数学试卷参考答案与详解
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
C A C D B A B C BCD AC ABD
1 6 选
.sin15°+cos15°=2sin(15°+45°)= , C.
2
2由A xx a 得 A xx a .因为 A B ø 所以a 选
. ={| > }, ∁ R ={| ≤ } (∁ R )∩ = , <-1, A.
3设z a bab R 则a b a b a b 即a2 b2 b a 所以a2 b2
. = +i,,∈ , +i -i =2i 1- -i , + =2 +2 1- i, + =
b a 解得a b 所以z 选
2 ,0=2 1- , = =1, =1+i, C.
4方法一 由题意 知x 1x x y 1y y
. : , =N 1+…+ N ,=M 1+…+ M ,
m 1x x z 1 x x y y .
=n N +1+…+ N + n ,=N M 1+…+ N + 1+…+ M
+
所求平均数为 1 x x x x y y 1 Nx nm
N M n 1+…+ N + N +1+…+ N + n + 1+…+ M =N M n( + +
+ + + +
My 选
), D.
N n Nx nm M Nx nm My
方法二 所求平均数为 + + y + + 选
: N M n× N n +N M n× = N M n , D.
+ + + + + + +
x
5因为fx 2+1 1 所以f x fx 所以fx 为偶函数.
. = x x, - = ,
2-1
又y 2 和y 1在 上大于 且单调递减 所以fx 在 上单调递减 故选
=1+ x =x 0,+ 0 , 0,+ , B.
2-1
c c c2
6.由题意 知e .将点 代入椭圆方程 得1 .而a2 b2 c2 所以b2 故选
, =a (1,a) ,a2+b2a2=1 = + , =1, A.
7.由PAB PAC 知 事件AB互斥且事件AC互斥 故PABC .所以PA B C
= =0 , 、 、 , =0 + + =
PA PB PC PAB PAC PBC PABC 2 选
+ + - - - + = , B.
3
8.设Axy B C 则 x 2 y2 x 2 y2 化简得x 2 y2 y
(,), (-2,0), (1,0), +2 + =2 -1 + , -2 + =4( ≠
知曲线E是半径为 的圆 去掉与直线BC相交的两点 .结合图形 当直线AB与圆E相切时
0), 2 ( ) , ,
ABC最大 此时 ABC AB的中点为圆心M 半径为 两圆圆心距为 求得AD 4 21
∠ , ∠ =30°, , 3, 7, = ,
7
选
C.
9.由于不知道a 的正负情况 故数列 a 不一定是递增数列 错误
1 , n ,A ;
a
因为 n q 所以数列 a 是递增数列 正确
a n = >1, {| n |} ,B ;
-1
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1 ( 7 )因为a n2
>0,a
a
n2
n2
=
q2
>1,
所以数列 a n2 是递增数列
,C
正确
;
-1
aa
因为a 1 a 2 n = a2 1 q2 n -1 >0, 且 aa 1 n 2 n = q2 >1, 所以数列 { a 1 a 2 n} 是递增数列 ,D 正确 , 选 BCD.
1 2-2
10对 选项 由三次函数图象可知 其至少有一个零点 故 正确
. A , , , A ;
对 选项 方程x3 ax b x b可整理为xx2 a 当 a 时 方程只有一个根
B , -3 + = + -3 -1 =0, 3 +1≤0 , ,
对应曲线没有 个交点 故 错误
3 , B ;
对 选项 设其 个零点分别为x x x 则fx x3 ax b x x x x x x 展
C , 3 1,2,3, = -3 + =(- 1)(- 2)(- 3),
开有x x x x x x x3 x x x x2 xx xx xx x xxx 从而
- 1 - 2 - 3 = - 1+ 2+ 3 + 1 2+ 2 3+ 1 3 - 1 2 3,
x x x 故 正确
1+ 2+ 3=0, C ;
对 选项 由于曲线y fx 关于点 b 中心对称 不妨设b .若存在符合条件的菱形 则其中
D , = (0,) , =0 ,
心为原点 过原点互相垂直的直线为菱形的对角线.由fx x2 a 曲线y fx 在原点的切
, ' =3 -3 , =
线斜率为 a.只有当a 且直线的斜率大于 a时 对应直线才与曲线y fx 有两个交点 菱
-3 >0 -3 , = ,
形才能存在 当a 时 不存在这样的菱形.故 错误 选
, ≤0 , D , AC.
