2024番禺区中考一模数学试题答案解析_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_广州2024年中考一模_番禺区

2024 年九年级数学科综合测试题
【试卷说明】1．本试卷共 6页，全卷满分 120分，考试时间为 120分钟，考生应将答案全
部 (涂)写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效；
2．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号等填 (涂)写到答题卡上；
3．作图必须用 2B铅笔，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 3分，满分 30分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．)
1. 下列各式中运算正确的是（ ）
A. 3a−2a=1 B.
a−(−a+1 )=−1
C. −32 +(−3 )2 =0 D. (−2a )3 =6a3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，去括号，有理数的乘方和积的乘方，根据合并同类项，有理数的乘方，
去括号和积的乘方运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】A、3a−2a=a，原选项计算错误，不符合题意；
B、a−(−a+1 )=a+a−1=2a−1，原选项计算错误，不符合题意；
C、−32 +(−3 )2 =−9+9=0，原选项计算正确，符合题意；
D、(−2a )3 =−8a3，原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
2. 下列图形中既 ． 是 ． 轴对称图形又 ． 是 ． 中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于
这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能
够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是
解题的关键．
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．即是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（ ）
1 1
（1）abc>0；（2）−c>a>−b；（3） > ；（4） c > a
b a
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查数轴，倒数，相反数和绝对值，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起
来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题．利用数形结合是解题的关键．
根据有理数大小的比较可得数轴上的右边的数总大于左边的数得出c<−2<b<0<1<a， c > a > b ，
根据有理数的乘法可判断（1）正确；根据相反数的定义可判断（2）；根据倒数的定义可判断（3）；根据
绝对值的定义可判断（4）．
【详解】解：结合图形，根据数轴上的右边的数总大于左边的数，可得c<−2<b<0<1<a，
c > a > b ，
∴（1）abc>0，正确；
（2）−c>a>−b，正确；
1 1
（3） < ，错误；
b a
（4） c > a ，正确．
故正确的3个，
故选：C．
第2页/共25页
学科网（北京）股份有限公司4. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个
数用科学记数法表示为（ ）
A. 3.2×109 B. 0.32×106 C. 32×104 D. 3.2×105
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1 ≤ a < 10，n为整数即可求解，解题的关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：320000=3.2×105，
故选：D．
5. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A. 点数的和为1 B. 点数的和为6
C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、点数和为1，是不可能事件，不符合题意；
B、点数和为6，是随机事件，符合题意；
C、点数和大于12，是不可能事件，不符合题意；
D、点数的和小于13，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
6. 如图， 在Y ABCD中，AB =4，BC =6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF ，若四
边形ECDF 为菱形，则a的值可以为（ ）
2 3
A. 2 B. 3 C. D.
3 2
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，熟练掌握菱形的判定方法
是解决问题的关键．先证得四边形ECDF 为平行四边形，当CD=CE =4时，ECDF为菱形，此时
a=BE=BC−CE=6−4=2，即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即CE∥DF，CD= AB=4，
∵将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF ，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形ECDF 为平行四边形，
∴当CD=CE =4时，ECDF为菱形，
此时a=BE=BC−CE=6−4=2．
故选：A
7. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. 正六边形的外角和大于正五边形的外角和
B. 正六边形的每一个内角为60°
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理，根据多边形外角和、正多边形内角和，矩形的判定，等边三角形的判
定，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】A、正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为360°，原选项不符合题意；
B、正六边形的内角和为720°， 则每一个内角为120°，原选项不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，原选项不符合题意；
D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，原选项符合题意；
故选：D．
8. 新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌
的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本
为12.8 万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为x，
则根据题意所列方程正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 13 ( 1−x )2 =12.8 B. 13 ( 1−x2 ) =12.8
C. 12.8 ( 1−x2 ) =13 D. 13 ( 1+x )2 =12.8
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每个月生产成本的下降率为x，由题意可列方程
13 ( 1−x )2 =12.8，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设每个月生产成本的下降率为x，
由题意得：13 ( 1−x )2 =12.8，
故选：A．
9. 如图，抛物线y =ax²+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C， 点B在y轴上， 则ac的值为（ ）
A. −1 B. 2 C. −3 D. −2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的图象与性质，二次函数解析式．熟练掌握正方形的性质，二
次函数的图象与性质，二次函数解析式是解题的关键．
由题意知，A、C关于y轴对称，如图，连接AC交OB于D，设OD= BD= AD=CD=m，则
c=2m

