2022年高考数学试卷（文）（全国乙卷）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2022·高考数学真题

2022 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
M =2,4,6,8,10,N =  x -1< x<6 
M N =
1. 集合 ，则 I （ ）
A. {2,4} B. {2,4,6} C. {2,4,6,8} D. {2,4,6,8,10}
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为M =2,4,6,8,10 ，N =x|-1< x<6 ，所以M I N =2,4 ．
故选：A.
2. 设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（ ）
A. a=1,b=-1 B. a=1,b=1 C. a=-1,b=1 D. a=-1,b=-1
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】因为a,bÎ R， a+b+2ai=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=-1．
故选：A.
r r
r r
3. 已知向量a=(2,1)，b=(-2,4)，则 a-b （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第1页 | 共27页【答案】D
【解析】
r r
【分析】先求得a r -b r ，然后求得 a-b .
r r r r
【详解】因为a-b=2,1--2,4=4,-3，所以 a-b = 42 +-32 =5.
故选：D
4. 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是（ ）
A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C. 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D. 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
【答案】C
【解析】
【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.
7.3+7.5
【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 =7.4，A选项结论正确.
2
对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：
6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1
=8.50625>8，
16
B选项结论正确.
6
对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值 =0.375<0.4，
16
C选项结论错误.
第2页 | 共27页13
对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值 =0.8125>0.6，
16
D选项结论正确.
故选：C
ìx+ y³2,
ï
5. 若x，y满足约束条件íx+2y£4,则z =2x- y的最大值是（ ）
ï
y³0,
î
A. -2 B. 4 C. 8 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】作出可行域，数形结合即可得解.
【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数z =2x- y为y =2x-z，
上下平移直线y =2x-z，可得当直线过点 4,0 时，直线截距最小，z最大，
所以z =2´4-0=8.
max
故选：C.
6. 设F为抛物线C: y2 =4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若 AF = BF ，则 AB =（ ）
A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 3 2
第3页 | 共27页【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可
得到答案.
【详解】由题意得，F1,0 ，则 AF = BF =2，
即点A到准线x=-1的距离为2，所以点A的横坐标为-1+2=1，
不妨设点A在x轴上方，代入得，A1,2
，
所以 AB = 3-12 +0-22 =2 2.
故选：B
7. 执行下边的程序框图，输出的n=（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据框图循环计算即可.
【详解】执行第一次循环，b=b+2a =1+2=3，
a =b-a =3-1=2,n=n+1=2，
第4页 | 共27页b2 32 1
-2 = -2 = >0.01；
a2 22 4
执行第二次循环，b=b+2a =3+4=7，
a =b-a =7-2=5,n=n+1=3，
b2 72 1
-2 = -2 = >0.01；
a2 52 25
执行第三次循环，b=b+2a=7+10=17，
a =b-a =17-5=12,n=n+1=4，
b2 172 1
-2 = -2 = <0.01，此时输出n=4.
a2 122 144
故选：B
8. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是（ ）
-x3 +3x x3-x 2xcosx 2sinx
A. y = B. y = C. y = D. y =
x2 +1 x2 +1 x2 +1 x2 +1
【答案】A
【解析】
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
x3-x
【详解】设 f x= ，则 f 1=0，故排除B;
x2 +1
2xcosx æ πö
设hx= ，当xÎ ç 0, ÷时，0<cosx<1，
x2+1 è 2ø
第5页 | 共27页2xcosx 2x
所以hx= < £1，故排除C;
x2+1 x2+1
2sinx 2sin3
设gx= ，则g3= >0，故排除D.
x2+1 10
故选：A.
