文档内容
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
（新高考全国Ⅱ卷）数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合A=-1,1,2,4,B= x x-1 £1 ，则A I B=（ ）
A. {-1,2} B. {1,2} C. {1,4} D. {-1,4}
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合B后可求A
I
B.
【详解】B=x|0£ x£2 ，故A B=1,2 ，
I
故选：B.
2. (2+2i)(1-2i)=（ ）
A. -2+4i B. -2-4i C. 6+2i D. 6-2i
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的乘法可求2+2i1-2i
.
【详解】2+2i1-2i=2+4-4i+2i=6-2i，
故选：D.
3. 图1是中国古代建筑中的举架结构，AA¢,BB¢,CC¢,DD¢是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称
第1页 | 共24页为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD,CC ,BB,AA 是举，OD ,DC ,CB,BA 是相等
1 1 1 1 1 1 1 1
DD CC BB AA
的步，相邻桁的举步之比分别为 1 =0.5, 1 =k , 1 =k , 1 =k ．已知k ,k ,k 成公差为0.1的
OD DC 1 CB 2 BA 3 1 2 3
1 1 1 1
等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k =（ ）
3
A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9
【答案】D
【解析】
【分析】设OD = DC =CB = BA =1，则可得关于k 的方程，求出其解后可得正确的选项.
1 1 1 1 3
【详解】设OD = DC =CB = BA =1，则CC =k ,BB =k ,AA =k ，
1 1 1 1 1 1 1 2 1 3
DD +CC +BB + AA
依题意，有k -0.2=k ,k -0.1=k ，且 1 1 1 1 =0.725，
3 1 3 2 OD +DC +CB +BA
1 1 1 1
0.5+3k -0.3
所以 3 =0.725，故k =0.9，
4 3
故选：D
r r r r r r r r r
4. 已知向量a =(3,4),b=(1,0),c =a+tb，若=，则t =（ ）
A. -6 B. -5 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
9+3t+16 3+t
【详解】解：cr=3+t,4,cosar,cr=cosb,cr ,即 = ,解得t =5,
5cr cr
故选：C
第2页 | 共24页5. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方
式共有（ ）
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
【答案】B
【解析】
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列
方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方
式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!´2´2=24种不同的排
列方式，
故选：B
æ pö
6. 若sin(a+b)+cos(a+b)=2 2cos ç a+ ÷ sinb，则（ ）
è 4ø
A.
tana-b=1
B.
tana+b=1
C.
tana-b=-1
D.
tana+b=-1
【答案】C
【解析】
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】由已知得：sinacosb+cosasinb+cosacosb-sinasinb=2cosa-sinasinb,
即：sinacosb-cosasinb+cosacosb+sinasinb=0，
即：sina-b+cosa-b=0,
所以tana-b=-1,
故选：C
7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3和4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面
积为（ ）
A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π
第3页 | 共24页【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径r,r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半
1 2
径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
3 3 4 3
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径r,r ，所以2r = ,2r = ，即r =3,r =4，