11.设正方形ABCD的中心为F 取BC的中点E 连接PE 则PE h2 PC h2 .
, , , = +1, = +2
分别过O O 作OG PEOH PC.由题意 知OG OF rPO R.
2、1, 2 ⊥ 、1 ⊥ , 2 = 2 = , 1=
对于选项 由V V 得1 r 1 1
A, O 2- ABCD = O 2- PBC, ×4× = × ×2×
3 3 2
h2 r解得h 故 正确
+1× , = 15, A ;
对于选项 R h 可以求得棱锥的表面积为 .
B, = =2, 4+43
由V 1 1 r 解得r 6-2
P - ABCD = ×4×2= × ×(4+43), = ,
3 3 2
故 正确
B ;
对于选项 有h R r.在 OFC中 有R2 r2 .
C, = + Rt△ 2 , = +2
r R
由 POG PEF 得 解得R2 故 错误
Rt△ 2 ~Rt△ ,
1
=h2 , =1+2, C ;
+1
r
对于选项 有h R r.在 OFC中 有R2 r2 .由 POG PEF 得
D, = +2 Rt△ 1 , =4 +2 Rt△ 2 ~Rt△ , =
1
R + r 化简得R3 Rr2 r3 即 R R 2 R
h2 , -6 -4 =0, r+2
r -2 r -2
+1
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2 ( 7 )
R 解得 故 正确
=0, r=1+ 3, D .
选
ABD.
12.由已知得a b a kb k .由平行得 k 所以k 故填 .
+ =(1,1),2 - =(2,-2-2 ) 2+2+2 =0, =-2, -2
13.由题意1ω φ π 7ω φ 3π 解得ω π 则 φ π.
+ = , + = , = , =
3 2 3 2 2 314.设Ax x 1 Bx 2- x 2 则 AD x 1 BC 2- x 2.由 AD x 1 得x .
1,e 、 2,e , =e , =e =e <e, 1<1
由 AD BC 得x 1 2- x 2 所以x x 从而x .
=2 ,e =2e , 1=ln2+2- 2, 2>1+ln2
x
梯形ABCD的面积S = 1
2
×3 e2- x 2 × x 2- x 1 = 3(2 2- x 2 2- - 2 ln2).
2e
x x
令fx 3(2 -2-ln2)x 有f x 3(4+ln2-2 ).
= x -2 (>1+ln2), ' = x -2
2e 2e
当x ln2 时f x fx 单调递增 当x ln2 时f x fx 单调
∈(1+ln2,2+ ) ,' >0, ; ∈(2+ ,+ ) ,' <0,
2 2
递减.
故当x ln2时fx 取最大值f ln2 32 故填32.
=2+ , 2+ = ,
2 2 2 2
15. fx 的定义域为 .f x ax 1. 分
(1)() (0,+∞) ' =2 -x ……………………………………………… (1 )
若a 则f x fx 单调递减 无极值 分
≤0, ' <0, , ;………………………………………………… (3 )
若a 由 ax 1 得x 1.则 1为fx 的极值点. 分
>0, 2 -x=0, = a a ……………………………… (5 )
2 2
由题意 有f 1 1 1 1 解得a 1.
, a = - lna>0, >
2 2 2 2 2e
所以a的取值范围是 1 . 分
,+∞ ………………………………………………………………… (6 )
2e
由 知 1为fx 的极值点.