9. 在正方体ABCD-ABCD 中，E，F分别为AB,BC的中点，则（ ）
1 1 1 1
A. 平面BEF ^平面BDD B. 平面BEF ^平面ABD
1 1 1 1
C. 平面BEF //平面AAC D. 平面BEF //平面ACD
1 1 1 1 1
【答案】A
【解析】
【分析】证明EF ^平面BDD ，即可判断A；如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设
1
AB=2，分别求出平面BEF ，ABD，ACD的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
1 1 1 1
【详解】解：在正方体ABCD-ABCD 中，
1 1 1 1
AC ^BD且DD ^平面ABCD，
1
又EF Ì平面ABCD，所以EF ^ DD ，
1
因为E,F 分别为AB,BC的中点，
所以EF P AC，所以EF ^ BD，
又BD
I
DD
1
= D，
所以EF ^平面BDD ，
1
又EF Ì平面BEF ，
1
所以平面BEF ^平面BDD ，故A正确；
1 1
选项BCD解法一：
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，
则B 2,2,2,E2,1,0,F1,2,0,B2,2,0,A 2,0,2,A2,0,0,C0,2,0 ，
1 1
C 0,2,2 ，
1
第6页 | 共27页uuur uuur uuur uuuur
则EF =-1,1,0,EB =0,1,2，DB=2,2,0,DA =2,0,2，
1 1
uuur uuur uuuur
AA =0,0,2,AC =-2,2,0,AC =-2,2,0,
1 1 1
ur
设平面BEF 的法向量为m=x ,y ,z ，
1 1 1 1
uuuv
ìïmv×EF =-x + y =0 ur
则有í uuuv 1 1 ，可取m=2,2,-1，
ïî mv×EB = y +2z =0
1 1 1
ur
同理可得平面ABD的法向量为n =1,-1,-1，
1 1
uur
平面AAC的法向量为n =1,1,0，
1 2
uur
平面ACD的法向量为n =1,1,-1，
1 1 3
ur ur
则m×n =2-2+1=1¹0，
1
所以平面BEF 与平面ABD不垂直，故B错误；
1 1
uur
ur
因为m与n 不平行，
2
所以平面BEF 与平面AAC不平行，故C错误；
1 1
ur uur
因为m与n 不平行，
3
所以平面BEF 与平面ACD不平行，故D错误，
1 1 1
故选：A.
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设A
1
B
I
B
1
E =M ，EF
I
BD= N，则MN 为平面B
1
EF 与平面A
1
BD的
第7页 | 共27页交线，
在△BMN 内，作BP^MN 于点P，在 EMN 内，作GP^MN，交EN 于点G，连结BG，
V
则ÐBPG或其补角为平面BEF 与平面ABD所成二面角的平面角，
1 1
由勾股定理可知：PB2 +PN2 = BN2，PG2 +PN2 =GN2，
底面正方形ABCD中，E,F 为中点，则EF ^ BD，
由勾股定理可得NB2 +NG2 = BG2，
从而有：NB2 +NG2 =  PB2 +PN2 +  PG2 +PN2 = BG2，
据此可得PB2 +PG2 ¹ BG2，即ÐBPG ¹90o，
据此可得平面BEF ^平面ABD不成立，选项B错误；
1 1
对于选项C，取A
1
B
1
的中点H ，则AH
P
B
1
E，
由于AH 与平面AAC相交，故平面BEF∥平面AAC不成立，选项C错误；
1 1 1
对于选项D，取AD的中点M ，很明显四边形A
1
B
1
FM 为平行四边形，则A
1
M
P
B
1
F，
由于AM 与平面ACD相交，故平面BEF∥平面ACD不成立，选项D错误；
1 1 1 1 1 1
第8页 | 共27页故选：A.
10. 已知等比数列 a  的前3项和为168，a -a =42，则a =（ ）
n 2 5 6
A 14 B. 12 C. 6 D. 3
.
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列 a 的公比为q,q¹0，易得q ¹1，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的
n
通项即可得解.
【详解】解：设等比数列 a  的公比为q,q¹0，
n
若q =1，则a -a =0，与题意矛盾，
2 5
所以q ¹1，
ì a  1-q3 ìa =96
ïa +a +a = 1 =168 ï 1
则í 1 2 3 1-q ，解得í 1 ，
q=
ï ï
a -a =aq-aq4 =42 î 2
î
2 5 1 1
所以a =aq5 =3.