1 2 1 sin60o 2 sin60o 1 2
设球心到上下底面的距离分别为d ,d ，球的半径为R，所以d = R2 -9，d = R2 -16，故
1 2 1 2
d -d =1或d +d =1，即 R2 -9- R2 -16 =1或 R2 -9+ R2 -16 =1，解得R2 =25符合题
1 2 1 2
意，所以球的表面积为S =4πR2 =100π．
故选：A．
22
8. 已知函数 f(x)的定义域为R，且 f(x+ y)+ f(x- y)= f(x)f(y), f(1)=1，则 å f(k)=（ ）
k=1
A. -3 B. -2 C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意赋值即可知函数 f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的 f 1, f 2, L , f 6
的值，即可解出．
【详解】因为 f x+ y+ f x- y= f x f y ，令x=1,y =0可得，2f 1= f 1 f 0 ，所以
f 0=2，令x=0可得， f y+ f -y=2f y，即 f y= f -y ，所以函数 f x 为偶函数，令
y =1得， f x+1+ f x-1= f x f 1= f x ，即有 f x+2+ f x= f x+1 ，从而可知
f x+2=-f x-1 ， f x-1=-f x-4 ，故 f x+2= f x-4 ，即 f x= f x+6 ，所以
函数 f x 的一个周期为6．
因为 f 2= f 1- f 0=1-2=-1， f 3= f 2- f 1=-1-1=-2，
f 4= f -2= f 2=-1， f 5= f -1= f 1=1， f 6= f 0=2，所以
一个周期内的 f 1+ f 2+ L + f 6=0．由于22除以6余4，
第4页 | 共24页22
所以 å f k= f 1+ f 2+ f 3+ f 4=1-1-2-1=-3．
k=1
故选：A．
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
æ2π ö
9. 已知函数 f(x)=sin(2x+j)(00)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一
象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM |，则（ ）
A. 直线AB的斜率为2 6 B. |OB|=|OF |
C. |AB|>4|OF | D. ÐOAM +ÐOBM <180°
【答案】ACD
【解析】
3p 6p
【分析】由 AF = AM 及抛物线方程求得A( , )，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线
4 2
p 6p
AB的方程，联立抛物线求得B( ,- )，即可求出 OB 判断B选项；由抛物线的定义求出
3 3
25p
AB = 即可判断C选项；由O uu A ur ×O uu B ur <0，M uuu A r ×M uuu B r <0求得ÐAOB，ÐAMB为钝角即可判断D选
12
项.
【详解】
第6页 | 共24页p
对于A，易得F( ,0)，由 AF = AM 可得点A在FM 的垂直平分线上，则A点横坐标为
2
p
+ p
2 3p ，
=
2 4
6p
代入抛物线可得y2 =2p× 3p = 3 p2，则A( 3p , 6p )，则直线AB的斜率为 2 =2 6，A正确；
4 2 4 2 3p p
-
4 2
1 p
对于B，由斜率为2 6可得直线AB的方程为x= y+ ，联立抛物线方程得
2 6 2
1
y2 - py- p2 =0，
6
2
6 6 6p æ 6pö
设B(x ,y )，则 p+ y = p，则y =- ，代入抛物线得ç- ÷ =2p×x ，解得
1 1 2 1 6 1 3 ç 3 ÷ 1
è ø
p p 6p
x = ，则B( ,- )，
1 3 3 3
æ pö 2 æ 6pö 2 7p p
则 OB = ç ÷ +ç ç - ÷ ÷ = ¹ OF = ，B错误；
è 3 ø è 3 ø 3 2
3p p 25p
对于C，由抛物线定义知： AB = + + p = >2p =4 OF ，C正确；
4 3 12
uuur uuur 3p 6p p 6p 3p p 6p æ 6pö 3p2
对于D，OA×OB=( , )×( ,- )= × + ×ç- ÷=- <0，则ÐAOB为钝
ç ÷
4 2 3 3 4 3 2 3 4
è ø
角，
uuur uuur p 6p 2p 6p p æ 2pö 6p æ 6pö 5p2
又MA×MB=(- , )×(- ,- )=- × ç - ÷ + ×ç ç - ÷ ÷ =- <0，则ÐAMB为
4 2 3 3 4 è 3 ø 2 è 3 ø 6
钝角，
又ÐAOB+ÐAMB+ÐOAM +ÐOBM =360o，则ÐOAM +ÐOBM <180o，D正确.
故选：ACD.
第7页 | 共24页11. 如图，四边形ABCD为正方形，ED^平面ABCD，FB∥ED,AB = ED =2FB，记三棱锥
E-ACD，F -ABC ，F -ACE 的体积分别为V,V ,V ，则（ ）
1 2 3
A. V =2V B. V =V
3 2 3 1
C. V =V +V D. 2V =3V
3 1 2 3 1
【答案】CD
【解析】
【分析】直接由体积公式计算V,V ，连接BD交AC于点M ，连接EM,FM ，由V =V +V 计
1 2 3 A-EFM C-EFM
算出V ，依次判断选项即可.
