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绝密★启用前
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
U ={1,2,3,4,5} ð M ={1,3}
1. 设全集 ，集合M满足 U ，则（ ）
A. 2ÎM B. 3ÎM C. 4ÏM D. 5ÏM
【答案】A
【解析】
【分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可
【详解】由题知M ={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误
故选:A
2. 已知z =1-2i，且z+az +b=0，其中a，b为实数，则（ ）
A. a=1,b=-2 B. a=-1,b=2 C. a=1,b=2 D. a =-1,b=-2
【答案】A
【解析】
【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】z =1-2i
z+az +b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i
由z+az +b=0,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
ì1+a+b=0 ìa=1
得í ,即í
î2a-2=0 îb=-2
故选:A
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学科网（北京）股份有限公司r r r r r r r r
3. 已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 3,|a-2b|=3，则a×b=（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵|a r -2b r |2=|a r |2 -4a r ×b r +4 b r2 ，
又∵|a r |=1,|b r |= 3,|a r -2b r |=3,
r r
∴9=1-4a r ×b +4´3=13-4a r ×b，
r
∴a r ×b =1
故选：C.
4. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研
1
1 b =1+
究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 b ：b =1+ ， 2 1 ，
n 1 a a+
1 1 a
2
1
b =1+
3 1
a
1
+
1
，…，依此类推，其中a
k
ÎN*(k =1,2,
L
)．则（ ）
a +
2 a
3
A. b
所以a b ，
1 1 a 1 a+ 1 2
2 1 a
2
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学科网（北京）股份有限公司1 1
a+ >a+
同理 1 a 1 1 ，可得b b
2 a + 2 3 1 3
2 a
3
1 1 1 1
> ,a+ b ；
2 4 3 4
以此类推，可得b >b >b >b >… ，b >b ，故A错误；
1 3 5 7 7 8
b >b >b ，故B错误；
1 7 8
1 1
>
a 1
2 a + ，得b a+
1 1 1 1
a + a +… ，得b 0.01；
a2 22 4
执行第二次循环，b=b+2a =3+4=7，
a =b-a =7-2=5,n=n+1=3，
b2 72 1
-2 = -2 = >0.01；
a2 52 25
第4页/共32页
学科网（北京）股份有限公司执行第三次循环，b=b+2a=7+10=17，
a =b-a =17-5=12,n=n+1=4，
b2 172 1
-2 = -2 = <0.01，此时输出n=4.
a2 122 144
故选：B
7. 在正方体ABCD-ABC D 中，E，F分别为AB,BC的中点，则（ ）
1 1 1 1
A. 平面BEF ^平面BDD B. 平面BEF ^平面ABD
1 1 1 1
C. 平面BEF //平面AAC D. 平面BEF //平面ACD
1 1 1 1 1
【答案】A
【解析】
【分析】证明EF^平面BDD ，即可判断A；如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设
1
AB=2，分别求出平面BEF ，ABD，ACD的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
1 1 1 1
【详解】解：在正方体ABCD-ABC D 中，
1 1 1 1
AC^BD且DD ^平面ABCD，
1
又EF Ì平面ABCD，所以EF ^ DD ，
1
因为E,F 分别为AB,BC的中点，
所以EF∥AC ，所以EF ^ BD，
又BD
I
DD
1
= D，
所以EF^平面BDD ，
1
又EF Ì平面BEF ，
1
所以平面BEF ^平面BDD ，故A正确；
1 1
选项BCD解法一：
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，
则B 2,2,2,E2,1,0,F1,2,0,B2,2,0,A 2,0,2,A2,0,0,C0,2,0 ，
1 1
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学科网（北京）股份有限公司C 0,2,2 ，
1
uuur uuur uuur uuuur
则EF =-1,1,0,EB =0,1,2，DB=2,2,0,DA =2,0,2，
1 1
uuur uuur uuuur
AA =0,0,2,AC =-2,2,0,AC =-2,2,0,
1 1 1
ur
设平面BEF 的法向量为m=x ,y ,z ，
1 1 1 1
uuuv
ìïmv×EF =-x + y =0 ur
则有í uuuv 1 1 ，可取m=2,2,-1，
ïî mv×EB = y +2z =0
1 1 1
ur
同理可得平面ABD的法向量为n =1,-1,-1，
1 1
uur
平面AAC的法向量为n =1,1,0，
1 2
uur
平面ACD的法向量为n =1,1,-1，
1 1 3
ur ur
则m×n =2-2+1=1¹0，
1
所以平面BEF 与平面ABD不垂直，故B错误；
1 1
uur
ur
因为m与n 不平行，
2
所以平面BEF 与平面AAC不平行，故C错误；
1 1
ur uur
因为m与n 不平行，
3
所以平面BEF 与平面ACD不平行，故D错误，
1 1 1
故选：A.