6 1
故选：D.
11. 函数 f x=cosx+x+1sinx+1在区间 0,2π 的最小值、最大值分别为（ ）
π π 3π π π π 3π π
A. - ， B. - ， C. - ， +2 D. - ， +2
2 2 2 2 2 2 2 2
【答案】D
【解析】
第9页 | 共27页【分析】利用导数求得 f x 的单调区间，从而判断出 f x 在区间 0,2π 上的最小值和最大值.
【详解】
f¢x=-sinx+sinx+x+1cosx=x+1cosx，
æ πö æ3π ö
所以 f x 在区间ç0, ÷和ç ,2π ÷上 f¢x>0，即 f x 单调递增；
è 2ø è 2 ø
æπ 3πö
在区间ç , ÷上 f¢x<0，即 f x 单调递减，
è2 2 ø
æπö π æ3πö æ3π ö 3π
又 f 0= f 2π=2， f ç ÷ = +2， f ç ÷ =- ç +1 ÷ +1=- ，
è2ø 2 è 2 ø è 2 ø 2
3π π
所以 f x 在区间 0,2π 上的最小值为- ，最大值为 +2.
2 2
故选：D
12. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积
最大时，其高为（ ）
1 1 3 2
A. B. C. D.
3 2 3 2
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值
为2r2，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体
积最大时其高的值.
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为a，
1 1 1
则S = ×AC×BD×sina£ ×AC×BD£ ×2r×2r =2r2
ABCD 2 2 2
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2
又设四棱锥的高为h，则r2 + h2 = 1，
3
1 2 2 ær2 +r2 +2h2 ö 4 3
V = ×2r2×h= r2×r2×2h2 £ ç ÷ =
O-ABCD 3 3 3 è 3 ø 27
第10页 | 共27页当且仅当r2 =2h2即h= 3 时等号成立.
3
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则
2 a2
r = a，所以该四棱锥的高h= 1- ，
2 2
æ a2 a2 a2 ö 3
V = 1 a2 1- a2 = 4 a2 × a2 ×(1- a2 ) £ 4 ç ç 4 + 4 +1- 2 ÷ ÷ = 4 ( 1 )3 = 4 3
3 2 3 4 4 2 3 ç 3 ÷ 3 3 27
ç ÷
è ø
a2 a2 4
(当且仅当 =1- ，即a2 = 时，等号成立)
4 2 3
a2 2 3
所以该四棱锥的体积最大时，其高h= 1- = 1- = .
2 3 3
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则
2 a2 1 a2 1 t3
r = a，所以该四棱锥的高h= 1- ，V = a2 1- ，令a2 =t(0<t<2)，V = t2 - ，设
2 2 3 2 3 2
t3 3t2
f t=t2 - ，则 f¢t=2t- ，
2 2
4 4
0<t < ， f¢t>0，单调递增， <t <2， f¢t<0，单调递减，
3 3
4 a2 3
所以当t = 时，V 最大，此时h= 1- = ．
3 2 3
故选：C.
【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13. 记S 为等差数列 a  的前n项和．若2S =3S +6，则公差d =_______．
n n 3 2
第11页 | 共27页【答案】2
【解析】
【分析】转化条件为2a +2d=2a +d+6，即可得解.
1 1
【详解】由2S =3S +6可得2a +a +a =3a +a +6，化简得2a =a +a +6，
3 2 1 2 3 1 2 3 1 2
即2a +2d=2a +d+6，解得d =2.
1 1
故答案为：2.
14. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
3
【答案】 ##0.3
10
【解析】
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，
1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
3
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率P= .
10
3
故答案为： .