3
第8页 | 共24页【详解】
1 1 1 4
设AB=ED=2FB=2a，因为ED^平面ABCD，FB
P
ED，则V
1
=
3
×ED×S
VACD
=
3
×2a×
2
×2a2 =
3
a3，
1 1 1 2
V = ×FB×S = ×a× ×2a2 = a3，连接BD交AC于点M ，连接EM,FM ，易得BD^ AC，
2 3 VABC 3 2 3
又ED^平面ABCD，ACÌ平面ABCD，则ED^ AC，又ED
I
BD= D，ED,BDÌ平面BDEF ，
则AC ^平面BDEF ，
1
又BM =DM = BD= 2a，过F 作FG ^ DE 于G，易得四边形BDGF为矩形，则
2
FG=BD=2 2a,EG=a，
则EM = 2a2 + 2a 2 = 6a,FM = a2+ 2a 2 = 3a，EF = a2+ 2 2a 2 =3a，
1 3 2
EM2 +FM2 = EF2，则EM ^ FM ，S = EM×FM = a2，AC =2 2a，
VEFM 2 2
1
则V =V +V = AC×S =2a3，则2V =3V ，V =3V ，V =V +V ，故A、B错误；C、D
3 A-EFM C-EFM 3 VEFM 3 1 3 2 3 1 2
正确.
故选：CD.
12. 若x，y满足x2 + y2 -xy =1，则（ ）
A. x+ y£1 B. x+ y³-2
C. x2 + y2 £2 D. x2 + y2 ³1
【答案】BC
【解析】
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
æa+bö 2 a2 +b2
【详解】因为ab£
ç ÷
£ （a,bÎ R），由x2 + y2 -xy =1可变形为，
è 2 ø 2
2
æ x+ yö
x+ y2 -1=3xy£3 ，解得-2£ x+ y £ 2，当且仅当x= y =-1时，x+ y =-2，当且仅当
ç ÷
è 2 ø
第9页 | 共24页x= y =1时，x+ y =2，所以A错误，B正确；
x2 + y2
由x2 + y2 -xy =1可变形为 x2 + y2 -1= xy£ ，解得x2 + y2 £2，当且仅当x= y =±1时取等
2
号，所以C正确；
2
æ yö 3 y 3
因为x2 + y2 -xy =1变形可得 ç x- ÷ + y2 =1，设x- =cosq, y =sinq，所以
è 2ø 4 2 2
1 2
x=cosq+ sinq,y = sinq，因此
3 3
5 2 1 1 1
x2 + y2 =cos2q+ sin2q+ sinqcosq=1+ sin2q- cos2q+
3 3 3 3 3
4 2 æ πö é2 ù 3 3
= + sin ç 2q- ÷ Î ê ,2 ú ，所以当x= ,y =- 时满足等式，但是x2 + y2 ³1不成立，所以D
3 3 è 6ø ë3 û 3 3
错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13. 已知随机变量X服从正态分布N
2,s2
，且P(2< X £2.5)=0.36，则P(X >2.5)=
____________．
7
【答案】0.14## ．
50
【解析】
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为X N 2,s2 ，所以PX <2= PX >2=0.5，因此
:
PX >2.5= PX >2-P2< X £2.5=0.5-0.36=0.14．
故答案为：0.14．
14. 曲线y =ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
1 1
【答案】 ①. y = x ②. y =- x
e e
【解析】
第10页 | 共24页【分析】分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为 x ,lnx ，求出函数的导函数，即可求出切线
0 0
的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x ，即可求出切线方程，当x<0时同理可
0
得；
【详解】解： 因为y =ln x ，
1 1
当x>0时y =lnx，设切点为 x ,lnx ，由y¢= ，所以y¢| = ，所以切线方程为
0 0 x x=x 0 x
0
1
y-lnx = x-x ，
0 x 0
0
1 1
又切线过坐标原点，所以-lnx = -x ，解得x =e，所以切线方程为y-1= x-e，即
0 x 0 0 e
0
1
y = x；
e
1 1
当x<0时y =ln-x，设切点为 x ,ln-x ，由y¢= ，所以y¢| = ，所以切线方程为
1 1 x x=x 1 x
1
1
y-ln-x = x-x
，
1 x 1
1
1 1
又切线过坐标原点，所以-ln-x = -x ，解得x =-e，所以切线方程为y-1= x+e，即
1 x 1 1 -e
1
1
y =- x；
e
1 1