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设A
1
B
I
B
1
E =M ，EF
I
BD= N，则MN 为平面B
1
EF 与平面A
1
BD的
交线，
第6页/共32页
学科网（北京）股份有限公司在 BMN 内，作BP^MN 于点P，在 EMN 内，作GP^MN，交EN 于点G，连结BG，
V V
则ÐBPG或其补角为平面BEF 与平面ABD所成二面角的平面角，
1 1
由勾股定理可知：PB2 +PN2 = BN2，PG2 +PN2 =GN2，
底面正方形ABCD中，E,F 为中点，则EF ^ BD，
由勾股定理可得NB2 +NG2 = BG2，
从而有：NB2 +NG2 = PB2 +PN2 + PG2 +PN2 = BG2，
据此可得PB2 +PG2 ¹ BG2，即ÐBPG ¹90o，
据此可得平面BEF ^平面ABD不成立，选项B错误；
1 1
对于选项C，取A
1
B
1
的中点H ，则AH
P
B
1
E，
由于AH 与平面AAC相交，故平面BEF∥平面AAC不成立，选项C错误；
1 1 1
对于选项D，取AD的中点M ，很明显四边形A
1
B
1
FM 为平行四边形，则A
1
M
P
B
1
F，
由于AM 与平面ACD相交，故平面BEF∥平面ACD不成立，选项D错误；
1 1 1 1 1 1
第7页/共32页
学科网（北京）股份有限公司故选：A.
8. 已知等比数列 a 的前3项和为168，a -a =42，则a =（ ）
n 2 5 6
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列 a 的公比为q,q¹0，易得q ¹1，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的
n
通项即可得解.
【详解】解：设等比数列 a 的公比为q,q¹0，
n
若q =1，则a -a =0，与题意矛盾，
2 5
所以q ¹1，
ì a 1-q3 ìa =96
ïa +a +a = 1 =168 ï 1
则í 1 2 3 1-q ，解得í 1 ，
q=
ï ï
a -a =aq-aq4 =42 î 2
î
2 5 1 1
所以a =aq5 =3.
6 1
故选：D.
9. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积
最大时，其高为（ ）
1 1 3 2
A. B. C. D.
3 2 3 2
【答案】C
【解析】
第8页/共32页
学科网（北京）股份有限公司【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值
为2r2，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体
积最大时其高的值.
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为a，
1 1 1
则S = ×AC×BD×sina£ ×AC×BD£ ×2r×2r =2r2
ABCD 2 2 2
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2
又设四棱锥的高为h，则r2 + h2 = 1，
3
1 2 2 ær2 +r2 +2h2 ö 4 3
V = ×2r2×h= r2×r2×2h2 £ ç ÷ =
O-ABCD 3 3 3 è 3 ø 27
当且仅当r2 =2h2即h= 3 时等号成立.
3
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则
2 a2
r = a，所以该四棱锥的高h= 1- ，
2 2
æ a2 a2 a2 ö 3
V = 1 a2 1- a2 = 4 a2 × a2 ×(1- a2 ) £ 4 ç ç 4 + 4 +1- 2 ÷ ÷ = 4 ( 1 )3 = 4 3
3 2 3 4 4 2 3 ç 3 ÷ 3 3 27
ç ÷
è ø
a2 a2 4
(当且仅当 =1- ，即a2 = 时，等号成立)
4 2 3
a2 2 3
所以该四棱锥的体积最大时，其高h= 1- = 1- = .