10
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C3 =10
5
3
甲、乙都入选的方法数为C1 =3，所以甲、乙都入选的概率P=
3 10
3
故答案为：
10
15. 过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．
2 2
【 答 案 】
x-22 +y-32
=13或
x-22 +y-12
=5或
æ
x-
4ö
+
æ
y-
7ö
=
65
或
ç ÷ ç ÷
è 3ø è 3ø 9
2
æ 8ö 169
x- +y-12 = ．
ç ÷
è 5ø 25
【解析】
【分析】法一：设圆的方程为x2 + y2 +Dx+Ey+F =0，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
第12页 | 共27页【详解】[法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为x2 + y2 +Dx+Ey+F =0，
ìF =0 ìF =0
ï ï
（1）若过 0,0 ， 4,0 ，-1,1，则í16+4D+F =0 ，解得íD=-4，
ï ï
1+1-D+E+F =0 E =-6
î î
所以圆的方程为x2 + y2 -4x-6y =0，即x-22 +y-32 =13；
ìF =0 ìF =0
ï ï
（2）若过 0,0 ， 4,0 ， 4,2 ，则í16+4D+F =0 ，解得íD=-4，
ï ï
16+4+4D+2E+F =0 E =-2
î î
所以圆的方程为x2 + y2 -4x-2y =0，即x-22 +y-12 =5；
ì
ïF =0
ìF =0
ï
ï ï 8
（3）若过 0,0 ， 4,2 ，-1,1，则í1+1-D+E+F =0 ，解得íD=- ，
3
ï ï
16+4+4D+2E+F =0
î
ï 14
E =-
ï
î 3
8 14 æ 4ö 2 æ 7ö 2 65
所以圆的方程为x2 + y2 - x- y =0，即 x- + y- = ；
ç ÷ ç ÷
3 3 è 3ø è 3ø 9
ì 16
F =-
ï
5
ì1+1-D+E+F =0 ï
ï ï 16
（4）若过-1,1， 4,0 ， 4,2 ，则í16+4D+F =0 ，解得íD=- ，所以圆的方程
5
ï ï
16+4+4D+2E+F =0
î
ïE =-2
ï
î
16 16 æ 8ö 2 169
为x2 + y2 - x-2y- =0，即 x- +y-12 = ；
ç ÷
5 5 è 5ø 25
2 2
故答案为：x-22 +y-32
=13或
x-22 +y-12
=5或
æ
ç
x-
4ö
÷
+
æ
ç
y-
7ö
÷
=
65
或
è 3ø è 3ø 9
2
æ 8ö 169
x- +y-12 = ．
ç ÷
è 5ø 25
[法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设点A0,0，B4,0，C-1,1，D4,2
第13页 | 共27页（1）若圆过A、B、C 三点，圆心在直线 x=2，设圆心坐标为(2,a)，
则4+a2 =9+(a-1)2 Þa=3,r = 4+a2 = 5，所以圆的方程为(x-2)2 +(y-3)2 =13；
（2）若圆过A、B、D三点， 设圆心坐标为(2,a)，则4+a2 =4+(a-2)2 Þa=1,r = 4+a2 = 5，所
以圆的方程为(x-2)2 +(y-1)2 =5；
（3）若圆过 A、C、D三点，则线段AC的中垂线方程为 y = x+1，线段AD 的中垂线方程 为
4 7 65 4 7 65
y =-2x+5，联立得x= ,y= Þr = ，所以圆的方程为(x- )2 +(y- )2 = ；
3 3 3 3 3 9
（4）若圆过B、C、D三点，则线段BD的中垂线方程为y =1， 线段BC中垂线方程为 y =5x-7，联
立得x= 8 ,y=1Þr = 13 ，所以圆的方程为(x- 8 )2 +y-12 = 169 ．
5 5 5 25
2 2
故答案为：x-22 +y-32
=13或
x-22 +y-12
=5或
æ
ç
x-
4ö
÷
+
æ
ç
y-
7ö
÷
=
65
或
è 3ø è 3ø 9
2
æ 8ö 169
x- +y-12 = ．
ç ÷
è 5ø 25
【整体点评】法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
1
16. 若 f x=ln a+ +b是奇函数，则a =_____，b=______．
1-x
1
【答案】 ①. - ； ②. ln2．
2
【解析】
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
1