故答案为：y = x；y =- x
e e
15. 设点A(-2,3),B(0,a)，若直线AB关于y =a对称的直线与圆(x+3)2 +(y+2)2 =1有公共点，则a
的取值范围是________．
é1 3ù
【答案】 ,
ê ú
ë3 2û
【解析】
【分析】首先求出点A关于y =a对称点A¢的坐标，即可得到直线l的方程，根据圆心到直线的距离小于
等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：A-2,3 关于y =a对称的点的坐标为A¢-2,2a-3 ，B0,a 在直线y =a上，
第11页 | 共24页a-3
所以A¢B所在直线即为直线l，所以直线l为y = x+a，即 a-3x+2y-2a =0；
-2
圆C:x+32 +y+22 =1，圆心C-3,-2
，半径r =1，
-3a-3-4-2a
d = £1
依题意圆心到直线l的距离 ，
a-32 +22
1 3 é1 3ù
即5-5a2 £a-32 +22，解得 £a£ ，即aÎ , ；
ê ú
3 2 ë3 2û
é1 3ù
故答案为： ,
ê ú
ë3 2û
x2 y2
16. 已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且
6 3
|MA|=|NB|,|MN |=2 3，则l的方程为___________．
【答案】x+ 2y-2 2 =0
【解析】
1
【分析】令AB 的中点为E，设Ax ,y ，Bx ,y ，利用点差法得到k ×k =- ，设直线
1 1 2 2 OE AB 2
AB:y=kx+m，k <0，m>0，求出M 、N 的坐标，再根据 MN 求出k、m，即可得解；
【详解】解：令AB的中点为E，因为 MA = NB ，所以 ME = NE ，
x2 y2 x 2 y 2
设Ax ,y ，Bx ,y ，则 1 + 1 =1， 2 + 2 =1，
1 1 2 2
6 3 6 3
x2 x 2 y2 y 2 x -x x +x y + y y - y
所以 1 - 2 + 1 - 2 =0，即 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =0
6 6 3 3 6 3
y + y y - y 1 1
所以 1 2 1 2 =- ，即k ×k =- ，设直线AB:y=kx+m，k <0，m>0，
x -x x +x 2 OE AB 2
1 2 1 2
m æ m ö æ m mö
令x=0得y =m，令y=0得x=- ，即M ç - ,0 ÷，N0,m ，所以E ç - , ÷，
k è k ø è 2k 2 ø
m
2 1 2 2
即k´ =- ，解得k =- 或k = （舍去），
m 2 2 2
-
2k
2
又 MN =2 3，即 MN = m2 + 2m =2 3，解得m = 2或m=-2（舍去），
第12页 | 共24页2
所以直线AB: y =- x+2，即x+ 2y-2 2 =0；
2
故答案为：x+ 2y-2 2 =0
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知 a 为等差数列， b 是公比为2的等比数列，且a -b =a -b =b -a ．
n n 2 2 3 3 4 4
（1）证明：a =b ；
1 1
（2）求集合 k b =a +a ,1£m£500 中元素个数．
k m 1
【答案】（1）证明见解析；
（2）9．
【解析】
【分析】（1）设数列
a
的公差为d，根据题意列出方程组即可证出；
n
（2）根据题意化简可得m=2k-2，即可解出．
【小问1详解】
ì a +d -2b =a +2d -4b d
设数列 a 的公差为d，所以，í 1 1 1 1 ，即可解得，b =a = ，所以原命题得
n î a 1 +d -2b 1 =8b 1 -a 1 +3d 1 1 2
证．
【小问2详解】
第13页 | 共24页d
由（1）知，b =a = ，所以b =a +a Ûb ´2k-1 =a +m-1d +a ，即2k-1 =2m，亦即
1 1 2 k m 1 1 1 1
m=2k-2Î1,500 ，解得2£k £10，所以满足等式的解k =2,3,4,
L
,10，故集合
k|b =a +a ,1£m£500 中的元素个数为10-2+1=9．
k m 1
18. 记 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次
V
3 1
为S ,S ,S ，已知S -S +S = ,sinB = ．
1 2 3 1 2 3 2 3
（1）求 ABC的面积；
V
2
（2）若sinAsinC = ，求b．
3
2
【答案】（1）
8
1
（2）
2
【解析】
3
【分析】（1）先表示出S ,S ,S ，再由S -S +S = 求得a2 +c2 -b2 =2，结合余弦定理及平方关系
1 2 3 1 2 3 2
求得ac，再由面积公式求解即可；
b2 ac
（2）由正弦定理得 = ，即可求解.
