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陕西安康市2025-2026 学年高一年级下学期阶段性检测
数学试题
一、单选题
1．已知命题
，
，则命题
的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知集合
，
，若
，则实数的所有取值之和为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
4．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．记
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
，
的面积
.则
外接圆的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在平面内，质点
在三个力
，
，
的作用下恰好处于平衡状态，其中
，
，现用
作用在
上产生位移
，则力
对
做功为（ ）
A．2
B．-2
C．4
D．-4
7．一个有盖的圆台形水桶的上、下底面的半径分别为
，
，体积为
，则其表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在
中，
，过点
的直线与射线
，
分别交于点
，
，且
，其中
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
二、多选题
9．若
是关于的实系数方程
的一个复数根，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体
B．棱台的侧面都是梯形
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．圆锥的轴截面是一个等腰三角形
11．函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．直线
为
图象的一条对称轴
C．
的图象关于点
对称
D．将
的图象向左平移
个单位长度后得到的函数为偶函数
三、填空题
12．函数
的图象过定点______.
13．如图，在平面直角坐标系中放置一个
，其中
，
，
，则在对应的斜二
测坐标系下（
），
的直观图的周长为______.
14．在
中，
，
，
，点
满足
，则
______.
四、解答题
15．已知复数
．
(1)若
，求
；
(2)若复数为纯虚数，求
的值；
(3)若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求
的取值范围．
16．已知平面向量
，
，
．
(1)若
，求实数的值；
(2)求
；
(3)若
，求
的最小值．
17．某组合体由下方的正四棱柱与上方的正四棱锥拼接而成，正四棱锥的底面与正四棱柱的上底面重合.已
知正四棱柱底面边长为2，高为3，正四棱锥的高为2.
(1)求正四棱锥的侧棱长；
(2)求该组合体的表面积；
(3)求该组合体的体积.
18．已知函数
的定义域为
，对任意正实数
，，恒有
，且当
时，
.
(1)求证：
，且当
时，
；
(2)判断
在
上的单调性；
(3)若存在，使得
，求实数
的取值范围.
19．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)若
，
，求的值；
(2)求
的值；
(3)若
为锐角三角形，且
，求
的最小值.
参考答案
1．B
【详解】
，
，的否定是：
，
.
2．A
【详解】
.
3．A
【详解】已知集合
，
，
，
则
或
.
若
，因式分解为
，解得
或
.
两种解都满足集合元素互异性.
若
，整理得
，判别式
，无实数解.
故实数的所有取值之和为
.
4．A
【详解】因为函数
在
上单调递增，
所以由
得：
，解得：
，
即不等式
的解集为
，
又函数
在
上单调递增，
所以由
得：
，解得：
，
即不等式
的解集为
，
由
为
的真子集，
故“
”是“
”的充分不必要条件.
5．C
【详解】已知
，
，
的面积
，
所以
，解得
.
根据余弦定理得
，解得
.
则
，即
，进而外接圆面积为
.
6．D
【详解】设
，因为质点
在三个力
，
，
的作用下恰好处于平衡状态，
所以
，代入坐标得
，
，
解得
，
，
则力
对
做的功为：
.
7．B
【详解】设圆台的高为，
由条件得圆台上底半径
，下底半径
，体积
，
则
，
化简得：
，
由勾股定理，母线长满足
，
代入得：
，
则侧面积
，
上下底面积和：
故表面积：
.
8．A
【详解】因为
，
，
三点共线，所以存在实数
使得
.
又
，
，所以
.
已知
，
由平面向量基本定理，得
，
.
消去
，得
，因为
，
.
所以
.
当且仅当
且
，即
时取等号.
所以
的最小值为
.
9．BD
【详解】解：
是关于的实系数方程
的一个复数根，
则
是关于的实系数方程
的一个复数根，
，解得
．
10．BCD
【详解】选项A：直四棱柱的侧棱垂直于底面，但底面可以是任意四边形，不一定为矩形，长方体要求底
面为矩形且所有面都是矩形，因此直四棱柱不一定是长方体；
选项B：棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，其上下底面平行且相似，侧面均为四边形，且有
一组对边平行，另一组对边不平行，因此侧面都是梯形；
选项C：正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的投影是底面中心，因此所有侧棱相等，底面各边相等。
侧面三角形由两条侧棱和一条底边构成，这些三角形全等，且因为侧棱相等，所以每个侧面都是等腰三角
形；
选项D：圆锥的轴截面是过圆锥轴线的平面，其与圆锥的交线是一个三角形，两条腰为圆锥的母线，底边
为底面直径，因此该三角形是等腰三角形.
11．ACD
【详解】由图易知
，
，又
，所以
，
又由图知
过点
，则
，得到
，
又
，所以
，
，所以A 正确，
对于B，因为
或，所以直线
不是
的对称轴，故B 错
误，
对于C，因为
，所以
是
的一个对称中心，故C 正确，
对于D，将
的图象向左平移
个单位长度后得到
，
易知
定义域为
，关于原点对称，又
，所以
为偶函数，故
D 正确.
12．
【详解】由
，解得
，代入函数
，可得
，
所以函数图象恒过定点
.
13．
【详解】如图所示为
在斜二测坐标系
中的直观图，因为
，所以
，
.由余弦定理可得：
，所以直观图的周长为：
14．
【详解】化简：
由正弦定理得
由正弦的两角和公式得
又
，
，
又
，
，
如图，
，
是
的中点，
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
时，
，
．
（2）若
为纯虚数，则
，
解
得
，解
得
，
综上可得，
．
（3）已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，
，解
得，
或
；
解
得，
；
的取值范围为
．
16．(1)2
(2)
(3)
【详解】（1）已知
，
，解得
．
（2）已知
，则
，
，
．
（3）
，
二次函数
开口向上，对称轴
，
．
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：如图，组合体由正四棱柱
和正四棱锥
构成，
的中心为
，则
平面
，
，
，
则正四棱锥的侧棱长为
；
（2）解：
中，
，
边
上的高
，
，
该组合体的表面积
；
（3）
，
，
则该组合体的体积
．
18．(1)证明见解析
(2)单调递增
(3)
【详解】（1）由题可知
，所以
，
因为
，则
，又
，
所以
，
所以当
时，
；
（2）任取
，则
，则
，
又
，
所以
，
所以
在
上的单调递增；
（3）由题意，需满足定义域条件 {
2 x−x
2>0
3−m>0 ，解得
，且
，
由（2）知
单调递增，原不等式等价于
，
要使该不等式有解，只需
小于
在其定义域
上的最大值，
令
，则
，
所以
，解得
，
所以
的取值范围为
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，因为
，所以
，
所以
，解得
，
又
，即
，解得
，或
当
时，
，则
，又
，所以
，
此时
，不符合题意，舍去，所以
；
（2）因为
，所以
，
又
，所以
，所以
，
又
，所以
，整理得
，
因式分解得：
，
若
，则
，又
，所以
，
所以
，
若
，则
，所以
；
综上所述：
；
（3）因为
，且
为锐角三角形，
所以
，解得
，所以
，
由正弦定理
及
得
，
由（2）知
，所以
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取得等号，