【详解】因为函数 f x=ln a+ +b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
1-x
1 a+1 1
由a+ ¹0可得， 1-xa+1-ax¹0，所以x= =-1，解得：a =- ，即函数的定义域为
1-x a 2
-¥,-1È-1,1È1,+¥ ，再由 f 0=0可得，b=ln2．即
第14页 | 共27页1 1 1+x
f x=ln - + +ln2=ln ，在定义域内满足 f -x=-f x ，符合题意．
2 1-x 1-x
1
故答案为：- ；ln2．
2
三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 记
ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsinA-B=sinBsinC-A
．
V
（1）若A=2B，求C；
（2）证明：2a2 =b2 +c2
5π
【答案】（1） ；
8
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，sinC =sinC-A ，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得
sinCsin AcosB-cosAsinB=sinBsinCcosA-cosCsinA
，再根据正弦定理，余弦定理化简即
可证出．
【小问1详解】
π
由A=2B，sinCsinA-B=sinBsinC-A 可得，sinCsinB=sinBsinC-A ，而0< B< ，
2
所以sinBÎ0,1 ，即有sinC =sinC-A>0，而0<C <π,0<C-A<π，显然C ¹C-A，所以，
5π
C+C-A=π，而A=2B，A+B+C=π，所以C = ．
8
【小问2详解】
由sinCsinA-B=sinBsinC-A
可得，
sinCsin AcosB-cosAsinB=sinBsinCcosA-cosCsinA
，再由正弦定理可得，
accosB-bccosA=bccosA-abcosC，然后根据余弦定理可知，
1 1 1 1
 a2 +c2 -b2 -  b2 +c2 -a2 =  b2 +c2 -a2 -  a2 +b2 -c2 ，化简得：
2 2 2 2
第15页 | 共27页2a2 =b2 +c2，故原等式成立．
18. 如图，四面体ABCD中，AD ^CD,AD =CD,ÐADB =ÐBDC，E为AC的中点．
（1）证明：平面BED^平面ACD；
（2）设AB = BD =2,ÐACB =60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F -ABC 的体
积．
【答案】（1）证明详见解析
3
（2）
4
【解析】
【分析】（1）通过证明AC ^平面BED来证得平面BED^平面ACD.
（2）首先判断出三角形AFC的面积最小时F 点的位置，然后求得F 到平面ABC的距离，从而求得三棱
锥F -ABC 的体积.
【小问1详解】
由于AD=CD，E是AC的中点，所以AC ^DE.
ìAD=CD
ï
由于íBD= BD ，所以△ADB@△CDB，
ï
ÐADB=ÐCDB
î
所以AB =CB，故AC ^BD，
由于DEÇBD= D，DE,BDÌ 平面BED，
所以AC ^平面BED，
由于ACÌ平面ACD，所以平面BED^平面ACD.
【小问2详解】
解法1：判别几何关系
第16页 | 共27页依题意AB= BD= BC =2，ÐACB=60°，三角形ABC是等边三角形，
所以AC =2,AE =CE =1,BE = 3，
由于AD=CD,AD^CD，所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以DE =1.
DE2 +BE2 = BD2，所以DE ^ BE，
由于ACÇBE = E，AC,BE Ì平面ABC，所以DE^平面ABC.
由于△ADB@△CDB，所以ÐFBA=ÐFBC，
ìBF = BF
ï
由于íÐFBA=ÐFBC，所以 FBA@ FBC，
V V
ï
AB=CB
î
所以AF =CF ，所以EF ^ AC，
1
由于S = ×AC×EF ，所以当EF 最短时，三角形AFC的面积最小
VAFC 2
过E作EF ^ BD，垂足为F ，
1 1 3
在Rt△BED中， ×BE×DE = ×BD×EF ，解得EF = ，
2 2 2
2
æ 3ö 1 3
所以DF = 12 -ç ÷ = ,BF =2-DF = ，
ç ÷
2 2 2
è ø
BF 3
所以 =
BD 4
FH BF 3
过F 作FH ^ BE，垂足为H ，则FH//DE ，所以FH ^平面ABC，且 = = ，
DE BD 4
3
所以FH = ，
4
1 1 1 3 3
所以V = ×S ×FH = ´ ´2´ 3´ = .
