°，
∴OF ABEC，
EO CF
∴ = ，
OA BF
1
∴BF =CF = BC =4，
2
∵∠AFE =90°，
∵矩形ABCD中，AB=6，AD=8，
∴∠ABF =90°,∠FCE =90°
∵∠AFE =90°，
∴∠AFB=90°−∠EFC =∠FEC，
∴△AFB∽△FEC，
BF AB
∴ = ，
EC FC
4 6
∴ = ，
EC 4
8
∴EC = ，
3
8 10
∴DE =CD−EC =6− = ，
3 3
10
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了矩形的性质，正切函数，三角形相似的判定和性质，切线的性质，四点共圆，圆周角
定理，熟练掌握正切函数，切线性质，四点共圆是解题的关键．
三、解答题（本大题有 9小题，共 7分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
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学科网（北京）股份有限公司17. 解不等式：6x−3>2x−7．
【答案】x＞−1
【解析】
【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可．
本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．
【详解】6x−3＞2x−7，
移项，得6x−2x＞3−7
合并同类项，得4x＞−4，
系数化为1，得x＞−1．
18. 如图，四边形ABCD中，AB= DC，ABDC，E，F是对角线AC上两点，且AE =CF．求证：
△ABE≌△CDF ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
根据ABDC得∠BAE =∠DCF ，证明即可．
【详解】∵ABDC，
∴∠BAE =∠DCF ，
在ABE和CDF 中
AB= DC
∠BAE =∠DCF
AE =CF
∴△ABE≌△CDF ．
19. 为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书
篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术
类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查．根据收集到的数据，绘制了
两幅不完整的统计图（如图所示）．
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学科网（北京）股份有限公司根据图中信息，请回答下列问题：
（1）填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是______；
（2）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画
树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
2
【答案】（1）50 （2）
9
【解析】
【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答．
（2）利用画树状图计算即可．本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图
的意义，准确画树状图是解题的关键．
【小问1详解】
∵4÷?8%=50(人)，
故答案为：50．
【小问2详解】
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果，
2
∴相同的概率为： ．
9
m 3m+1
20. 已知关于x的函数y = x+ ( m≠−1 )图象经过点A(m−1,n)．
m+1 m+1
（1）用含m的代数式表示n；
k
（2）当m= 5时，若反比例函数y = 的图象也经过点A，求k的值．
x
【答案】（1）n=m+1
（2）4
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）把点的坐标代入解析式，化简计算即可；
( )
（2）当m= 5时，点A 5−1, 5+1 ，代入解析式，计算即可．
本题本题考查了反比例函数与点的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
【小问1详解】
m 3m+1 ( m+1 )2
解：根据题意，得n= ×( m−1 )+ = =m+1．
m+1 m+1 m+1
【小问2详解】
( )
解：当m= 5时，此时点A 5−1, 5+1 ，
( )( )
故k = 5−1 5+1 =5−1=4．
21. 如图，在ABC中，∠ABC =90°，∠A=60°，AB=3．
（1）尺规作图：在BC上找一点P，作P与AC，AB都相切，与AC的切点为Q；（保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BQ，求sin∠CBQ的值．
1
【答案】（1）见解析 （2）sin∠CBQ=
2
【解析】
【分析】（1）结合切线的判定与性质，作∠BAC的平分线，交BC于点P，以点P为圆心，PB的长为半
径画圆即可．
（2）由题意可得Rt△ABP≌Rt△AQP，则AB= AQ，可得ABQ为等边三角形，即∠ABQ =60°，则
∠CBQ=30°，进而可得答案．
【小问1详解】
解：如图，作∠BAC的平分线，交BC于点P，以点P为圆心，PB的长为半径画圆，交AC于点Q，
则P即为所求．
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学科网（北京）股份有限公司；
【小问2详解】
解：由（1）可得，BP=PQ，PQ⊥ AC，
∴∠AQP=90°，
AP= AP，
∴RtABP≌RtAQP ( HL ) ，
∴AB= AQ，
∠BAC =60°，
∴ABQ为等边三角形，
∴∠ABQ=60°，
∴∠CBQ=30°，
1
∴sin∠CBQ=sin30°= ．
2
【点睛】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点，
熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
22. 如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时
至5时的图象满足一次函数关系式y=kx+b，5时至8时的图象满足函数关系式y =−x2 +16x−60．请
根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：次日0时到8时的最低气温是______；
（2）求一次函数y=kx+b的解析式；
（3）某种植物在气温0℃以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否
第14页/共21页
学科网（北京）股份有限公司需要采取防霜措施，并说明理由．
【答案】（1）−5℃
8
（2）y =− x+3
5
（3）需要采取防霜措施，见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，当x=5时，函数最小值，代入解析式y =−x2 +16x−60计算即可．
（2）把 ( 0,3 ) , ( 5,−5 ) 分别代入y=kx+b中，计算即可；
（3）令y =kx+b=0，y =−x2 +16x−60=0，计算交点坐标的横坐标的差，对照标准判断即可．
