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高一数学学科素养测评
评分细则
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
C
A
C
B
B
D
BC
ABD
AB
1．�=
2�(2+�)
5
=
−2+4�
5
，故B 正确
2．�′�′ = 2�′�′ = 2 3, ∴���′�′�′ =
1
2 × 2 × 2 3 = 2 3, ∴�����= 2 2 ⋅���′�′�′ = 4 6 ,D 正确
3．C 正确
4．(2�Ԧሬ+ �Ԧሬ) ⋅�Ԧሬ= 0 ∴2�Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ �Ԧሬ2 = 0 ⇒�Ԧሬ⋅�Ԧሬ=−
1
2 ⇒cos < �Ԧሬ, �Ԧሬ>=−
1
2，∴< �Ԧሬ, �Ԧሬ>=
2�
3 ,A 正确
5．
2
2
0,
2
1
a b
x
x
x
或
，故C 正确
6．2 sin2
3 sin
b
A
a
B
2
2
2
3
2sin
sin 2
3sin
sin
cos
4
2
c
b
a
B
A
A
B
A
bc
2
2
2
2
2
2
2
16
3
2(
),
4
2(
)
9
bc
c
b
a
b
b
b
a
，
2
2
7
9
a
b
，故B 正确
7．
1AC 在平面
1
B C 上的射影为
1
B C ,
1
1
C M
AC
1
1
C M
B C
,但
1
C M 与
1
1
D B 不垂直，
A
错误
1
D M 在平面
1
B C 上的射影为
1
C M ,
1
1
C M
B C
,由三垂线定理可知
1
1
D M
B C
，B 正确
∴tan ∠�1�1�= tan ∠��1�, ⇒
��1
2�1�1 =
��
��1 ⇒��1 =
2�1�1,∴
�1�1
��1 =
2
2 ,C 错误；
1
D M 与
1A D 为异面直线，D 错误
8．圆台上下底面半径分别为1
2
1,
2
r
r
，圆台高为
2
2
4
(2 1)
15
当球的半径最小时球为圆台的外接球，如图,设OA
h
，外接球球心为O ，半径为R
则
2
2
2
2
2
2
6
12
32
4 10
2
( 15
)
1
,
4
,
5
5
5
15
R
h
h
h
R
R
,故D 正确
9．��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ
∙��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬሬ2 −��Ԧ
ሬሬሬሬሬ2 = |��|2 −1
而3
2 ≤|��| ≤
3 2
2 , ∴|��|2 −1 ∈
5
4 ,
7
2 ，故BC 正确.
10．�cos �= �cos �⇔sin �cos �= sin �cos �⇒sin ( �−�) = 0 ⇒�= �, A 正确
�cos �= �cos �⇔sin �cos �= sin �cos �⇒sin 2 �= sin 2 �⇒�= �或�+ �=
�
2, B 正确
cos2 �+ cos2 �< 1 + cos2 �⇔2 −sin2 �−sin2 �< 2 −sin2 �⇔�2 + �2 > �2，
∴cos �> 0, �为锐角，但不一定为锐角三角形，C 错误
锐角三角形中0 < �，�<
�
2 , �+ �>
�
2 ⇒0 <
�
2 −�< �<
�
2, ∴sin �> sin
�
2 −�= cos �，D 正确
11．A. ��1−���= ��−���1为定值，A 正确
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B.
1
1
,
,
EF
BD EF
BB BD
BB
B
EF
平面
1
1
BB D D ,平面PEF 平面
1
1
BB D D ，B 正确
C. ∵��//��, ∴��与�1�所成的角即∠�1��,tan ∠�1��=
5
6 2 ≠
2
2 ，C 错误
D. 如图，多边形FEGPH 即截面多边形，一定为五边形，D 错误.
12．��Ԧ
ሬሬሬ=
1
6 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬ=
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬ=
1
2
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ
−��Ԧ
ሬሬሬ=
1
6 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ.
