文档内容
2022 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学
姓名________ 准考证号_________________
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至3页；非选择题部分3至4
页．满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和
答题纸规定的位置上.
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题
卷上的作答一律无效.
参考公式：
如果事件A，B互斥，则 柱体的体积公式
如果事件A，B相互独立，则 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体的体积公式
若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次
独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
球的表面积公式
台体的体积公式
球的体积公式
其中 表示台体的上、下底面积，
h表示台体的高 其中R表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 设集合 ，则 （ ）
第1页 | 共27页A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】 ，
故选：D.
2. 已知 （ 为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数相等的条件可求 .
【详解】 ，而 为实数，故 ，
故选：B.
3. 若实数x，y满足约束条件 则 的最大值是（ ）
A. 20 B. 18 C. 13 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线 后可求最大值.
【详解】不等式组对应的可行域如图所示：
第2页 | 共27页当动直线 过 时 有最大值.
由 可得 ，故 ，
故 ，
故选：B.
4. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
5. 某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积（单位： ）是（ ）
第3页 | 共27页A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可
根据球，圆柱，圆台的体积公式求出．
【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的
底面半径，圆台的上底面半径都为 ，圆台的下底面半径为 ，所以该几何体的体积
．
故选：C．
6. 为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点（ ）
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
第4页 | 共27页【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为 ，所以把函数 图象上的所有点向右
平移 个单位长度即可得到函数 的图象．
故选：D.
7. 已知 ，则 （ ）
A. 25 B. 5 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为 ， ，即 ，所以 ．
故选：C.
8. 如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱 上的点．记 与 所成
的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
第5页 | 共27页【解析】
【分析】先用几何法表示出 ，再根据边长关系即可比较大小．
【详解】如图所示，过点 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，
则 ， ， ，
， ， ，
所以 ，
故选：A．
9. 已知 ，若对任意 ，则（ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将问题转换为 ，再结合画图求解．
【详解】由题意有：对任意的 ，有 恒成立．
第6页 | 共27页设 ， ，
即 的图象恒在 的上方（可重合），如下图所示：
由图可知， ， ，或 ， ，
故选：D．
10. 已知数列 满足 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先通过递推关系式确定 除去 ，其他项都在 范围内，再利用递推公式变形得到
第7页 | 共27页，累加可求出 ，得出 ，再利用
，累加可求出 ，再次
放缩可得出 ．
【详解】∵ ，易得 ，依次类推可得
由题意， ，即 ，
∴ ，
即 ， ， ，…， ，
累加可得 ，即 ，
∴ ，即 ， ,
又 ，
∴ ， ， ，…， ，
累加可得 ，
第8页 | 共27页∴ ，
即 ，∴ ，即 ；
综上： ．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分．
11. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它
填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 ，其
中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边 ，则该三角形的
面积 ___________．
【答案】 .
【解析】
【分析】根据题中所给的公式代值解出．
【详解】因为 ，所以 ．
故答案为： .
12. 已知多项式 ，则 __________，
第9页 | 共27页___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令 求出 ，再令 即可得出答
案．
【详解】含 的项为： ，故 ；
令 ，即 ，
令 ，即 ，
∴ ，
故答案为： ； ．
13. 若 ，则 __________， _________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先通过诱导公式变形，得到 的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求
出 ，接下来再求 ．
【详解】 ，∴ ，即 ，
即 ，令 ， ，
则 ，∴ ，即 ，
第10页 | 共27页∴ ，
则 ．
故答案为： ； ．
14. 已知函数 则 ________；若当 时， ，则
的最大值是_________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出 的最小值, 的最大值即可.
【详解】由已知 ， ，
所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
等价于 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： ， .
第11页 | 共27页15. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上
数字的最小值为 ，则 __________， _________．
【答案】 ①. ， ②. ##
【解析】
【分析】利用古典概型概率公式求 ，由条件求 分布列，再由期望公式求其期望.
【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最
小值为2的取法有 种，所以 ，
由已知可得 的取值有1，2，3，4，
， ，
，
所以 ,
故答案为： ， .
16. 已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双曲线于点 ，
交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率是_________．
【答案】
【解析】
第12页 | 共27页【分析】联立直线 和渐近线 方程，可求出点 ，再根据 可求得点 ，最后
根据点 在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过 且斜率为 的直线 ，渐近线 ，
联立 ，得 ，由 ，得
而点 在双曲线上，于是 ，解得： ，所以离心率 .