本题考查了待定系数法，图象信息识读，图象与x轴交点坐标的计算，熟练掌握待定系数法，交点坐标的
计算是解题的关键．
【小问1详解】
根据题意，
当x=5时，函数有最小值，代入解析式y =−x2 +16x−60得，
y =−25+80−60=−5，
故答案为：−5℃．
【小问2详解】
把 ( 0,3 ) , ( 5,−5 ) 分别代入y=kx+b中，
5k+b=−5
得 ，
b=3
8
k =−
解得 5，
b=3
8
∴y =− x+3．
5
【小问3详解】
8
令y=− x+3=0，
5
15
解得x= ；
8
令y =−x2 +16x−60=0，
第15页/共21页
学科网（北京）股份有限公司解得x =6,x =10（舍去），
1 2
15
故6− =4.125 ( h )，
8
∵4.125＞4
∴遭到霜冻灾害，故需要采取防霜措施．
23. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN 为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的
主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过透镜后呈的像为CD．光路图如图所示：经过焦点的光线AE，通
过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点．
（1）若焦距OF =4，物距OB=6．小蜡烛的高度AB =1，求蜡烛的像CD的长度；
OB AB
（2）设x= ， y = ，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小
OF CD
的像．
【答案】（1）2米 （2）y=x−1，说明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，平行四边形的性质与判定；
（1）先证明ABF∽EOF ，利用相似三角形的性质得到OE =2，再证明四边形OECD是平行四边
形，可得CD=OE =2米；
AB OB−OF
（2）由（1）得ABF∽EOF ，CD=OE =2，则 = ，据此可得y=x−1，当
CD OF
OB
>2，即x>2时， y = x−1>1，据此可得结论．
OF
【小问1详解】
解：由题意得，AB∥OE，
∴ABF∽EOF ，
AB BF 1 6−4
∴ = ，即 = ，
OE OF OE 4
∴OE =2，
∵OE∥CD，CE∥OD，
第16页/共21页
学科网（北京）股份有限公司∴四边形OECD是平行四边形，
∴CD=OE =2米，
∴蜡烛的像CD的长度为2米；
【小问2详解】
解：由（1）得ABF∽EOF ，CD=OE =2
AB BF AB OB−OF
∴ = ，即 = ，
OE OF CD OF
∴y=x−1，
OB
当 >2，即x>2时， y = x−1>1，
OF
AB
∴ >1，即AB>CD，
CD
∴物高大于像高，即呈缩小的像．
24. 矩形ABCD中，AB=4，BC =8．
（1）如图1，矩形的对角线AC，BD相交于点O．
①求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上；
②在O的劣弧AD上取一点E，使得AE=AB，连接DE，求△AED的面积．
（2）如图2，点P是该矩形的边AD上一动点，若四边形ABCP与四边形GHCP关于直线PC对称，连
接GD，HD，求GDH 面积的最小值．
48
【答案】（1）①见解析；②
5
（2）8
【解析】
【分析】（1）①根据矩形的性质，得到∠ABC =90°，得到点A，B，C在以O为圆心，OA为半径的圆
上，根据矩形的性质，得OA=OB=OC =OD，判定点D在以O为圆心的同一个圆上，继而得到四点共
圆；
②过点E作在EG ⊥ AD于点D，根据AE=AB，得到∠ADE =∠ADB，结合AE = AB =4，BC =8，
AB EG 1
得到tan∠ADE =tan∠ADB= = = ，设EG = x，GD=2x，则AG = AD−GD=8−2x，
BC GD 2
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学科网（北京）股份有限公司利用勾股定理计算x，利用面积公式解答即可．
（2）根据折叠的性质，得到CB=CH =8,BA= HG =4,∠CHG =90°，根据CH ≤CD+DH ，得到
DH≥CH −CD=4，当点C，D，H三点共线时，DH =4最小，此时GDH 面积的为
1 1
GH×DH = ×4×4=8，最小．
2 2
【小问1详解】
①∵矩形ABCD，
∴∠ABC =90°，OA=OB=OC =OD，
∴点A，B，C在以O为圆心，OA为半径的圆上，
∵OA=OB=OC =OD，
∴点D在以O为圆心的同一个圆上，
故A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上；
②如图，过点E作在EG ⊥ AD于点D，
∵AE=AB，
∴∠ADE =∠ADB，
∵AE = AB =4，BC =8，
AB EG 1
∴tan∠ADE =tan∠ADB= = = ，
BC GD 2
设EG = x，GD=2x，则AG = AD−GD=8−2x，
∴( 8−2x )2 +x2 =16，
12
解得x= ,x=4（舍去），
5
1 12 48
∴△AED的面积 ×8× = ．
2 5 5
【小问2详解】
根据折叠的性质，得到CB=CH =8,BA= HG =4,∠CHG =90°，
∵CH ≤CD+DH ，
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学科网（北京）股份有限公司∴DH≥CH −CD=4，
∴当点C，D，H三点共线时，DH =4最小，
1 1
此时GDH 面积的为 GH×DH = ×4×4=8，最小．
2 2
【点睛】本题考查了矩形的性质，构造辅助圆，正切函数，勾股定理，三角形不等式，熟练掌握正切函
数，辅助圆，勾股定理，三角形不等式是解题的关键．
25. 已知抛物线C: y =a(x−h)2 −1，直线l: y =k ( x−h )−1，其中0＜a≤2，k >0．
1 2
（1）求证：直线l与抛物线C至少有一个交点；
1
（2）若抛物线C与x轴交于A ( x ,0 ) ，B ( x ,0 ) 两点，其中x < x ，且0< x + x <3，求当a =1
1 2 1 2 1 3 2
时，抛物线C存在两个横坐标为整数的顶点；
（3）若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2） ( 1,−1 ) , ( 2,−1 )
（3）k＞4
【解析】
y =a ( x−h )2 −1
【分析】（1）联立 ，解方程，判断方程的解得个数即可解答；
y =k ( x−h )−1
（2）根据a =1时，C: y =( x−h )2 −1，结合抛物线C与x轴交于A ( x ,0 ) ，B ( x ,0 ) 两点，结合
1 1 2
1 1 11
x < x ，则x =h−1,x =h+1，且0< x + x <3，求得 0，在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点，
即当x=h+2时，y＞y 恒成立．
2 1
故k ( h+2−h )−1＞a ( h+2−h )2 −1，
整理得：k＞2a．
又∵k＞2a，
∴0＜2a＜4，
∴k＞4．
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