B ( 0，2m ) ，A ( m，m ) ，将B ( 0，2m ) ，A ( m，m ) ，代入y =ax²+c，可求 1 ，然后代值求解即
a =−
 m
可．
【详解】解：由题意知，A、C关于y轴对称，
如图，连接AC交OB于D，
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学科网（北京）股份有限公司∵正方形OABC，
∴OD= BD= AD=CD，
设OD= BD= AD=CD=m，则B ( 0，2m ) ，A ( m，m ) ，
c=2m
将B ( 0，2m ) ，A ( m，m ) ，代入y =ax²+c得， ，
am2 +c=m
c=2m

解得， 1 ，
a =−
 m
1
∴ac=− ⋅2m=−2，
m
故选：D．
a+b
10. 若关于x的一个一元一次不等式组的解集为a< x<b (a、b为常数且a<b )，则称 为这个不等
2
2x> x+m  1
式组的“解集中点”．若关于x的不等式组  的解集中点大于方程 3x+  =2x+3的解且小
 x−4<m  3
于方程2x+6=4x的解， 则 m 的取值范围是（ ）
A. 0<m<1 B. m<0 C. m > 1 D. −2<m<1
【答案】A
【解析】
2x> x+m
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，先求出不等式组 的解集、方程
 x−4<m
 1 2x> x+m
3x+  =2x+3的解和方程2x+6=4x的解，再根据关于x的不等式组  的解集中点大于方
 3  x−4<m
 1
程3x+

=2x+3的解且小于方程2x+6=4x的解，即可得到m的取值范围，解题的关键是熟练掌握解
 3
一元一次不等式组的方法和解一元一次方程的方法．
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学科网（北京）股份有限公司2x> x+m
【详解】由 可得：m< x<m+4，
 x−4<m
 1
方程3x+