13．2
设截面过的两条母线的夹角为
2
1
(0,
],
2
2 sin
2
3
2
S
截
，
，当
2
时取等号.
14．(0,2 5]
由题有�1 −�2
�1 −�2 = �1 −�2
2 = 16, ∴�1 −�2 = 4，又|
| [1,3]
i
z
w
如图，两个圆环的公共部分即为复数z 所对应的点的区域，则
1
2
|
|
z
z
最大时，�1，�2为点�, �
2
2
|
| 2 3
2
2 5
MN
,
1
2
|
| (0,2 5]
z
z
15．解析：
（1）由题可知方程的判别式
2
16
0
m
，故方程有两互为共轭复数的虚根
则有
1
2
1 2
,
4
z
z
m z z
，
1
2
|
| |
| 2
z
z
……………………………..2 分
设
1
,( ,
)
z
a
bi a b
R
,则
2z
a
bi
，
2
2
1 2
4
z z
a
b
，
1
2
2
0
z
z
a
m
……………………………..3 分
又
1
1
2
|
||
| 2| 2 | 4 3
z
z
z
a
，
3
a
则
3
a
……………………………..5 分
则
2
2
4
1
b
a
，
1
b
……………………………..6 分
1
3
z
i
或
1
3
z
i
……………………………..7 分
（2）由题可知
1
2
3
,
3
z
i z
i
则
1
2
(
3,1),
(
3, 1)
OZ
OZ
……………………………..8 分
1
2
2
( 3 3, 1)
OZ
OZ
,
1
2
2
( 2 3
3 ,2
)
OZ
aOZ
a
a
……………………………..9 分
因为
1
2
2
OZ
OZ
与
1
2
2OZ
aOZ
所成的角为锐角
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1
2
1
2
(
2
) (2
)
0
OZ
OZ
OZ
aOZ
且
�
2 ≠
2
1
……………………………..11 分
18
9
2
0
a
a
且
4
a
8
5
a
且
4
a
（没有去点扣1 分）
……………………………..13 分
【评分细则】15.按照答案评分。
16．解析：
（1）如图过点E 作EF
AB
于点F ,设AF
x
，由题可知
45
AEF
……………………………..1 分
EF
BD
x
,
2
AE
x
2
AC
AE
x
……………………………..3 分
又
60
ACB
,
2
2 (
20)
2
3
3
AC
AB
x
x
…………..5 分
20 6
40
x
所以AB 的高为( 20 6
60
)米
…………………………..7 分
（2）由题可知
30
ECD
,
2
40
CE
DE
,设AF
x
,
则
2 (
20),
2
3
AC
x
AE
x
……………………………..10 分
2
2
2
2
2
4(
20)
1600
2
3
3
cos
2
2
3
2
(
20) 40
3
x
x
AC
CE
AE
ACE
AC
CE
x
……………………………..12 分
2
1600,
40
x
x
……………………………..14 分
所以AB 的高为60 米
……………………………..15 分
【评分细则】16.按照答案评分。
17．解析：
（1）证明：取AP 中点N ,连接��，��
M 为PB 的中点，则
1
/ /
,
2
MN
AB MN
AB
又�, �分别为��，��的中点,则
1
/ /
,
2
EF
AB EF
AB
/ /
,
EF
MN EF
MN
,即四边形FEMN 为平行四边形
……………………………..4 分
/ /
ME
FN
……………………………..5 分
第4 页共7 页
ME
平面PAF ，FN 平面PAF
/ /
ME
平面PAF
……………………………..7 分
（2）
AB
BC
则
,
EF
PE EF
BE
PE
BE
E
EF
平面PBE
……………………………..9 分
∴��⊥��
又
3
PE
BE
,
PB
ME
PB
平面FEMN
……………………………..11 分
PE 与平面EFM 所成的角即
PEM
,则
30
PEM
,
60
PEB
………….12 分
取BE 中点H ，连接PH ,则
,
PH
BE PH
EF
PH
平面ABEF ,且