sin2B sinAsinC
【小问1详解】
1 3 3 3 3 3 3 3 3
由题意得S = ×a2× = a2,S = b2,S = c2，则S -S +S = a2- b2+ c2 = ，
1 2 2 4 2 4 3 4 1 2 3 4 4 4 2
a2 +c2 -b2
即a2 +c2 -b2 =2，由余弦定理得cosB= ，整理得accosB=1，则cosB>0，又
2ac
1
sinB= ，
3
æ1ö 2 2 2 1 3 2 1 2
则cosB= 1-ç ÷ = ，ac= = ，则S = acsinB= ；
è3ø 3 cosB 4 VABC 2 8
【小问2详解】
3 2
b a c b2 a c ac 4 9 b 3
由正弦定理得： = = ，则 = × = = = ，则 = ，
sinB sinA sinC sin2B sinA sinC sinAsinC 2 4 sinB 2
3
第14页 | 共24页3 1
b= sinB= .
2 2
19. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分
布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的
16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中
患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】（1）47.9岁；
（2）0.89；
（3）0.0014．
【解析】
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式P(A)=1-P(A)即可解
出；
第15页 | 共24页（3）根据条件概率公式即可求出．
【小问1详解】
平均年龄x =(5´0.001+15´0.002+25´0.012+35´0.017+45´0.023
+55´0.020+65´0.017+75´0.006+85´0.002)´10=47.9（岁）．
【小问2详解】
设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以
P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)´10=1-0.11=0.89．
【小问3详解】
设B=“任选一人年龄位于区间[40,50)”，C =“从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
PB=16%=0.16,PC=0.1%=0.001,P(B|C)=0.023´10=0.23,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，此人患这种疾病的概率为
P(BC) P(C)P(B|C) 0.001´0.23
P(C|B)= = = =0.0014375»0.0014．
P(B) P(B) 0.16
20. 如图，PO是三棱锥P-ABC 的高，PA= PB，AB ^ AC，E是PB的中点．
（1）证明：OE//平面PAC ；
（2）若ÐABO =ÐCBO =30°，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
第16页 | 共24页11
（2）
13
【解析】
【分析】（1）连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，根据三角形全等得到OA=OB，再根据直
角三角形的性质得到AO= DO，即可得到O为BD的中点从而得到OE//PD，即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的
基本关系计算可得.