=2x+3的解为x=2，
 3
方程2x+6=4x的解为x=3，
2x> x+m  1
∵关于x的不等式组 的解集中点大于方程3x+  =2x+3的解且小于方程 2x+6=4x的
 x−4<m  3
解，
m+m+4
∴2< <3，
2
解得0<m<1，
故选：A．
二、填空题 (共 6小题，每小题 3分，满分 18分．)
3
11. 若分式 有意义，则实数x的取值范围是__________．
2−x
【答案】x≠ 2
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：由分式有意义的条件可知：2-x≠0，
∴x≠2，
故答案为：x≠ 2．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
12. 分解因式：x2y− y3=__________________.
【答案】y(x+ y)(x− y)
【解析】
【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=y(x+ y)(x− y)
考点：分解因式
点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式．
3 1
13. 方程 = 的解为______．
5x+1 2x
【答案】x=1
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】方程两边同时乘以2x ( 5x+1 ) 化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．
【详解】解：方程两边同时乘以2x ( 5x+1 ) ，得6x=5x+1，
解得：x=1，
经检验，x=1是原方程的解，
故答案为：x=1．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
14. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3＝______．
【答案】25°
【解析】
【分析】如图，由平行线的性质可求得∠4，结合三角形外角的性质可求得∠3．
【详解】解：如图，
∵a∥b，
∴∠4=∠2=55°，
又∵∠4=∠1+∠3，
∴∠3=∠4-∠1=55°-30°=25°．
故答案为：25°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
15. 如图， 在ABC中，AB= AC， 点 O 在边AC上， 以O为圆心， 3 为半径的圆恰好过点C，且与
边AB相切于点D，交边BC于点E，则劣弧DE的长是_______(结果保留π ) ．
第8页/共25页
学科网（北京）股份有限公司3
【答案】 π
2
【解析】
【分析】如图，连接OD，由AB是切线，可得∠ODB=90°，由等边对等角可得
90π×3
∠B=∠ACB=∠OEC，则OE∥AB，∠DOE =180°−∠ODB=90°，根据D  E = ，计算求
180
解即可．
【详解】解：如图，连接OD，
∵AB是切线，
∴∠ODB=90°，
∵AB= AC，OE =OC，
∴∠B=∠ACB=∠OEC，
∴OE∥AB，
∴∠DOE =180°−∠ODB=90°，
90π×3 3
∴D  E = = π，
180 2
3
故答案为： π．
2
【点睛】本题考查了切线的性质，等边对等角，平行线的判定，弧长．熟练掌握切线的性质，等边对等
角，平行线的判定，弧长是解题的关键．
( )
16. 如图，已知在直角三角形ABO中，点 B的坐标为 −1，3 ，将ABO绕点O旋转至△A′B′O的位置，
第9页/共25页
学科网（北京）股份有限公司k
使点A′落在边OB上，点B′落在反比例函数y = 的图象上，则k的值为_______．
x
【答案】 3
【解析】
AB
【分析】由题意知，tan∠AOB= = 3，则∠AOB=60°，BO与y轴的夹角为30°，由旋转的性
OA
质可知，∠A′OB′=∠AOB=60°，B′O= BO，则B′O与y轴的夹角为30°，即B′、B关于y轴对称，
( ) ( ) k
B′ 1，3 ，将B′ 1，3 代入y = ，计算求解即可．
x
AB
【详解】解：由题意知，tan∠AOB= = 3，
OA
∴∠AOB=60°，
∴BO与y轴的夹角为30°，
由旋转的性质可知，∠A′OB′=∠AOB=60°，B′O= BO，
∴B′O与y轴的夹角为30°，
∴B′、B关于y轴对称，
( )
∴B′ 1，3 ，
( ) k
将B′ 1，3 代入y = ，可得，k = 3，
x
故答案为： 3．
【点睛】本题考查了正切，旋转的性质，轴对称，反比例函数解析式．根据题意确定点B′的坐标是解题的
关键．
三、解答题 (本大题共9小题，满分 72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
 x+2
x≥
17. 解不等式组：  3
 5x−3<5+x
【答案】1≤ x<2．
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可，熟
练掌握不等式组的解法是解题的关键．
 x+2
x≥ ①
【详解】解： 3 ，
 5x−3<5+x②
解不等式①得，x≥1，
解不等式②得，x<2，
∴不等式组的解集为1≤ x<2．
18. 如图， 点E、F在线段BC上， AB∥CD，∠A=∠D， BE =CF ．
求证：AB=CD．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质知识，根据平行线的性质可得∠B=∠C，
进而根据AAS证明△ABE≌△DCE，再由全等三角形的性质即可求证，解题的关键是掌握全等三角形的
判定与性质．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在ABE和△DCE中
∠A=∠D