3 3
2
PH
……………………………..13 分
1
1
3 3
9 3
(2
4) 3
3
2
2
2
P ABEF
V
……………………………..15 分
【评分细则】17.按照答案评分。
18．解析：
（1）如图延长��1，��1，��1，��1交于点P ，��与��交于点O ，连接��
∵�1�1 = 1，�1�1 = 2，∠�1�1�1 = 90°，∴�1�1 =
3
∵��1 = C�1，�1�1//��，∴��= ��= ��= ��= 4 = ��，
∴��⊥��，同理��⊥��
PO
平面ABCD ,
PO
CN
…………………..3 分
OBC
为正三角形，边长为2，∵
��
��= 3,
∴��=
1
2 ��, ∴��⊥��,
PO
BD
O
,
,
PO BD 平面
1
1
BDD B
,
则CN 平面
1
1
BDD B ，
…………………………….6 分
（2）可知
1
1
1
1
1
1
1
3
2
2
2
C
BB D D
C BB D D
h
h
CN
…………………………….7 分
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过点
1
C 作
1
C E
BC
于E ，则
1
2
CE
2
2
2
2
2
1
1
3
1
( )
2
( )
6
2
2
BC
BE
C E
…………………………….9 分
设
1
BC 与平面
1
1
DBB D 所成角为，则
1
1
1
1
3
2
2
sin
4
6
c
BB D D
h
BC
…………………………….11 分
（3）设二面角
1
A
BB
D
大小为，
1
1
2
2 3
AB
A B
,可知
30
ABD
过点A 作AF
BD
于F ,过F 作��⊥��1交��1于H ,连接AH
则有AF 平面
1
1
BB D D ,所以二面角
1
A
BB
D
的平面角
AHF
…………………….12 分
��= ��=
3, ��= 3, ∠�1��= 60°, ∴��=
3
2 ��=
3 3
2
…………………………….13 分
3
2
tan
3
3 3
2
AF
FH
…………………………….15 分
∴cos �=
3
22+32 =
3 13
13
二面角
1
A
BB
D
的余弦值为3 13
13
…………………………….17 分
【
评
分
细
则
】
18.
补
充
解
法
：
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19．解析：
（1）2 cos
2
b
C
c
a
，由正弦定理可知2sin
cos
sin
2sin(
)
B
C
C
B
C
………………..1 分
sin
2sin
cos
C
C
B
……………………………..3 分
∵�∈(0, �)
∴����≠0
1
cos
2
B
……………………………..4 分
∵�∈(0, �)
3
B
……………………………..5 分
（2）
(sin
sin
)
4 2sin
cos
4 3 cos
sin
2
2
2
b
A
C
A
C
A
C
a
c
A
C
B
…………..8 分
ABC
为锐角三角形，
2
,
2
(
,
)
6
2
3
3 3
A
A
C
A
…………..9 分
3
cos
1
2
2
A
C
则
(6,4 3]
a
c
……………………………..11 分
（3）
(
)(
)
|
|
|
|
BC
BA
CD
CB
R
BC
BA
，则
(
)
BC
BA
BD
BC
BA
BD
为
ABC
的角平分线，
设
BC
BA
BM
BC
BA
,则
1 1 2 cos
3
3
BM
BD
BM
………………………..13 分
可知D 为ABC
的旁心，过点D 作ABC
三边的垂线，垂足分别为�, �, �，如图
则有
2
BH
BF
BF
BA
AG
BC
CG
a
b
c
，
……………………………..14 分
3
2
BF
BD
3
2 3
(6
2 3,6 3]
BD
a
c
,
(2 3
2,6]
BD
……………………………..16 分
2 3
(2
,2 3]
3
BD
BM
的取值范围为
2 3
(2
,2 3]
3
……………………………..17 分
【评分细则】19.按照答案评分。
