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陕西咸阳市实验中学2025-2026 学年高一下学期期中质量检测数学试卷
一、单选题
1．设复数
（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为
，下底半径为
，母线长为
，侧
面计划选用丝绸材质布料制作，若不计制作布料的浪费，则制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．有一块四边形的菜地，用斜二测画法画出它的直观图是直角梯形，如图所示，
，
，
，
，则这块菜地的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设有两条不同的直线
、和两个不同的平面
，
，下列说法正确的是（ ）
A．若
，
且
，则
B．若
，
且
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，且
，
，则
5．已知向量
，
，则在上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，某建筑物的高度
，一架无人机
上的仪器观测到建筑物顶部
的仰角为15°，地面某
处
的俯角为45°，且
，则此无人机距离地面的高度
为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．棱长均为2 的四面体的外接球体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在△ABC 中，设
，那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的（ ）
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心
二、多选题
9．已知复数
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的实部为1
C．
D．若
，则
的最大值为8
10．如图所示，圆锥
的底面半径
，高
，
是底面圆周的一条直径，M 为底面圆周上与B
不重合的一点，则下列命题正确的是（ ）
A．圆锥
的体积为
B．圆锥
的表面积为
C．
的面积的最大值是
D．有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为
11．已知a，b，c 分别是
三个内角A，B，C 的对边，则下列说法错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
是边长为1 的正三角形，则
C．若
，
，
，则
有两解
D．若
，则
是等腰直角三角形
三、填空题
12．已知空间两个角
与
，若
，
，
，则
______.
13．已知正方体
的棱长为2，平面
过体对角线
，且与直线
平行，则平面
截该
正方体所得截面的周长为__________.
14．如图，在
中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB，AC 于不同两点M，N．设
，
，
，
，
，则t 的最小值为________．
四、解答题
15．已知复数
，
．
(1)若z 是实数，求m 的值．
(2)若z 是纯虚数，求m 的值．
(3)若z 对应复平面上的点在第四象限，求m 的范围；
16．如图，在平行四边形ABCD 中，点E，F，G 分别在边AB，AD，BC 上，且满足AE＝
AB，AF＝
AD，BG＝
BC，设
，
.
（1）用，表示
，
；
（2）若EF⊥EG，
，求角A 的值.
17．已知向量
，且与的夹角为
.
(1)求
；
(2)若
与
的夹角为锐角，求实数
的取值范围.
18．在
中，角
的对边分别为
，满足
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
周长的最小值；
(3)若
是锐角三角形，且
，求
面积的取值范围.
19．如图，四棱锥
中，
，
，
分别为线段
的中点，
与
交于O 点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
；
(3)设平面
交平面
于直线l．
①求证：
；
②求
的值．
参考答案
1．D
【详解】由题意知，复数在复平面内对应的点的坐标为
，位于第四象限.
2．B
【详解】如下图所示：
由题意可知制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为
.
3．A
【详解】在直观图中，过点
作
，垂足为点
，
则在
中，
，
，所以
，
而四边形
为矩形，
，所以
，
所以
.
由此可还原原图形如图所示.在原图形中，
，
，
，
且
，
，
所以这块菜地的面积为
.
4．C
【详解】对于A 选项，若
，
且
，则
与平行、相交或异面，A 错；
对于B 选项，若
，
且
，则
与
平行或相交，B 错；
对于C 选项，若
，
，由面面平行的性质可知
，C 对；
对于D 选项，若
，
，且
，
，则
与
平行或相交，D 错.
5．A
【详解】向量
，
，
则在上的投影向量为
.
6．B
【详解】由题意，在
中，
，
，所以
.
在
中，
，
，
所以
，
由正弦定理，
.
又
为等腰直角三角形，所以
.
故选项B 正确.
7．B
【详解】作
在底面
上的投影，连接
，则外接球球心
位于
上，
连接
，
设外接球半径为
，则
，已知
，则
，
，
在
中，
，即
，
解得
，
．
8．C
【详解】设
的中点是
，
，
即
，所以
，
所以动点
在线段
的中垂线上，故动点
的轨迹必通过
的外心，
故选：C.
9．ACD
【详解】由
，得
，A 正确；
，实部为，B 错误；
，C 正确；
由条件得：
，
平方得：
，
该式表示：点
在以
为圆心、
为半径的圆上，
是点
到原点
的距离的平方：
原点到圆心
的距离为
，圆上点到原点的最大距离为
，
故
的最大值为
，D 正确.
10．AB
【详解】圆锥
的底面半径
，高
，所以母线长为2；
对于A.圆锥
的体积为
，所以A 正确；
对于B.圆锥
的表面积为
，所以B 正确；
对于C. 由轴截面为等腰三角形
，且顶角为
，
当等腰
的顶角为
时，
的面积取得最大值为：
，所以C 错误；
对于D. 圆锥的底面圆周长为
，所以侧面展开图的圆心角为
，所以圆锥侧面展开图中圆
弧
，蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为线段
，且
，所以D 错误；
故选：AB.
11．BD
【详解】
中，大角对大边，若
，则
，
由正弦定理
，则
，
，即
，故A 正确；
正三角形中
，
夹角为
，
，故B 错误；
已知
，
，
，
所以
，故
有两解，故C 正确；
由正弦定理得
，则
可化为
，即
，有两种情况：
，即
，
为等腰三角形；
或
，即
，
为直角三角形；
所以
不一定是等腰直角三角形，故D 错误．
12．
或
【详解】因为
，
，故
或
，
故答案为：
或
13．
【详解】
如图，因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以平面
截该正方体所得截面即为正方体对角面
，
易知
，
所以平面
截该正方体所得截面的周长为
.
14．
【详解】由题意
，又
共线，则
，
，
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，即的最小值为
.
15．(1)
或
；
(2)
；
(3)
.
【详解】（1）因为为实数，
所以
，解得
或
.
（2）因为是纯虚数，所以有
，解得
.
（3）因为对应复平面上的点在第四象限，所以有
，
解得
.
16．（1）
，
；（2）
.
【详解】（1）由平面向量的线性运算可知
，
.
（2）由题意，因为EF⊥EG，所以
，解得
，
所以
，则可化简上式为
，解得
，又
，故
.
17．(1)
；
(2)
.
【详解】（1）由向量
，得
，且
，
由与的夹角为
，得
，解得
，则
，
于是
，所以
.
（2）由（1）知向量
，
则
，
由
与
的夹角为锐角，得
且
与
不共线，
由
，解得
且
，
所以实数
的取值范围为
.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为
，所以
，
由余弦定理可得
，
因为
，所以
；
（2）因为
，
所以
，
由基本不等式可知
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
即
，
所以当
时，
周长有最小值为
；
（3）由正弦定理可得
，所以
，
，
因为
，所以
，
则
，
因为
是锐角三角形，有
，即
，
所以
，
，
，
因为
，
所以
，即
面积的取值范围是
.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)①证明见解析；②
【详解】（1）证明：连接EC，
，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
O 为
的中点，
又
F 是
的中点，
，
又
平面
，
平面
，
平面BEF．
（2）证明：
F，H 分别是
的中点，
，
又
平面PAD，
平面PAD，
平面PAD，
又
O 是
的中点，H 是
的中点，
，
平面
，
平面
，
平面
，
又
在平面
内相交于点H，
平面
平面
．
（3）①证明：
，
平面
，
平面
，
平面
，
又
平面
，平面
平面
直线l，
．
②
且
，
，
又
E，H 分别为
的中点，
，且三棱锥
与三棱锥
高之比为
，
．