∠B=∠C

BE =CF
∴ABE≌DCE ( AAS ) ，
∴AB=CD．
19. 如图， 在Y ABCD中， ∠DCB=30°．
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学科网（北京）股份有限公司（1）操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）计算∶ 在（1）的条件下， 若AD=4， AB=6， 求梯形EBCD的面积．
【答案】（1）作图见解析；
（2）12−2 3．
【解析】
【分析】（1）根据作垂线的尺规作图的方法即可；
（2）先由平行四边形的性质得出CD= AB=6，再利用30°所对直角边是斜边的一半求出DE的长，再
利用求梯形面积的方法即可求解．
【小问1详解】
①以D为圆心，任意长度为半径画弧，交AB于点M、N ，
②分别以M、N 为圆心，MD的长度为半径画弧，两弧交于点H ，
③连接DH ，交AB于点E，
如图，
∴DE即为所求；
【小问2详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD= AB=6，
由（1）得：DE⊥AB，
∵∠DCB=30°，
1
∴DE = AD=2，
2
由勾股定理得：AE = AD2 −DE2 = 42 −22 =2 3，
第12页/共25页
学科网（北京）股份有限公司∴BE =6−2 3，
1 1( )
∴梯形EBCD的面积为 ( BE+CD )×DE = 6−2 3+6 ×2=12−2 3．
2 2
【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，30°所对直角边是斜边的一半，梯形面积公式和勾股
定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
 2 1 x2 −x
20. 已知 A=  −  ÷ ．
 x+1 x x2 +2x+1
（1）化简A；
（2）若已知 x2 −x−1=0，求A的值．
x+1
【答案】（1） ；
x2
（2）1．
【解析】
【分析】（1）先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法即可；
（2）用整体代入求值求值即可；
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
 2 1 x2 −x
解：A=  −  ÷ ，
 x+1 x x2 +2x+1
x−1 ( x+1 )2
= × ，
x ( x+1 ) x ( x−1 )
x+1
= ；
x2
【小问2详解】
∵x2 −x−1=0，
∴x2 = x+1，
x2
∴原式= =1．
x2
k
21. 已知一次函数y =2x+m的图象与反比例函数 y = ( k >0 )的图象交于A，B两点．
x
( )
（1）当点A的坐标为 2,1 时．
第13页/共25页
学科网（北京）股份有限公司①求m， k的值；
k
②分别作出上述一次函数与反比例函数的大致图象(不用列表)，并依据图象，直接写出不等式 >2x+m
x
的解集；
（2）若将函数y =2x+m的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，点A，B恰好关于原点对称，求m的
值．
【答案】（1）① m=−3，k =2；②画图见解析，x<−1或0< x<2；
（2）m=4．
【解析】
【分析】（1）①待定系数法求解析式即可；
②根据函数的图象即可求解；
（2）由一次函数y =2x+m的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，可得y =2x+m−4，
m−4
又点A，B恰好关于原点对称，则 =0，求解即可；
2
本题考查了待定系数法，一次函数的平移，一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握知识点的应用是解题
的关键．
【小问1详解】
①将点A ( 2,1 ) 代入一次函数y =2x+m，得4+m =1，
解得m=−3，
k
将点A ( 2,1 ) 代入反比例函数y = ，
x
得k =2×1=2；
2
②由①得一次函数y =2x−3，反比例函数y = ，
x
画图如图：
第14页/共25页
学科网（北京）股份有限公司y =2x−3
 x=2 x=−1
联立 2 ，解得： 或 ，
y = y =1 y =−4
 x
k
根据图象可知：当x<−1或0< x<2时 >2x+m；
x
【小问2详解】
一次函数y =2x+m的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，可得y =2x+m−4，
y =2x+m−4