2 3 3
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则
2 a2 1 a2 1 t3
r = a，所以该四棱锥的高h= 1- ，V = a2 1- ，令a2 =t(00，单调递增， p > p >0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
1 2 3 3 2 1
A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【解析】
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率 p ；
甲
该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率 p ；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率 p .并对三
乙 丙
者进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
1
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为 ，
2
则此时连胜两盘的概率为 p
甲
1 1
则p = (1- p )p p + p p (1- p )+ (1- p )p p + p p (1- p )
甲 2 2 1 3 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2
= p (p + p )-2p p p ；
1 2 3 1 2 3
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为 p ，
乙
则 p =(1- p )p p + p p (1- p )= p (p + p )-2p p p
乙 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 p
丙
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学科网（北京）股份有限公司则 p =(1- p )p p + p p (1- p )= p (p + p )-2p p p
丙 1 3 2 1 3 2 3 1 2 1 2 3
则 p - p = p (p + p )-2p p p -p (p + p )-2p p p =p - p p <0
甲 乙 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3
p - p = p (p + p )-2p p p -p (p + p )-2p p p =p - p p <0
乙 丙 2 1 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1
即 p < p ， p < p ，
甲 乙 乙 丙
则该棋手在第二盘与丙比赛， p最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
11. 双曲线C的两个焦点为F,F ，以C的实轴为直径的圆记为D，过F 作D的切线与C交于M，N两
1 2 1
3
点，且cosÐFNF = ，则C的离心率为（ ）
1 2 5
5 3 13 17
A. B. C. D.
2 2 2 2
【答案】AC
【解析】
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F 作圆D的切线切点为G，利用正弦定理结合三角变换、
1
双曲线的定义得到2b=3a或a=2b，即可得解，注意就M,N 在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F 作圆D的切线切点为B，
1
3
所以OB^FN，因为cosÐFNF = >0，所以N 在双曲线的左支，
1 1 2 5
3 4
OB =a， OF =c， FB =b，设ÐFNF =a，由即cosa= ，则sina= ，
1 1 1 2 5 5
第11页/共32页
学科网（北京）股份有限公司3 5
NA = a，NF = a
2 2 2
NF - NF =2a
2 1
5 æ3 ö
a- a-2b =2a，
ç ÷
2 è2 ø
5
2b=a，\e=
2
选A
情况二
3
若M、N在双曲线的两支，因为cosÐFNF = >0，所以N 在双曲线的右支，
1 2 5
所以 OB =a， OF =c， FB =b，设ÐFNF =a，
1 1 1 2
3 3 4
由cosÐFNF = ，即cosa= ，则sina= ，
1 2 5 5 5
3 5
NA = a，NF = a
2 2 2
NF - NF =2a
1 2
3 5
a+2b- a =2a，
2 2
b 3
所以2b=3a，即 = ，
a 2
c b2 13
所以双曲线的离心率e= = 1+ =
a a2 2
选C
[方法二]：答案回代法
5
A选项e=
2
特值双曲线
第12页/共32页
学科网（北京）股份有限公司x2