(2) (1) , a
2
由不动点的定义 有1 1 1 1 整理得 a 2 . 分
, - lna= a, 1+ln 2 -a=0 ………………………… (8 )
2 2 2 2
令hx x 2 则h x 1 2 .由h x 知hx 单调递增. 分
=1+ln(2 )- x , ' =x+ 3 ' >0, ………… (9 )
x2
2
因为h 1 h e 2 2 分
=1-2=-1<0, =2- = e-1 >0,………………………………… (11 )
2 2 e e
所以存在a 1 e 使得fx 的极值点同时也是不动点. 分
∈ , , ………………………………… (13 )
2 2
16. 由题意a a S S 所以a d a a d a
(1) 3=31+2,2=4 1, 1+2 =31+2,21+ =41,
解得a d . 分
1=1,=2 ………………………………………………………………………………… (3 )
所以a n . 分
n =2 -1 …………………………………………………………………………………… (5 )
n
由 知T 2 1 b T 2. 分
(2) (1) ,n =n =1-n ,1= 1= ……………………………………………… (6 )
2 +1 2 +1 3
所以当n 时b T T 1 1 . 分
≥2 ,n = n - n -1=n -n ……………………………………………… (8 )
2 -1 2 +1
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3 ( 7 )当n 时b 1 2也成立 所以b 1 1 . 分
=1 ,1=1- = , n =n -n ………………………………… (9 )
3 3 2 -1 2 +1
T ka b 等价于 1 k n 1 1
n ≤ n + n 1-n ≤ 2 -1 +n -n ,
2 +1 2 -1 2 +1
整理得k 1 1 2 . 分
,≥n - n ………………………………………………………………… (11 )
2 -1 2 -1
记fn 1 1 2 则fn 1 1 2 1 而 n 所以
=n - n , =- n - + , 2 -1≥1,
2 -1 2 -1 2 -1 2 4
当n 或n 时fn 有最大值. 分
=1 =2 , …………………………………………………………… (13 )
当n 时f 当n 时f 2. 分
=1 , 1 =0; =2 , 2 = …………………………………………………… (14 )
9
所以fn 的最大值为2 即 1 1 2 的最大值为2 故k 2. 分
, n - n , ≥ ………………… (15 )
9 2 -1 2 -1 9 9
17. 由条件可知BD AC AB→ AD→ a AA→ b.
(1) , ⊥ ,| |=| |= ,| 1|=
因为BD→ AD→ AB→
= - ,
所以BD→ AA→ AD→ AB→ AA→ AD→ AA→ AB→ AA→ ab θ ab θ .
· 1= - · 1= · 1- · 1= cos- cos=0
所以BD AA . 分
⊥ 1 …………………………………………………………………………………… (2 )
因为AC 平面AACC AA 平面AACC AC AA A
⊂ 1 1, 1⊂ 1 1, ∩ 1= ,
所以BD 平面AACC. 分
⊥ 1 1 ………………………………………………………………………… (3 )
因为BD 平面DDBB 所以平面AACC 平面DDBB . 分
⊂ 1 1, 1 1⊥ 1 1 ……………………………… (4 )
平行六面体的表面积S AB AD θ AD AA θ a2 ab θ. 分
(2) =2 · sin+4 · 1sin=(2 +4 )sin …………… (6 )
π
所以 当θ 时 平行六面体的表面积取最大值. 分
, = , ……………………………………………… (7 )
2
在 的条件下 该平行六面体为长方体.建立如图所示的空间直角坐标系 则A
(3) (2) , , 0,0,0 ,
A b Caa B a b .所以AC→ aa AB→ a b AC→ aa b.
1 0,0, , ,,0 ,1 ,0, =(,,0), 1=(,0,),1 =(,,- )
设平面ABC的法向量为n xyz . D 1 C
1 =(,,) z 1
B
AC→ n ax ay A 1
由 · =0, 得 + =0, 1
AB→ n ax bz .