【小问1详解】
证明：连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，
因为PO是三棱锥P-ABC 的高，所以PO^平面ABC，AO,BOÌ平面ABC，
所以PO^ AO、PO^ BO，
又PA= PB，所以△POA@△POB，即OA=OB，所以ÐOAB=ÐOBA，
又AB ^ AC，即ÐBAC =90°，所以ÐOAB+ÐOAD=90°，ÐOBA+ÐODA=90°，
所以ÐODA=ÐOAD
所以AO= DO，即AO= DO=OB，所以O为BD的中点，又E为PB的中点，所以OE//PD，
又OE Ë平面PAC ，PDÌ平面PAC ，
所以OE//平面PAC
【小问2详解】
解：过点A作Az//OP，如图建立平面直角坐标系，
因为PO=3，AP=5，所以OA= AP2 -PO2 =4，
又ÐOBA=ÐOBC =30°，所以BD=2OA=8，则AD=4，AB=4 3，
所以AC =12，所以O 2 3,2,0 ，B 4 3,0,0 ，P 2 3,2,3 ，C0,12,0，
第17页 | 共24页æ 3ö
所以E ç 3 3,1, ÷，
è 2ø
uuur æ 3ö uuur uuur
则AE = ç 3 3,1, ÷，AB= 4 3,0,0 ，AC =0,12,0，
è 2ø
ì uuuv 3
r
ïnv×AE =3 3x+ y+ z =0
设平面AEB的法向量为n=x,y,z，则í 2 ，令z =2，则y =-3，x=0，
ï înv× u A u B uv =4 3x=0
r
所以n=0,-3,2；
ì uuuv 3
ur ïmv×AE =3 3a+b+ c=0
设平面AEC的法向量为m=a,b,c，则í 2 ，
uuuv
ï îmv×AC =12b=0
ur
令a= 3，则c=-6，b=0，所以m= 3,0,-6 ；
r ur
r ur n×m -12 4 3
cos n,m = = =-
所以 r ur .
n m 13´ 39 13
r ur 4 3
设二面角C-AE-B的大小为q，则 cosq= cos n,m = ，
13
11 11
所以sinq= 1-cos2q= ，即二面角C-AE-B的正弦值为 .
13 13
x2 y2
21. 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =± 3x．
a2 b2
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点Px ,y ,Qx ,y 在C上，且
1 1 2 2
第18页 | 共24页x > x >0,y >0．过P且斜率为- 3的直线与过Q且斜率为 3的直线交于点M.从下面①②③中选取
1 2 1
两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
y2
【答案】（1）x2 - =1
3
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a,b的关系，进而利用a,b,c的平方关系求
得a,b的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x,y),由③|AM|=|BM|等价分
0 0
8k2
析得到x +ky = ；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得
0 0 k2-3
3x
到直线PQ的斜率m= 0 ，由②PQ//AB等价转化为ky =3x ，由①M 在直线AB上等价于
y 0 0
0
ky =k2x -2，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
0 0
【小问1详解】
b
右焦点为F(2,0)，∴c=2,∵渐近线方程为y =± 3x，∴ = 3，∴b= 3a，∴
a
c2 =a2 +b2 =4a2 =4，∴a =1，∴b= 3．
y2
∴C的方程为：x2 - =1；
3
【小问2详解】
由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则M 为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x轴
上，即为焦点F ,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而x = x ，已知不符；
1 2
总之，直线AB的斜率存在且不为零.
设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y =kx-2 ,
则条件①M 在AB上，等价于y =kx -2Ûky =k2x -2；
0 0 0 0
第19页 | 共24页两渐近线的方程合并为3x2 - y2 =0,
联立消去y并化简整理得： k2-3 x2-4k2x+4k2 =0
设Ax ,y ,Bx ,y ,线段中点为N x ,y ,则x = x 3 +x 4 = 2k2 ,y =kx -2= 6k ,
3 3 3 4 N N N 2 k2-3 N N k2-3
设Mx ,y ,
0 0
则条件③ AM = BM 等价于x -x 2+y -y 2 =x -x 2+y -y 2,