- y2 =1,\F - 5,0 ,F 5,0 ，
4 1 2
过F且与圆相切的一条直线为y=2 x+ 5 ，
1
æ 6 2 ö
Q 两交点都在左支,\N ç - 5,- 5 ÷，
è 5 5 ø
\ NF =5, NF =1, FF =2 5，
2 1 1 2
3
则cosÐFNF = ，
1 2 5
13
C选项e=
2
x2 y2
特值双曲线 - =1,\F - 13,0 ,F 13,0 ，
4 9 1 2
2
过F且与圆相切的一条直线为y= x+ 13 ，
1 3
æ14 18 ö
Q 两交点在左右两支，N在右支，\N ç 13, 13 ÷，
è13 13 ø
\ NF =5, NF =9, FF =2 13，
2 1 1 2
3
则cosÐFNF = ，
1 2 5
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F 作圆D的切线切点为G，
1
若M,N 分别在左右支，
3
因为OG ^ NF ，且cosÐFNF = >0，所以N 在双曲线的右支，
1 1 2 5
又 OG =a， OF =c， GF =b，
1 1
设ÐFNF =a，ÐF FN =b，
1 2 2 1
NF NF 2c
在△FNF 中，有 2 = 1 = ，
1 2 sinb sina+b sina
第13页/共32页
学科网（北京）股份有限公司NF - NF 2c a c
故 1 2 = 即 = ，
sina+b-sinb sina sina+b-sinb sina
a c
所以 = ，
sinacosb+cosasinb-sinb sina
3 a b 4
而cosa= ，sinb= ，cosb= ，故sina= ，
5 c c 5
b 3
代入整理得到2b=3a，即 = ，
a 2
c b2 13
所以双曲线的离心率e= = 1+ =
a a2 2
若M,N 均在左支上，
NF NF 2c b
同理有 2 = 1 = ，其中b为钝角，故cosb=- ，
sinb sina+b sina c
NF - NF 2c a c
故 2 1 = 即 = ，
sinb-sina+b sina sinb-sinacosb-cosasinb sina
3 a 4 a 1
代入cosa= ，sinb= ，sina= ，整理得到： = ，
5 c 5 4b+ 2a 4
2
æbö 5
故a=2b，故e= 1+ = ，
ç ÷
èaø 2
故选：AC.
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知函数 f(x),g(x)的定义域均为R，且 f(x)+g(2-x)=5,g(x)- f(x-4)=7．若y = g(x)的图
22
像关于直线x=2对称，g(2)=4，则 å f k=（ ）
k=1
A. -21 B. -22 C. -23 D. -24
【答案】D
【解析】
【分析】根据对称性和已知条件得到 f(x)+ f(x-2)=-2，从而得到
f 3+ f 5+ + f 21=-10， f 4+ f 6+ + f 22=-10，然后根据条件得到 f(2)的值，
K K
再由题意得到g3=6从而得到 f 1 的值即可求解.
【详解】因为y = g(x)的图像关于直线x=2对称，
所以g2-x= gx+2
，
因为g(x)- f(x-4)=7，所以g(x+2)- f(x-2)=7，即g(x+2)=7+ f(x-2)，
因为 f(x)+g(2-x)=5，所以 f(x)+g(x+2)=5，
代入得 f(x)+7+ f(x-2)=5，即 f(x)+ f(x-2)=-2，
所以 f 3+ f 5+ + f 21=-2´5=-10，
K
f 4+ f 6+
K
+ f 22=-2´5=-10.
因为 f(x)+g(2-x)=5，所以 f(0)+g(2)=5，即 f 0=1，所以 f(2)=-2- f 0=-3.
因为g(x)- f(x-4)=7，所以g(x+4)- f(x)=7，又因为 f(x)+g(2-x)=5，
联立得，g2-x+gx+4=12，
所以y = g(x)的图像关于点 3,6 中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g3=6
因为 f(x)+g(x+2)=5，所以 f 1=5-g3=-1.
所以
22
å f(k)= f 1+ f 2+éf 3+ f 5+ + f 21ù+éf 4+ f 6+ + f 22ù =-1-3-10-10=-24
ë K û ë K û
k=1
第15页/共32页
学科网（北京）股份有限公司.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
3
【答案】 ##0.3
10
【解析】
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，
1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
3
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率P= .
10
3
故答案为： .