1· =0, + =0
令x b得y bz a 所以n b b a . 分
= , =- ,=- , =(,- ,- )……… (10 )
y
设直线A
1
C与平面AB
1
C所成的角为
φ , D C
则 φ AC→n ab A B x
sin =|cos< 1 ,>|= a2 b2 b2 a2
2 + 2 +
1 1 . 分
= b2 a2 = a2 b2 ……………………………………………………… (13 )
2+a2 2+b2 5+2b2+a2
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4 ( 7 )a2 b2
因为 当且仅当a b时取等号 所以 φ 1. 分
b2+a2≥2, = , sin ≤ …………………………………… (14 )
3
所以 直线AC与平面ABC所成的角最大时a b. 分
, 1 1 ,= ………………………………………… (15 )
18. 由题意a c 所以b2 c2 a2 . 分
(1) ,=1,=2, = - =3 …………………………………………………… (1 )
y2
所以E的方程为x2 . 分
- =1 ……………………………………………………………………… (2 )
3
y2
设Mx y 则x2 0 .
(2) 0,0 , 0- =1
3
a a
因为 1 1
b= ,-b=- ,
3 3
所以MG的方程为y y 1x x MH的方程为y y 1x x . 分
- 0= (- 0), - 0=- (- 0)……………… (3 )
3 3
设Gx y Hx y .
(1,1), (2,2)
将直线MG的方程与曲线E方程联立
,
2
得8x2 2y 1x x y 1x
- 0- 0 -3- 0- 0 =0,
3 3 3 3
2
y 1x
-3- 0- 0
解得x 3 . 分
1= …………………………………………………………………… (4 )
8x
0
3
2
y 1x
-3- 0+ 0
同理 可得x 3 . 分
, 2= ……………………………………………………………… (5 )
8x
0
3
2xy y2 2x2
0 0 -6-20- 0
所以x x 3 3y x x 3 5x. 分
1- 2= = 0,1+ 2= =- 0 ………………………… (6 )
8x 2 8x 2
0 0
3 3
所以 GH 2 x x 2 y y 2 3y 2 x 1+ x 2 2 x 0 2
= 1- 2 + 1- 2 = + -
4 0 3 3
3 x2 27x2 9 x2 . 分
= 3 0-3 + 0= (4 0-1) …………………………………………………………… (7 )
4 4 4
由于x2 所以 GH 2 27 从而GH 的最小值为33. 分
0≥1, ≥ , | | …………………………………… (8 )
4 2
b2
设l y k x l y k x 则kk .
(3) 1:= 1(+2),2:= 2(-2), 1 2=a2=3
设Px y 则y2 x2 . 分
(0,0), 0 =3(0 -4) ……………………………………………………………… (9 )
设l 的倾斜角为αl 的倾斜角为 β FPF θ则θ β α.
1 ,2 ,∠ 1 2= , = -
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5 ( 7 )所以 θ β α. 分
sin=sin(- ) …………………………………………………………………………… (10 )
2α 2β 2α 2β α α β β
于是 2θ sin cos +cos sin -2sincossincos
,sin = 2α 2α 2β 2β
(sin +cos )(sin +cos )
2α 2β α β k2 k2
tan +tan -2tantan 1+ 2-6 . 分
= 2α 2β = k2 k2 ……………………………………………… (11 )
(1+tan )(1+tan ) (1+ 1)(1+ 2)
联立l 与E的方程 得 k2x2 k2x k2 .
1 , 3- 1 -41 -41-3=0
设Ax y Bx y .