0 3 0 3 0 4 0 4
移项并利用平方差公式整理得：
x -x é2x -x +x ù+y -y é2y -y +y ù=0，
3 4 ë 0 3 4 û 3 4 ë 0 3 4 û
y -y
é
ë
2x
0
-x
3
+x
4
ù
û
+
x
3
-x
4 é
ë
2y
0
-y
3
+y
4
ù
û
=0,即x
0
-x
N
+ky
0
-y
N
=0,
3 4
8k2
即x +ky = ；
0 0 k2-3
由题意知直线PM 的斜率为- 3, 直线QM 的斜率为 3,
∴由y -y =- 3x -x ,y -y = 3x -x ,
1 0 1 0 2 0 2 0
∴y -y =- 3x +x -2x ,
1 2 1 2 0
y -y 3x +x -2x
所以直线PQ的斜率m= 1 2 =- 1 2 0 ,
x -x x -x
1 2 1 2
直线PM :y=- 3x-x +y ,即y= y + 3x - 3x,
0 0 0 0
代入双曲线的方程3x2 - y2 -3=0,即 3x+y 3x-y =3中，
得：
y + 3x
é2
3x-
y + 3x
ù=3,
0 0 ë 0 0 û
1 æ 3 ö
解得P的横坐标：x = ç +y + 3x ÷,
1 2 3 ç è y + 3x 0 0÷ ø
0 0
1 æ 3 ö
同理：x =- ç +y - 3x ÷，
2 2 3 ç è y - 3x 0 0÷ ø
0 0
1 æ 3y ö 3x
∴x -x = ç 0 +y ÷,x +x -2x =- 0 -x ,
1 2 3è y2-3x2 0 ø 1 2 0 y2-3x2 0
0 0 0 0
3x
∴m= 0 ,
y
0
∴条件②PQ//AB等价于m=k Ûky =3x ，
0 0
第20页 | 共24页综上所述：
条件①M 在AB上，等价于ky =k2x -2；
0 0
条件②PQ//AB等价于ky =3x ；
0 0
8k2
条件③ AM = BM 等价于x +ky = ；
0 0 k2-3
选①②推③:
2k2 8k2
由①②解得：x = ,\x +ky =4x = ,∴③成立；
0 k2-3 0 0 0 k2-3
选①③推②：
2k2 6k2
由①③解得：x = ，ky = ，
0 k2-3 0 k2-3
∴ky =3x ，∴②成立；
0 0
选②③推①：
2k2 6k2 6
由②③解得：x = ，ky = ，∴x -2= ，
0 k2-3 0 k2-3 0 k2-3
∴ky =k2x -2，∴①成立.
0 0
22. 已知函数 f(x)= xeax -ex．
（1）当a =1时，讨论 f(x)的单调性；
（2）当x>0时， f(x)<-1，求a的取值范围；
1 1 1
（3）设nÎN*，证明： + + L + >ln(n+1)．
12 +1 22 +2 n2 +n
【答案】（1） f x 的减区间为 -¥,0 ，增区间为 0,+¥ .
1
（2）a£
2
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）求出 f ¢x ，讨论其符号后可得 f x 的单调性.
1 1
（2）设hx=xeax-ex+1，求出h¢¢x ，先讨论a> 时题设中的不等式不成立，再就01恒成立，从而可得lnn+1-lnn< 对任意的nÎN*恒
t n2+n
成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【小问1详解】
当a =1时， f x=x-1ex，则 f¢x= xex，
当x<0时， f¢x<0，当x>0时， f¢x>0，
故 f x 的减区间为 -¥,0 ，增区间为 0,+¥ .
【小问2详解】
设hx=xeax-ex+1，则h0=0，
又h¢x=1+axeax-ex，设gx=1+axeax-ex，
则g¢x= 2a+a2x eax-ex，
1
若a> ，则g¢0=2a-1>0，
2
因为g¢x
为连续不间断函数，
故存在x Î0,+¥，使得"xÎ0,x ，总有g¢x>0，
0 0
故gx
在
0,x 为增函数，故gx> g0=0，
0
故hx 在 0,x 为增函数，故hx>h0=-1，与题设矛盾.
0
1
若00，总有ln1+x< x成立，
1 -x
证明：设Sx=ln1+x-x，故S¢x= -1= <0，
1+x 1+x
故Sx 在 0,+¥ 上为减函数，故Sx0，总有 x 成立，
xe2 -ex +1<0
2
令 1 x，则t >1,t2 =ex,x=2lnt ，
t =e2
1
故2tlnt 1恒成立.
t
n+1 n+1 n
所以对任意的nÎN*，有2ln < - ，
n n n+1
1
整理得到：lnn+1-lnn<
，
n2+n
1 1 1
故 + + L + >ln2-ln1+ln3-ln2+ L +lnn+1-lnn
12+1 22+2 n2+n
=lnn+1
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处
导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
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