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高一数学学科素养测评
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．若复数
2i
2
i
z
，则z 的实部为
A．-2
B．
2
5
C．2
D．2
5
2．如图，由斜二测画法得到的一个水平放置的ABC
的直观图是直角三角形，
30 ,
A B C
A
为直角顶点，
2
A C
,则ABC
的面积为
A．4 3
B．2 6
C．2 3
D．4 6
3．下列说法正确的是
A．若直线l 上有无数个点不在平面内，则l∥
B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
C．若直线l 与平面垂直，则l 与内的任意一条直线都垂直
D．若直线l 与平面平行，则l 与内的任意一条直线都平行
4．已知单位向量,a b
满足(2�Ԧሬ+ �Ԧሬ) ⊥b
，则a
与b
的夹角为
A．2
3
B．3
C．2
D．6
5．已知向量
(
2, )
a
x
x
，
(1,
)
b
x
，若a
b
，则实数x 的值为
A．2
B．-1
C．2 或-1
D．-2 或1
6．已知ABC
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若2 sin2
3 sin
b
A
a
B
，且
4
3
c
b
，则
a
b 等于
A．4
3
B．
7
3
C．1
D．
3
7．长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点M 为
1
BB 中点，
1
1
C M
AC
，则下列说法正确的是
A．
1
C M 平面
1
1
D B C
B．
1
1
D M
B C
C．
1
1
1
2
B C
BB
D．
1
1
D M A D
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8．已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环
1
1
AB
A B
，且
1
1
A B ，
AB 的弧长分别为2π，4π ．若
1
4
A A
，该圆台可以完全放入一个球内，则球的半径的最小值为
A．3 3
4
B．2 15
5
C．
91
4
D．4 10
5
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知边长为3 的正方形ABCD 的中心为点O ，
O
半径为1, MN 为
O
的直径，点P 在正方
形ABCD 的边上运动，则PM PN
的值可能为
A．6
5
B．5
4
C．2
D．4
10．已知ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c 则
A．若cos
cos
b
A
a
B
，则ABC
为等腰三角形
B．若cos
cos
a
A
b
B
，则ABC
为等腰三角形或直角三角形
C．若
2
2
2
cos
cos
1 cos
A
B
C
，则ABC
为锐角三角形
D．在锐角ABC
中，不等式sin
cos
A
B
恒成立
11．如图，正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面边长为6，
1
5
AA
，E，F 分别是AB，BC 的中点，
P 是线段
1
DD 上(异于端点)的一个动点，过P，E，F 的平面记为，则下列说法正确的是
A．三棱锥
1
C
PEC
的体积是定值
B．平面PEF 平面
1
1
BB D D
C．EF 与
1AC 所成角的正切值为
2
2
D．当点P 运动时，平面截此正四棱柱所得多边形可以
为四边形和五边形
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三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12．已知
ABC
中，
2
BE
EC
，AF
FE
，则CF
可用AB
和AC
表示为
.
13．若圆锥SO的轴截面为底角为30的等腰三角形，母线长为2，则过此圆锥的两条母线的截面
的面积的最大值为
.
14．已知复数
1
2
,
w w 满足
1
2
1
2
16
w
w
w
w
，记满足|
| [1,3]
i
z
w
(
1,2)
i
的复数z 的集合为P，若
1
2
1
2
,
,
z
P z
P z
z
，则
1
2
|
|
z
z
的取值范围为
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13 分)
已知
1z ，
2z 是方程
2
4
0
x
mx
(
)
m
R
在复数集内的两根，0
4
m
.
（1）若
1
2
1
|
| |
| 4 3
z
z
z
，求
1z ；
（2）在（1）的条件下若
1z 所对应的点
1
Z 在第二象限，1z ，2z 所对应的向量分别为
1
OZ
，
2
OZ
,
若
1
2
2
OZ
OZ
与
1
2
2OZ
aOZ
所成的角为锐角，求实数a 的取值范围.
16．(15 分)
如图，建筑物AB 竖直坐落在水平地面BCD 上，在点C 处测建筑物顶点A 的仰角为60，在
另一垂直于地面的建筑物DE 的楼顶E 测得A 的仰角为45，
20
DE
米.
（1）若AE
AC
，求AB 的高；
（2）若测量得
3
cos
3
ACE
，在点C 测点E 的仰角为30，求AB 的高.
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17．(15 分)
如图，ABC
中，AB
BC
，
6
BC
，
4
AB
，E，F 分别为BC，AC 的中点，将CEF
沿
EF 折叠至PEF
，连PA，PB，M 为PB 的中点.
（1）求证：ME∥平面PAF；
（2）若PE 与平面EFM 所成的角为30，求四棱锥P
ABEF
的体积.
18．(17 分)
如图，四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面是矩形，
1
1
1
1
2
AA
BB
CC
DD
，
1
1
2
2
AD
A D
，
1
1
2
B D
，点N 在��上，满足
3
DN
NB
.
（1）求证：CN 平面
1
1
BDD B ;
（2）求
1
BC 与平面
1
1
DBB D 所成角的正弦值；
（3）求二面角
1
A
BB
D
的余弦值.
19．(17 分)
在锐角ABC
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．且2 cos
2
b
C
c
a
，
2 3
b
, D 为ABC
中
ACB
的外角的角平分线上一点，
(
)(
)
|
|
|
|
BC
BA
CD
CB
R
BC
BA
.
（1）求角B 的大小；
（2）求a
c
的取值范围；
（3）求的取值范围.