(3,3), (4,4)
k2 k2
则x x 41 xx -41-3. 分
3+ 4= k2 ,3 4= k2 …………………………………………………………… (12 )
3- 1 3- 1
所以 PA PB k2 x x x x
, = 1+ 1 3- 0 4- 0
k2 xx x x x x2
= 1+ 1 | 3 4- 0 3+ 4 + 0|
k2
1+ 1 k2 k2x k2x2
= k2 -41-3-41 0+ 3- 1 0
3- 1
k2
1+ 1 k2x 2 x2
= k2| 1 0+2 -3 0+3|
|3- 1|
k2 k2
1+ 1 y2 x2 9(1+ 1). 分
= k2 0-3 0+3 = k2 ………………………………………………………… (14 )
|3- 1| |3- 1|
k2
同理 PC PD 9(1+ 2). 分
, = k2 ………………………………………………………………… (15 )
|3- 2|
所以S S 1 PA PD θ 1 PC PB θ
PAD PBC
△ △ = × sin× sin
2 2
k2 k2 k2 k2
1 9(1+ 1) 9(1+ 2) 1+ 2-6
= × k2 × k2 × k2 k2
4 |3- 1| |3- 2| (1+ 1)(1+ 2)
k2 k2 k2 k2
81 1+ 2-6 81 1+ 2-6 27 为定值. 分
= × k2 k2 k2k2 = × k2 k2 = , ………………………… (17 )
4 |9-31-32+ 1 2| 4 |18-31-32| 4
19. 当n 时 由题意知X的可能取值为 .
(1) =2 , 0,1,2,3,4
2
PX C0 1 1
=0 = 2× = ,
2 4
2
PX C1 1 C0 1 1
=1 = 2× × 1× = ,
2 2 4
2 2 2
PX C1 1 C1 1 C2 1 C0 1 5
=2 = 2× × 1× + 2× × 2× = ,
2 2 2 2 16
2 2
PX C2 1 C1 1 1
=3 = 2× × 2× = ,
2 2 8
PX C2 1 2 C2 1 2 1. 分
=4 = 2× × 2× = ……………………………………………………… (4 )
2 2 16
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6 ( 7 )X的分布列为
X
0 1 2 3 4
P 1 1 5 1 1
4 4 16 8 16
EX 1 1 5 1 1 3. 分
=0× +1× +2× +3× +4× = …………………………………………… (6 )
4 4 16 8 16 2
当n 时 求得X的分布列为
(2) =3 ,
X
0 1 2 3 4 5 6
P 8 12 18 13 9 3 1
64 64 64 64 64 64 6
当n为偶数时m n 分
, = ;……………………………………………………………………………… (8 )
当n为奇数时m n . 分
, = -1 ………………………………………………………………………… (10 )
设第一次正面朝上的次数为ii n 第二次正面朝上的次数为jj i
(3) ,=0,1,2,…,, ,=0,1,2,…,,
则x i j.
= +
n i
PX i j Ci 1 Cj 1 . 分
= + = n × × i × ……………………………………………………… (12 )
2 2
n i n i
从而EX i jCi 1 Cj 1 . 分
, =i∑j∑(+ )n × × i × …………………………………………… (13 )
=0=0 2 2
n n
由组合数的性质 , kCk n = nCk n- - 1 1, 所以 k∑ kCk n = n k∑ Ck n- - 1 1= n ·2 n -1. …………………………… (14 分 )
=0 =1
n i n i
所以EX i jCi 1 Cj 1
=i∑j∑(+ )n × × i ×
=0=0 2 2
n i iC i jCi n 1 n + i jC i jCi n 1 n + i
=i∑j∑ +
=0=0 2 2
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7 ( 7 )
n iCi n 1 n + ii C i j Ci n 1 n + ii jC i j
=i∑ j∑ + j∑
=0 2 =0 2 =0
n iCi n 1 n + i i Ci n 1 n + i ii -1
=i∑ ×2+ ×2
=0 2 2
1
nn
iCi 1
n +1n
iCi
n n
= i∑ + i∑
2 =0 2 =1
n n
1 n n -1 1 +1 n n -1 3n. 分
= × ·2 + × ·2 = ………………………………………………… (17 )
2 2 4