10
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C3 =10
5
3
甲、乙都入选的方法数为C1 =3，所以甲、乙都入选的概率P=
3 10
3
故答案为：
10
14. 过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．
2 2
【 答 案 】
x-22 +y-32
=13或
x-22 +y-12
=5或
æ
x-
4ö
+
æ
y-
7ö
=
65
或
ç ÷ ç ÷
è 3ø è 3ø 9
2
æ 8ö 169
x- +y-12 = ．
ç ÷
è 5ø 25
【解析】
【分析】方法一：设圆的方程为x2 + y2 +Dx+Ey+F =0，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为x2 + y2 +Dx+Ey+F =0，
第16页/共32页
学科网（北京）股份有限公司ìF =0 ìF =0
ï ï
（1）若过 0,0 ， 4,0 ， -1,1 ，则í16+4D+F =0 ，解得íD=-4，
ï ï
1+1-D+E+F =0 E =-6
î î
所以圆的方程为x2 + y2 -4x-6y =0，即x-22 +y-32 =13；
ìF =0 ìF =0
ï ï
（2）若过 0,0 ， 4,0 ， 4,2 ，则í16+4D+F =0 ，解得íD=-4，
ï ï
16+4+4D+2E+F =0 E =-2
î î
所以圆的方程为x2 + y2 -4x-2y =0，即x-22 +y-12 =5；
ì
ïF =0
ìF =0
ï
ï ï 8
（3）若过 0,0 ， 4,2 ， -1,1 ，则í1+1-D+E+F =0 ，解得íD=- ，
3
ï ï
16+4+4D+2E+F =0
î
ï 14
E =-
ï
î 3
8 14 æ 4ö 2 æ 7ö 2 65
所以圆的方程为x2 + y2 - x- y =0，即 x- + y- = ；
ç ÷ ç ÷
3 3 è 3ø è 3ø 9
ì 16
F =-
ï
5
ì1+1-D+E+F =0 ï
ï ï 16
（4）若过 -1,1 ， 4,0 ， 4,2 ，则í16+4D+F =0 ，解得íD=- ，所以圆的方程
5
ï ï
16+4+4D+2E+F =0
î
ïE =-2
ï
î
16 16 æ 8ö 2 169
为x2 + y2 - x-2y- =0，即 x- +y-12 = ；
ç ÷
5 5 è 5ø 25
2 2
故答案为：x-22 +y-32
=13或
x-22 +y-12
=5或
æ
ç
x-
4ö
÷
+
æ
ç
y-
7ö
÷
=
65
或
è 3ø è 3ø 9
2
æ 8ö 169
x- +y-12 = ．
ç ÷
è 5ø 25
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设点A0,0，B4,0，C-1,1，D4,2
（1）若圆过A、B、C 三点，圆心在直线x=2，设圆心坐标为(2,a)，
则4+a2 =9+a-12 Þa =3,r = 4+a2 = 13，所以圆的方程为(x-2)2 +(y-3)2 =13；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若圆过A、B、D三点， 设圆心坐标为(2,a)，则
4+a2 =4+(a-2)2 Þa=1,r = 4+a2 = 5，所以圆的方程为(x-2)2 +(y-1)2 =5；
（3）若圆过 A、C、D三点，则线段AC的中垂线方程为y = x+1，线段AD 的中垂线方程 为
4 7 65 4 7 65
y =-2x+5，联立得x= ,y= Þr = ，所以圆的方程为(x- )2 +(y- )2 = ；
3 3 3 3 3 9
（4）若圆过B、C、D三点，则线段BD的中垂线方程为y =1， 线段BC中垂线方程为 y=5x-7，联
立得x= 8 ,y=1Þr = 13 ，所以圆的方程为(x- 8 )2 +y-12 = 169 ．
5 5 5 25
2 2
故答案为：x-22 +y-32
=13或
x-22 +y-12
=5或
æ
ç
x-
4ö
÷
+
æ
ç
y-
7ö
÷
=
65
或
è 3ø è 3ø 9
2
æ 8ö 169
x- +y-12 = ．
ç ÷
è 5ø 25
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
3 p
15. 记函数 f x=coswx+j(w>0,00，00，所以当k =0时w =3；
min
故答案为：3
16. 已知x= x 和x= x 分别是函数 f(x)=2ax -ex2（a>0且a ¹1）的极小值点和极大值点．若
1 2
x < x ，则a的取值范围是____________．
1 2
æ1 ö
【答案】ç ,1 ÷