F-ABC 3 VABC 3 2 4 4
解法2：等体积转换
AB= BC，ÐACB=60°，AB=2
Q
第17页 | 共27页\DABC是边长为2的等边三角形，
\BE = 3
连接EF
DADB@DCDB\AF =CF
Q
\EF ^ AC
\在DBED中，当EF ^BD时，DAFC面积最小
AD^CD,AD=CD,AC =2,E为AC中点
Q
\DE=1 DE2 +BE2 =BD2
Q
\BE^ED
BE×DE 3
若EF ^BD,在DBED中，EF= =
BD 2
3
BF = BE2 -EF2 =
2
1 1 3 3 3 3
\S = BF×EF = × × =
DBEF 2 2 2 2 8
1 1 3 3 3
\V =V +V = S ×AC = × ×2=
F-ABC A-BEF C-BEF 3 DBEF 3 8 4
19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选
取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
总
样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
和
根部横截面积
004
0.04 0.06 . 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
x
i
材积量y 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
i
10 10 10
并计算得 åx2 =0.038,åy2 =1.6158,åx y =0.2474．
i i i i
i=1 i=1 i=1
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为
186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量
第18页 | 共27页的估计值．
n
å(x -x)(y - y)
i i
附：相关系数r = i=1 , 1.896 »1.377．
n n
å(x -x)2å(y - y)2
i i
i=1 i=1
【答案】（1）0.06m2；0.39m3
（2）0.97
（3）1209m3
【解析】
【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平
均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；
（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估
计值．
【小问1详解】
0.6
样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x = =0.06
10
3.9
样本中10棵这种树木的材积量的平均值y = =0.39
10
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2，
平均一棵的材积量为0.39m3
【小问2详解】
10 10
åx -xy - y åx y -10xy
i i i i
r = i=1 = i=1
10 10 æ 10 öæ 10 ö
åx -x2åy - y2 åx2 -10x2 åy2 -10y2
i i ç i ÷ç i ÷
i=1 i=1 è i=1 øè i=1 ø
0.2474-10´0.06´0.39 0.0134 0.0134
= = » »0.97
(0.038-10´0.062)(1.6158-10´0.392) 0.0001896 0.01377
则r»0.97
【小问3详解】
设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
第19页 | 共27页0.06 186
可得 = ，解之得Y=1209m3．
0.39 Y
则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3
1
20. 已知函数 f(x)=ax- -(a+1)lnx．
x
（1）当a=0时，求 f(x)的最大值；
（2）若 f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）-1
（2）
0,+¥
【解析】
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
ax-1x-1
（2）求导得 f¢x= ，按照a£0、0<a<1及a>1结合导数讨论函数的单调性，求得函
x2
数的极值，即可得解.
