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绝密★启用前
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题
卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好
条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
z
=
1 若 z =-1+ 3i ，则 zz -1 （ ）
.
1 3 1 3
A. -1+ 3i B. -1- 3i C. - + i D. - - i
3 3 3 3
2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让
他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正
确率如下图：
则（ ）
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
第1页 | 共7页D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3. 设全集U ={-2,-1,0,1,2,3}，集合A={-1,2},B= x∣x2 -4x+3=0 ，则ð (AÈB)=（ ）
U
A. {1,3} B. {0,3} C. {-2,1} D. {-2,0}
4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为
（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
5. 函数y = 3x -3-x cosx在区间 é ê - π , πù ú 的图象大致为（ ）
ë 2 2û
A. B.
C. D.
b
6. 当x=1时，函数 f(x)=alnx+ 取得最大值-2，则 f¢(2)=（ ）
x
1
1
A. -1 B. - C. D. 1
2 2
第2页 | 共7页7. 在长方体ABCD-ABCD 中，已知BD与平面ABCD和平面AABB所成的角均为30°，则（ ）
1 1 1 1 1 1 1
A. AB=2AD B. AB与平面ABC D所成的角为30°
1 1
C. AC =CB D. BD与平面BBCC所成的角为45°
1 1 1 1
8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB
是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CD^ AB．“会圆术”给出AB的弧
CD2
长的近似值s的计算公式：s = AB+ ．当OA=2,ÐAOB=60°时，s =（ ）
OA
11-3 3 11-4 3 9-3 3 9-4 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 和S ，体积分别为
甲 乙
S V
V 和V ．若 甲 =2，则 甲 =（ ）
甲 乙 S V
乙 乙
5 10
A. 5 B. 2 2 C. 10 D.
4
x2 y2
10. 椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQ
a2 b2
1
的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
4
3 2 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 3
æ πö
11. 设函数 f(x)=sin ç wx+ ÷在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则w的取值范围是（ ）
è 3ø
第3页 | 共7页é5 13ö é5 19ö æ13 8ù æ13 19ù
A. ê , ÷ B. ê , ÷ C. ç , ú D. ç , ú
ë3 6 ø ë3 6 ø è 6 3û è 6 6 û
31 1 1
12 已知a= ,b=cos ,c=4sin ，则（ ）
.
32 4 4
A. c>b>a B. b>a>c C. a>b>c D. a>c>b
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
r
r r 1 r r r r
13. 设向量a，b的夹角的余弦值为 ，且 a =1， b =3，则 2a+b ×b=_________．
3
x2
14. 若双曲线y2 - =1(m>0)的渐近线与圆x2 + y2 -4y+3=0相切，则m=_________．
m2
15. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
AC
16. 已知 ABC中，点D在边BC上，ÐADB=120°,AD=2,CD=2BD．当 取得最小值时，
V
AB
BD=________．
三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60分．
2S
17. 记S 为数列 a 的前n项和．已知 n +n=2a +1．
n n n n
（1）证明：
a
是等差数列；
n
（2）若a ,a ,a 成等比数列，求S 的最小值．
4 7 9 n
18. 在四棱锥P-ABCD中，PD^底面ABCD,CD∥AB,AD= DC =CB=1,AB=2,DP= 3．
（1）证明：BD^ PA；
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平
第4页 | 共7页局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，
0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
20. 设抛物线C: y2 =2px(p>0)的焦点为F，点Dp,0 ，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD
垂直于x轴时， MF =3．
（1）求C的方程；
（2）设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为a,b．当a-b
取得最大值时，求直线AB的方程．
ex
21. 已知函数 f x= -lnx+x-a．
x
（1）若 f x³0，求a的取值范围；
（2）证明：若 f x 有两个零点x,x ，则x x <1．
1 2 1 2
（二）选考题：共 10分．请考生在第 22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
ì 2+t
ïx=
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为í 6 （t为参数），曲线C 的参数方程为
1 2
ï
îy = t
ì 2+s
ïx=-
í 6 （s为参数）．
ï
îy =- s
（1）写出C 的普通方程；
1
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cosq-sinq=0，
3
求C 与C 交点的直角坐标，及C 与C 交点的直角坐标．
3 1 3 2
[选修 4-5：不等式选讲]
23. 已知a，b，c均为正数，且a2 +b2 +4c2 =3，证明：
（1）a+b+2c£3；
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（2）若b=2c，则 + ³3．
a c
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