èe ø
【解析】
【分析】法一：依题可知，方程2lna×ax -2ex=0的两个根为x,x ，即函数y =lna×ax与函数y =ex
1 2
的图象有两个不同的交点，构造函数gx=lna×ax，利用指数函数的图象和图象变换得到gx
的图
象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为 f¢x=2lna×ax -2ex，所以方程2lna×ax -2ex=0的两个根为x,x ，
1 2
即方程lna×ax =ex的两个根为x,x ，
1 2
即函数y =lna×ax与函数y =ex的图象有两个不同的交点，
因为x,x 分别是函数 f x=2ax -ex2的极小值点和极大值点，
1 2
所以函数 f x 在 -¥,x 和 x ,+¥ 上递减，在 x ,x 上递增，
1 2 1 2
所以当时 -¥,x x ,+¥ ， f¢x<0，即y =ex图象在y =lna×ax上方
1 2
当xÎx ,x 时， f¢x>0，即y =ex图象在y =lna×ax下方
1 2
a >1，图象显然不符合题意，所以01，则¢x
在R 上单调递增，此时若
f¢x =0，
0
则 f¢x 在 -¥,x 上单调递减，在 x ,+¥ 上单调递增，此时若有x= x 和x= x 分别是函数
0 0 1 2
f x=2ax -ex2(a>0且a ¹1)的极小值点和极大值点，则x > x ，不符合题意；
1 2
若00且a ¹1)的极小值点和极大值点，且x < x ，则需满足 f¢x >0，
1 2 0
f¢x 0 =2 ax 0lna-ex 0 =2 æ ç èln e a -ex 0 ö ÷ ø >0，即x 0 < ln 1 a ，x 0 lna>1故 lnax 0 = x 0 lna=ln ln e a2 >1 ，
1
所以 0,当xÎ(-1,0),g(x)=ex +a 1-x2 >0,即 f¢(x)>0
所以 f(x)在(-1,0)上单调递增, f(x)< f(0)=0
故 f(x)在(-1,0)上没有零点,不合题意
2°若-1£a£0,当xÎ(0,+¥),则g¢(x)=ex -2ax>0
所以g(x)在(0,+¥)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a³0,即 f¢(x)>0
所以 f(x)在(0,+¥)上单调递增, f(x)> f(0)=0
故 f(x)在(0,+¥)上没有零点,不合题意
3°若a<-1
(1)当xÎ(0,+¥),则g¢(x)=ex -2ax>0,所以g(x)在(0,+¥)上单调递增
g(0)=1+a<0,g(1)=e>0
所以存在mÎ(0,1),使得g(m)=0,即 f¢(m)=0
当xÎ(0,m), f¢(x)<0, f(x)单调递减
当xÎ(m,+¥), f¢(x)>0, f(x)单调递增
所以
当xÎ(0,m), f(x)< f(0)=0,
x 1-x
令h(x)= ,x>-1,则h¢(x)= ,x>-1,
ex ex
x 1
所以h(x)= 在 -1,1 上单调递增，在 1,+¥ 上单调递减，所以h(x)£h1= ，
ex e
a æ - a ö a 1
又 - ， f çe e -1÷³- +a× =0，
e e -1>0
e e
è ø
所以 f(x)在(m,+¥)上有唯一零点
又(0,m)没有零点,即 f(x)在(0,+¥)上有唯一零点
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学科网（北京）股份有限公司(2)当xÎ(-1,0),g(x)=ex +a 1-x2
设h(x)= g¢(x)=ex -2ax
h¢(x)=ex -2a>0
所以g¢(x)在(-1,0)单调递增
1
g¢(-1)= +2a<0,g¢(0)=1>0
e
所以存在nÎ(-1,0),使得g¢(n)=0
当xÎ(-1,n),g¢(x)<0,g(x)单调递减
当xÎ(n,0),g¢(x)>0,g(x)单调递增,g(x)< g(0)=1+a<0
1
又g(-1)= >0
e
所以存在tÎ(-1,n),使得g(t)=0,即 f¢(t)=0
当xÎ(-1,t), f(x)单调递增,当xÎ(t,0), f(x)单调递减，
当xÎ-1,0 ，hx>h-1=-e，
又-10
所以 f(x)在(-1,t)上有唯一零点,(t,0) 上无零点
即 f(x)在(-1,0)上有唯一零点
所以a<-1,符合题意
所以若 f(x)在区间(-1,0),(0,+¥)各恰有一个零点,求a的取值范围为(-¥,-1)
【点睛】
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学科网（北京）股份有限公司方法点睛：本题的关键是对a的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，
肯定要两方面都说明.