【小问1详解】
1 1 1 1-x
当a=0时， f x=- -lnx,x>0，则 f¢x= - = ，
x x2 x x2
当xÎ0,1 时， f¢x>0， f x 单调递增；
当xÎ1,+¥ 时， f¢x<0， f x 单调递减；
所以 f x = f 1=-1；
max
【小问2详解】
1 1 a+1 ax-1x-1
f x=ax- -a+1lnx,x>0，则 f¢x=a+ - = ，
x x2 x x2
当a£0时，ax-1<0，所以当xÎ0,1 时， f¢x>0， f x 单调递增；
当xÎ1,+¥ 时， f¢x<0， f x 单调递减；
所以 f x = f 1=a-1<0，此时函数无零点，不合题意；
max
当0<a<1时， 1 >1，在0,1, æ ç 1 ,+¥ ö ÷上， f¢x>0， f x 单调递增；
a èa ø
æ 1ö
在ç 1, ÷上， f¢x<0， f x 单调递减；
è aø
第20页 | 共27页又 f 1=a-1<0，
1 1
由（1）得 +lnx³1，即ln ³1-x，所以lnx< x,ln x < x,lnx<2 x，
x x
1 1
当x>1时， f(x)=ax- -(a+1)lnx>ax- -2(a+1) x >ax-(2a+3) x ，
x x
则存在m= æ ç 3 +2 ö ÷ 2 > 1 ，使得 f m>0，
èa ø a
æ1 ö
所以 f x 仅在ç ,+¥ ÷有唯一零点，符合题意；
èa ø
x-12
当a =1时， f¢x= ³0，所以 f x 单调递增，又 f 1=a-1=0，
x2
所以 f x 有唯一零点，符合题意；
当a>1时， 1 <1，在 æ ç0, 1ö ÷,1,+¥上， f¢x>0， f x 单调递增；
a è aø
æ1 ö
在ç ,1 ÷上， f¢x<0， f x 单调递减；此时 f 1=a-1>0，
èa ø
1 1 æ 1 ö
由（1）得当0< x<1时，lnx>1- ，ln x >1- ，所以lnx>2 ç 1- ÷，
x x è xø
1 1 æ 1 ö 1 2(a+1)
此时 f(x)=ax- -(a+1)lnx<ax- -2(a+1) ç 1- ÷ <- + ,
x x è xø x x
1 1
存在n= < ，使得 f(n)<0，
4(a+1)2 a
æ 1ö æ1 ö
所以 f x 在ç 0, ÷有一个零点，在ç ,+¥ ÷无零点，
è aø èa ø
所以 f x 有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为
0,+¥
.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数
的单调性与极值的问题.
æ3 ö
21. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A0,-2,B ç ,-1 ÷两点．
è2 ø
第21页 | 共27页（1）求E的方程；
（2）设过点P1,-2
的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满
uuur uuur
足MT =TH ．证明：直线HN过定点．
y2 x2
【答案】（1） + =1
4 3
（2）(0,-2)
【解析】
【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
【小问1详解】
æ3 ö
解：设椭圆E的方程为mx2 +ny2 =1，过A0,-2,B ç ,-1 ÷，
è2 ø
ì 4n=1
ï 1 1
则í9 ，解得m= ，n= ，
m+n=1 3 4
ï
î4
y2 x2
所以椭圆E的方程为： + =1.
4 3
【小问2详解】
3 2
A(0,-2),B( ,-1)，所以AB: y+2= x，
2 3
x2 y2
①若过点P(1,-2)的直线斜率不存在，直线x=1.代入 + =1，
3 4
2 6 2 6 2
可得M(1,- )，N(1, )，代入AB方程y = x-2，可得
3 3 3
2 6 uuur uuur 2 6
T(- 6+3,- )，由MT =TH 得到H(-2 6+5,- ).求得HN方程：
3 3
2 6
y =(2+ )x-2，过点(0,-2).
3
②若过点P(1,-2)的直线斜率存在，设kx- y-(k+2)=0,M(x ,y ),N(x ,y ).
1 1 2 2
第22页 | 共27页ìkx- y-(k+2)=0
ï
联立í x2 y2 ,得(3k2 +4)x2 -6k(2+k)x+3k(k+4)=0，
+ =1
ï
î 3 4
ì 6k(2+k) ì -8(2+k)
x +x = y + y =
ï ï 1 2 3k2 +4 ï ï 1 2 3k2 +4
可得í ，í ，
3k(4+k) 4(4+4k-2k2)
ï ï
x x = y y =
ïî 1 2 3k2 +4 ïî 2 2 3k2 +4
-24k
且x y +x y = (*)
1 2 2 1 3k2 +4
ì y = y
ï 1 3y
联立í 2 ,可得T( 1 +3,y ),H(3y +6-x ,y ).
y = x-2 2 1 1 1 1
ï
î 3
y - y
可求得此时HN : y- y = 1 2 (x-x )，
2 3y +6-x -x 2
1 1 2
将(0,-2)，代入整理得2(x +x )-6(y + y )+x y +x y -3y y -12=0，
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
将(*)代入，得24k+12k2 +96+48k-24k-48-48k+24k2 -36k2 -48=0,
显然成立，
综上，可得直线HN过定点(0,-2).