联立 k ，
y =
 x
∴2x2 +( m−4 ) x−k =0，
∵点A，B恰好关于原点对称，
∴点A，B的横坐标之和为0，
m−4
∴ =0，解得m=4．
2
22. 《广州市生活垃圾分类管理条例》实施以来，我区多次组织共产党员到社区进行垃圾分类宣传志愿服务，
第15页/共25页
学科网（北京）股份有限公司带头破解小区垃圾分类难点、堵点问题，社区垃圾分类文明实践蔚然成风．生活垃圾分为四类：可回收物、
餐厨垃圾、有害垃圾、其他垃圾，某校“玩转数学”小组在对当地垃圾分类调查中，绘制了如图所示的垃圾
分类扇形统计图．
（1）求图中可回收物所在的扇形的圆心角的度数；
（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.15万元．若某镇某月生活垃圾清运总量
为2000吨，请估计该月可回收物可创造的经济总价值是多少万元？
（3）为了进一步宣传垃圾分类知识，提升青少年环保参与意识，提高居民分类质量，学校开展了“桶边
督导进小区，少年助力齐参与”垃圾分类宣传志愿者活动，每班每次从志愿报名参加的同学中派2名同学
参加．甲班经选拔后，决定从小组3名男生和2名女生中随机抽取2名同学在党员教师的带领下参加小区
的宣传服务活动，求所抽取的学生中恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）72°；
（2）估计该月可回收物可创造的经济总价值是60万元；
3
（3） ．
5
【解析】
【分析】（1）根据统计图中的数据用360°乘以可回收物所占百分比，可以计算可回收物所对应的扇形圆
心角的度数；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出该市2000吨垃圾中可回收物的吨数；
（3）列表后利用概率公式求解可得；
本题考查扇形统计图以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总
数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
【小问1详解】
解：360×20%=72°，
答：可回收物所在的扇形的圆心角的度数为72°；
【小问2详解】
解：2000×20%×0.15=60（万元）；
第16页/共25页
学科网（北京）股份有限公司答：估计该月可回收物可创造的经济总价值是60万元；
【小问3详解】
解：用A、B、C 表示3名男生，用D、E表示两名女生，列表如下：
A B C D E
( )
A (A,B) (A,C) (A,D) A,E
( ) ( )
B (B,A) B,C (B,D) B,E
( )
C (C,A) (C,B) (C,D) C,E
( ) ( ) ( )
D D,A D,B D,C (D,E)
( )
E (E,A) (E,B) (E,C) E,D
共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种，
12 3
∴P= = ．
20 5
23. 如图，以Rt△ABC 的一边AB为直径作ABC的外接圆O，∠B的平分线BE 交AC于D，交O
于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F ．
（1）判断EF 是否是O切线，并证明你的结论；
（2）连接AE，若AE =2 5，AB=10，求点C到直线AB的距离．
【答案】（1）EF 是O的切线，证明见解析；
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（2） ．
5
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义，圆周角定理以及垂径定理得出OE⊥AC ，再根据平行线的性质得到
EF ⊥OE，由切线的判定方法即可得出结论；
（2）根据圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理求出EF ，OF ，再由相似三角形的性质和勾
股定理求出AC、BC ，由三角形的面积公式进行计算即可；
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质和判定方法，圆周角
定理，相似三角形的判定和性质以及勾股定理是解题的关键．
【小问1详解】
解：EF 是O切线，证明如下：如图，连接OE，
∵BE 是∠ABC的平分线，
1
∴∠ABE =∠CBE = ∠ABC，
2
∴AE =CE，
∴OE⊥AC ，
∵EF∥AC，
∴OE ⊥ EF ，
∵OE是O的半径，
∴EF 是O的切线；
【小问2详解】
∵AB是O的直径，
∴∠AEB=∠ACB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
在RtAEB中，AB=10，AE =2 5，
∴BE = AB2 −AE2 =4 5，
∵OA=OE，
第18页/共25页
学科网（北京）股份有限公司∴∠EAO =∠AEO，
∵∠OEF =90°，即∠AEF +∠AEO=90°，
∴∠AEF =∠ABE，
∵∠F =∠F ，
∴FAE∽FEB，
AF EF AE 2 5 1
∴ = = = = ，
EF BF EB 4 5 2
设EF = x，则BF =2x，OF =2x−5，
在Rt△OEF 中，EF = x，OE =5，OF =2x−5，
∵OE2 +EF2 =OF2，即25+x2 =( 2x−5 )2，
20
解得x= 或x=0（舍去），
3
20 25
即EF = ，OF =2x−5= ，
3 3
∵EF∥AC，
∴∠F =∠BAC，
∵∠OEF =∠BCA=90°，
∴ABC∽FOE，
AC EF 4
∴ = = ，
BC OE 3
AC 4
在Rt△ABC 中，AB=10 ， = ，
BC 3
∴AC =8，BC =6，
8×6 24
∴点C到AB的距离为 = ．
10 5
( ) ( ) 2
24. 过点B 4, 2 , C −1, 2 的抛物线y = x2 +bx+c与y轴交于点A．
2
（1）求b，c的值；
2
（2）直线BC交y轴于点D，点E是抛物线y = x2 +bx+c上位于直线AB下方的一动点，过点E作
2
直线AB的垂线，垂足为F ．
①求EF 的最大值；
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②当 ∠ABC = ∠FAE时，求点E的坐标．
2
3 2
【答案】（1）b=− ，c=− 2；
2
4 3 ( )
（2）① EF 最大值为 ；② E 2,−2 2 ．
3
【解析】
【分析】本题考查了二次函数，一次函数的性质及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
( ) ( ) 2
（1）直接利用待定系数法，把B 4, 2 、C −1, 2 代入抛物线y = x2 +bx+c即可求得；
2
2
（2）①直线AB的解析式为y = x− 2，先求出设BC与x轴交于点D，过E作EH ⊥ x轴于点
2
EF BD 4 6 6
H ，交AB于点G，根据cos∠FEG =cos∠HBG，即 = = = ，得EF = EG，设
GE AB 2 6 3 3
 2   2 3 2 
点Gx, x− 2，则点Ex, x2 − x− 2，则
   
