文档内容
绝密★本科目考试启用前
2022 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共 5页，150分．考试时长 120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，
在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共 40分）
一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分．在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项．
1. 已知全集U ={x -3< x<3}，集合A={x -2< x£1}，则∁ 𝐴=（ ）
∪
A. (-2,1] B. (-3,-2) U [1,3) C. [-2,1) D.
(-3,-2] (1,3)
U
2. 若复数z满足i×z =3-4i，则 z =（ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 25
3. 若直线2x+ y-1=0是圆(x-a)2 + y2 =1的一条对称轴，则a =（ ）
1
1
A. B. - C. 1 D. -1
2 2
1
4 己知函数 f(x)= ，则对任意实数x，有（ ）
. 1+2x
A. f(- x)+ f(x)= 0 B. f(-x)- f(x)=0
1
C. f(-x)+ f(x)=1 D. f(-x)- f(x)=
3
5 已知函数 f(x)=cos2 x-sin2 x，则（ ）
.
æ p pö æ p pö
A. f(x)在ç - ,- ÷上单调递减 B. f(x)在ç - , ÷上单调递增
è 2 6 ø è 4 12ø
æ pö æp 7pö
C. f(x)在ç0, ÷上单调递减 D. f(x)在ç , ÷上单调递增
è 3ø è 4 12 ø
6. 设 a 是公差不为0的无穷等差数列，则“ a 为递增数列”是“存在正整数N ，当
n n 0
n> N 时，a >0”的（ ）
0 n
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，
为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关
系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（ ）
第1页 | 共4页A. 当T =220，P =1026时，二氧化碳处于液态
B. 当T =270，P =128时，二氧化碳处于气态
C. 当T =300，P =9987时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当T =360，P =729时，二氧化碳处于超临界状态
8. 若(2x-1)4 =a x4 +a x3+a x2 +a x+a ，则a +a +a =（ ）
4 3 2 1 0 0 2 4
A. 40 B. 41 C. -40 D. -41
9. 已知正三棱锥P-ABC 的六条棱长均为6，S是 ABC及其内部的点构成的集合．设集
V
合T = QÎS PQ£5 ，则T表示的区域的面积为（ ）
3p
A. B. p C. 2p D. 3p
4
10. 在 ABC中，AC =3,BC =4,ÐC =90°．P为 ABC所在平面内的动点，且
V V
uuur uuur
PC =1，则PA×PB的取值范围是（ ）
A. [-5,3] B. [-3,5] C. [-6,4] D. [-4,6]
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分．
1
11. 函数 f(x)= + 1-x 的定义域是_________．
x
x2 3
12. 已知双曲线 y2 + =1的渐近线方程为y =± x，则m=__________．
m 3
p æpö
13. 若函数 f(x)= Asinx- 3cosx的一个零点为 ，则A=________； f ç ÷ =
3 è12ø
________．
ì-ax+1, xb>0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为2 3．
a2 b2
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与
x轴交于点M，N，当|MN |=2时，求k的值．
20. 已知函数 f(x)=exln(1+x)．
（1）求曲线y= f(x)在点(0, f(0))处的切线方程；
（2）设g(x)= f¢(x)，讨论函数g(x)在[0,+¥)上的单调性；
（3）证明：对任意的s,tÎ(0,+¥)，有 f(s+t)> f(s)+ f(t)．
21. 已知Q:a 1 ,a 2 , L ,a k 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的nÎ{1,2, L ,m}，
在Q中存在a
i
,a
i+1
,a
i+2
,
L
,a
i+j
(j ³0)，使得a
i
+a
i+1
+a
i+2
+
L
+a
i+j
=n，则称Q为
m - 连续可表数列．
（1）判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；
（2）若Q:a
1
,a
2
,
L
,a
k
为8-连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（3）若Q:a
1
,a
2
,
L
,a
k
为20-连续可表数列，且a
1
+a
2
+
L
+a
k
<20，求证：k ³7．
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