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
（二）选考题：共 10分．请考生在第 22、23题中选定一题作答，并用 2B铅笔在答题卡上
将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；
多答按所答第一题评分.
[选修 4—4：坐标系与参数方程]
ìïx= 3cos2t
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为í ，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正
ïîy =2sint
æ pö
半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为rsin
ç
q+
÷
+m=0．
è 3ø
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
第23页 | 共27页【答案】（1） 3x+ y+2m=0
é 19 5ù
（2） - ,
ê ú
ë 12 2û
【解析】
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）方法一：联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.
【小问1详解】
æ pö 1 3
因为l：rsin ç q+ ÷ +m=0，所以 r×sinq+ r×cosq+m=0，
è 3ø 2 2
1 3
又因为r×sinq= y,r×cosq= x，所以化简为 y+ x+m=0，
2 2
整理得l的直角坐标方程： 3x+ y+2m=0
【小问2详解】
[方法一]：【最优解】参数方程
联立l与C的方程，即将x= 3cos2t，y =2sint 代入 3x+ y+2m=0中，
可得3cos2t+2sint+2m=0Þ3(1-2sin2t)+2sint+2m=0，
化简为-6sin2t+2sint+3+2m=0，
要使l与C有公共点，则2m=6sin2t-2sint-3有解，
令sint =a，则aÎ-1,1 ，令 f(a)=6a2 -2a-3，(-1≤a≤1)，
1
对称轴为a= ，开口向上，
6
\ f(a) = f(-1)=6+2-3=5，
max
1 1 2 19
f(a) = f( )= - -3=- ，
min 6 6 6 6
19 é 19 5ù
\- £2m£5，即m的取值范围为 - , .
ê ú
6 ë 12 2û
[方法二]：直角坐标方程
ìïx= 3cos2t 2 3
由曲线C的参数方程为í ，t为参数，消去参数t，可得y2 =- x+2，
ïîy =2sint 3
第24页 | 共27页ì 3x+ y+2m=0
ï æ 1ö 2 19
联立í 2 3 ，得3y2 -2y-4m-6=0(-2£ y£2)，即4m=3y2 -2y-6=3 ç y- ÷ - ，
ïy2 =- x+2 è 3ø 3
î 3
19 19 5 é 19 5ù
即有- £4m£10，即- £m£ ，\m的取值范围是 - , ．
ê ú
3 12 2 ë 12 2û
【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；
方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质
上差不多，但容易忽视y的范围限制而出错．
[选修 4—5：不等式选讲]
3 3 3
23. 已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
a2 +b2 +c2 =1
1
（1）abc£ ；
9
a b c 1
（2） + + £ ；
b+c a+c a+b 2 abc
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
【小问1详解】
3 3 3
证明：因为a >0，b>0，c>0，则 ， ， ，
a2 >0 b2 >0 c2 >0
3 3 3
所以 a2 +b2 +c2 3 3 3 3 ，
³ a2 ×b2 ×c2
3
即abc 1 2 £ 1 ，所以abc£ 1 ，当且仅当 a 3 2 =b 3 2 =c 3 2 ，即a =b=c= 3 1 时取等号．
3 9 9
【小问2详解】
证明：因为a >0，b>0，c>0，
所以b+c³2 bc ，a+c³2 ac ，a+b³2 ab ，
3 3 3
a a a2 b b b2 c c c2
所以 ， ，
£ = £ = £ =
b+c 2 bc 2 abc a+c 2 ac 2 abc a+b 2 ab 2 abc
第25页 | 共27页3 3 3 3 3 3
a b c a2 b2 c2 a2 +b2 +c2 1
+ + £ + + = =
b+c a+c a+b 2 abc 2 abc 2 abc 2 abc 2 abc
当且仅当a=b=c时取等号．
第26页 | 共27页第27页 | 共27页