 2   2 2 
2  2 3 2  2
GE = x− 2−

x2 − x− 2

=− ( x−2 )2 +2 2，求出GE最大值2 2即可；
2 2 2 2
 
1
②由B、C的坐标特点，得到BC∥x轴， 又∠ABC = ∠FAE和直线的解析式即可求得；
2
【小问1详解】
 2
 2 = ×42 +4b+c
( ) ( ) 2  2
把 B 4, 2 、C −1, 2 代入抛物线y = x2 +bx+c可得， ，
2  2 = 2 ×(−1 )2 −b+c

 2
 3 2
b=−
解得  2 ；

 c=− 2
【小问2详解】
2 3 2
由（1）得，抛物线的解析式为y = x2 − x− 2，
2 2
( )
∴A 0,− 2 ，
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∵B 4, 2 ，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
( ) ( )
把A 0,− 2 、B 4, 2 代入解析式y=kx+b得，
 2
 0+b=− 2 k =
 ，解得  2 ，
4k+b= 2 
b=− 2
2
∴直线AB的解析式为y = x− 2，
2
设BC与x轴交于点D，过E作EH ⊥ x轴于点H ，交AB于点G，
∴∠EFG =∠BHG =90，
∴∠FEG =∠HBG，
2 3 2 ( )
由y = x2 − x− 2得D 0, 2 ，
2 2
( ) ( ) ( )
又A 0,− 2 ，B 4, 2 ，C −1, 2 ，
∴BD=4，AC =2 2，
( )2
∴由勾股定理得：AB= AD2 +BD2 = 2 2 +42 =2 6，
EF BD 4 6
∴cos∠FEG =cos∠HBG，即 = = = ，
GE AB 2 6 3
6
∴EF = EG，
3
 2   2 3 2 
设点Gx, x− 2，则点Ex, x2 − x− 2，
   