（二）选考题，共 10分．请考生在第 22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
ìïx= 3cos2t
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为í ，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正
ïîy =2sint
æ pö
半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为rsin
ç
q+
÷
+m=0．
è 3ø
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
【答案】（1） 3x+ y+2m=0
é 19 5ù
（2） - ,
ê ú
ë 12 2û
【解析】
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）方法一：联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.
【小问1详解】
æ pö 1 3
因为l：rsin ç q+ ÷ +m=0，所以 r×sinq+ r×cosq+m=0，
è 3ø 2 2
1 3
又因为r×sinq= y,r×cosq= x，所以化简为 y+ x+m=0，
2 2
整理得l的直角坐标方程： 3x+ y+2m=0
【小问2详解】
[方法一]：【最优解】参数方程
联立l与C的方程，即将x= 3cos2t，y =2sint 代入 3x+ y+2m=0中，
可得3cos2t+2sint+2m=0Þ3(1-2sin2t)+2sint+2m=0，
化简为-6sin2t+2sint+3+2m=0，
第30页/共32页
学科网（北京）股份有限公司要使l与C有公共点，则2m=6sin2t-2sint-3有解，
令sint =a，则aÎ-1,1 ，令 f(a)=6a2 -2a-3，(-1≤a≤1)，
1
对称轴为a= ，开口向上，
6
\ f(a) = f(-1)=6+2-3=5，
max
1 1 2 19
f(a) = f( )= - -3=- ，
min 6 6 6 6
19 é 19 5ù
\- £2m£5，即m的取值范围为 - , .
ê ú
6 ë 12 2û
[方法二]：直角坐标方程
ìïx= 3cos2t 2 3
由曲线C的参数方程为í ，t为参数，消去参数t，可得y2 =- x+2，
ïîy =2sint 3
ì 3x+ y+2m=0
ï æ 1ö 2 19
联立í 2 3 ，得3y2 -2y-4m-6=0(-2£ y£2)，即4m=3y2 -2y-6=3 ç y- ÷ - ，
ïy2 =- x+2 è 3ø 3
î 3
19 19 5 é 19 5ù
即有- £4m£10，即- £m£ ，\m的取值范围是 - , ．
ê ú
3 12 2 ë 12 2û
【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；
方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质
上差不多，但容易忽视y的范围限制而出错．
[选修 4-5：不等式选讲]
3 3 3
23. 已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
a2 +b2 +c2 =1
1
（1）abc£ ；
9
a b c 1
（2） + + £ ；
b+c a+c a+b 2 abc
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
第31页/共32页
学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
3 3 3
证明：因为a>0，b>0，c>0，则 ， ， ，
a2 >0 b2 >0 c2 >0
3 3 3
所以 a2 +b2 +c2 3 3 3 3 ，
³ a2 ×b2 ×c2
3
即abc 1 2 £ 1 ，所以abc£ 1 ，当且仅当 a 3 2 =b 3 2 =c 3 2 ，即a =b=c= 3 1 时取等号．
3 9 9
【小问2详解】
证明：因为a>0，b>0，c>0，
所以b+c³2 bc ，a+c³2 ac ，a+b³2 ab ，
3 3 3
a a a2 b b b2 c c c2
所以 ， ，
£ = £ = £ =
b+c 2 bc 2 abc a+c 2 ac 2 abc a+b 2 ab 2 abc
3 3 3 3 3 3
a b c a2 b2 c2 a2 +b2 +c2 1
+ + £ + + = =
b+c a+c a+b 2 abc 2 abc 2 abc 2 abc 2 abc
当且仅当a=b=c时取等号．
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