故答案为： ．
17. 设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，则 的取值范围是
_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建
第13页 | 共27页立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设 ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到
，然后利用 即可解出．
【详解】以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则 ,
，设 ,于是 ，
因为 ，所以 ，故 的取值范围是
.
故答案为： ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18. 在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的面积．
第14页 | 共27页【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）先由平方关系求出 ，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论 以及 可解出 ，即可由三角形面积公式
求出面积．
【小问1详解】
由于 ， ，则 ．因为 ，
由正弦定理知 ，则 ．
【小问2详解】
因为 ，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，而 ， ，
所以 的面积 ．
19. 如图，已知 和 都是直角梯形， ， ， ， ， ，
，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为 的中点．
第15页 | 共27页（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）过点 、 分别做直线 、 的垂线 、 并分别交于点 、 ，由平面知识易
得 ，再根据二面角的定义可知， ，由此可知， ， ，从而可
证得 平面 ，即得 ；
（2）由（1）可知 平面 ，过点 做 平行线 ，所以可以以点 为原点， ， 、
所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，求出平面 的一个法向量，以及
，即可利用线面角的向量公式解出．
【小问1详解】
过点 、 分别做直线 、 的垂线 、 并分别交于点交于点 、 ．
∵四边形 和 都是直角梯形， ，
，由平面几何知识易知，
，则四边形 和四边形 是矩形，
第16页 | 共27页∴在Rt 和Rt ， ，
∵ ，且 ，
∴ 平面 是二面角 的平面角，则 ，
∴ 是正三角形，由 平面 ，得平面 平面 ，
∵ 是 的中点， ，又 平面 ， 平面 ，可得 ，而
，∴ 平面 ，而 平面 ．
【小问2详解】
因为 平面 ，过点 做 平行线 ，所以以点 为原点， ， 、 所在直线
分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为
由 ，得 ，取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
∴ ．
第17页 | 共27页20. 已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
（1）若 ，求 ；
的
（2）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d 取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前 项和公式化简条件，求出 ，再求 ；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求 的范围.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
第18页 | 共27页【小问2详解】
因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
，
，
由已知方程 的判别式大于等于0，
所以 ，
所以 对于任意的 恒成立，
所以 对于任意的 恒成立，
当 时， ，
当 时，由 ，可得
当 时， ，
又
所以
21. 如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点 在线段 上，直
线 分别交直线 于C，D两点．
第19页 | 共27页（1）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（2）求 的最小值．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）设 是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出 ，再根据二
次函数的性质即可求出；
（2）设直线 与椭圆方程联立可得 ，再将直线 方程与
的方程分别联立，可解得点 的坐标，再根据两点间的距离公式求出 ，最后代入化简可
得 ，由柯西不等式即可求出最小值．
【小问1详解】
设 是椭圆上任意一点, ,则
，当且仅当
时取等号，故 的最大值是 .
第20页 | 共27页【小问2详解】
设直线 ,直线 方程与椭圆 联立,可得 ,设
，所以 ，
因为直线 与直线 交于 ,
则 ,同理可得, .则
，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为 .
【点睛】本题主要考查最值 的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思
路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较
难题．
22. 设函数 ．
（1）求 的单调区间；
第21页 | 共27页（2）已知 ，曲线 上不同 的三点 处的切线都经过点
．证明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 .
（2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ）
， ，则题设不等式可转化为 ，结合零点满足的方
程进一步转化为 ，利用导数可证该不等式成立.
【小问1详解】
，
当 ， ；当 ， ，
故 的减区间为 ， 的增区间为 .
【小问2详解】
第22页 | 共27页（ⅰ）因为过 有三条不同的切线，设切点为 ，
故 ，
故方程 有3个不同的根，
该方程可整理为 ，
设 ，
则
，
当 或 时， ；当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： 且 ，
此时 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，故 ，
第23页 | 共27页故 .
（ⅱ）当 时，同（ⅰ）中讨论可得：
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
不妨设 ，则 ，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： ，
因为 ，故 ，
又 ，
设 ， ，则方程 即为：
即为 ，
记
则 为 有三个不同的根，
设 ， ，
要证： ，即证 ，
第24页 | 共27页即证： ，
即证： ，
即证： ，
而 且 ，
故 ，
故 ，
故即证： ，
即证：
即证： ，
记 ，则 ，
设 ，则 即 ，
故 在 上为增函数，故 ，
所以 ，
第25页 | 共27页记 ，
则 ，
所以 在 为增函数，故 ，
故 即 ，
故原不等式得证：
【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程
的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.
第26页 | 共27页第27页 | 共27页