 2   2 2 
2  2 3 2  2
则GE = x− 2− x2 − x− 2=− ( x−2 )2 +2 2 ，
 
2  2 2  2
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学科网（北京）股份有限公司2
∵− <0，
2
故当x=2时，GE有最大值2 2，
6 4 3
∴EF 的最大值为 ×2 2 = ；
3 3
②过点F 作FN∥CB交抛物线于点N ，则∠ABC =∠BFN ，
1
∵∠ABC = ∠FAE，则∠EFN =∠ABC，
2
2
而直线AB的表达式为y = x− 2，
2
2
则AE的表达式为：y =− x− 2 ，
2
2 2 3 2
联立直线AE的表达式和抛物线的表达式得： − x− 2 = x2 − x− 2 ，
2 2 2
解得：x=0(舍去)或2，
( )
则点E的坐标为 2,−2 2 ．
25. 如图，正方形ABCD中，点E在边AD上(不与端点A，D重合)，点A关于直线BE的对称点为点F，
连接CF ， 设∠ABE =α．
（1）求∠BCF 的大小 (用含α的式子表示)；
（2）过点C作CG ⊥ AF ，垂足为G， 连接DG． 试判断DG与CF 的位置关系， 并证明所得的结
论；
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学科网（北京）股份有限公司（3）将ABE绕点B顺时针旋转90°得到CBH ， 点E的对应点为点H， 连接BF，HF ． 当
5
sinα= 时，判断△BFH 的形状，并说明理由．
5
【答案】（1）∠BCF
（2）DGCF，见解析
（3）△BFH 是等腰三角形，见解析
【解析】
【分析】（1）如图1，连接BF ，由正方形，轴对称的性质可得BC = AB= BF，∠ABC =90°，
∠ABF =2∠ABE =2α，则∠CBF =∠ABC−∠ABF =90°−2α，根据
180°−∠CBF
∠BCF =∠BFC = ，计算求解即可；
2
（2）如图2，连接AC，由∠AGC =90°=∠ADC ，可知A、D、G、C四点共圆，则
∠AGD=∠ACD=45°，由∠CFG =180°−∠BFA−∠BFC =45°，可得∠CFG =45°=∠AGD，进
而可证DGCF；
（3）如图3，过H 作HN ⊥BF 于N ，由旋转的性质可知，∠EBH =90°，BH =BE，证明
HBN≌BEA ( AAS ) ，则BN = AE，HN = AB，设CH = AE = BN =a，由
AE a 5
sinα= = = ，可求BE = 5a，由勾股定理得，AB =2a，即HN = BF = AB=2a，由
BE BE 5
FN = BF −BN =a= BN ，HN ⊥BF ，可证△BFH 是等腰三角形．
【小问1详解】
解：如图1，连接BF ，
∵正方形ABCD，点A关于直线BE 的对称点为点F，
∴BC = AB= BF，∠ABC =90°，∠ABF =2∠ABE =2α，
∴∠CBF =∠ABC−∠ABF =90°−2α，
180°−∠CBF
∴∠BCF =∠BFC = =45°+α，
2
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学科网（北京）股份有限公司∴∠BCF 的度数为45°+α；
【小问2详解】
解：DGCF，证明如下；
如图2，连接AC，
∵∠AGC =90°=∠ADC ，
∴A、D、G、C四点共圆，
∴∠AGD=∠ACD=45°，
∵∠FBE =∠ABE =α，
∴∠BFA=90°−α，
∴∠CFG =180°−∠BFA−∠BFC =180°−( 90°−α)−( 45°+α)=45°，
∴∠CFG =45°=∠AGD，
∴DGCF；
【小问3详解】
解：△BFH 是等腰三角形，理由如下；
如图3，过H 作HN ⊥BF 于N ，
由旋转的性质可知，∠EBH =90°，BH =BE，
∴∠HBF =∠EBH −∠FBE =90°−α，
∵∠BEA=90°−α，
∴∠HBN =∠BEA，
∵∠HBN =∠BEA，∠HNB=∠BAE =90°，BH =BE，
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学科网（北京）股份有限公司∴HBN≌BEA ( AAS ) ，
∴BN = AE，HN = AB，
设CH = AE = BN =a，
AE a 5
∴sinα= = = ，
BE BE 5
解得，BE = 5a，
由勾股定理得， AB= BE2 −AE2 =2a ，
∴HN = BF = AB=2a，
∴FN = BF −BN =a= BN ，
又∵HN ⊥BF ，
∴△BFH 是等腰三角形．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，四点共
圆，平行线的判定，正弦，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，轴对称的
性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，四点 共圆，平行线的判定，正弦，全等三角形的判
定与性质，勾股定理是解题的关键．
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