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专题 18 力学计算
1．（2024·北京·高考）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的
高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h
远大于管口内径。求：
（1）水从管口到水面的运动时间t；
（2）水从管口排出时的速度大小 ；
（3）管口单位时间内流出水的体积Q。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向
解得水从管口到水面的运动时间
（2）由平抛运动规律得，水平方向
解得水从管口排出时的速度大小
（3）管口单位时间内流出水的体积
2．（2024·北京·高考）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体
等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O为观测
点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象。当前P到O点的距离为 ，宇宙的密度为 。
（1）求小星体P远离到 处时宇宙的密度ρ；
（2）以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中
于O点对P的引力。已知质量为 和 、距离为R的两个质点间的引力势能 ，G为引力常量。仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动。
a．求小星体P从 处远离到 。处的过程中动能的变化量 ；
b．宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律 ，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系数。
H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小。
【答案】（1） ；（2）a． ；b．H随t增大而减小
【详解】（1）在宇宙中所有位置观测的结果都一样，则小星体P运动前后距离O点半径为 和 的球内
质量相同，即
解得小星体P远离到 处时宇宙的密度
（2）a．此球内的质量
P从 处远离到 处，由能量守恒定律得，动能的变化量
b．由a知星体的速度随 增大而减小，星体到观测点距离越大，运动时间t越长，由 知，H减小，
故H随t增大而减小。
3．（2023·北京·高考）如图所示，质量为m的小球A用一不可伸长的轻绳悬挂在O点，在O点正下方的
光滑桌面上有一个与A完全相同的静止小球B，B距O点的距离等于绳长L。现将A拉至某一高度，由静
止释放，A以速度v在水平方向和B发生正碰并粘在一起。重力加速度为g。求：
（1）A释放时距桌面的高度H；
（2）碰撞前瞬间绳子的拉力大小F；
（3）碰撞过程中系统损失的机械能 。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）A释放到与B碰撞前，根据动能定理得
解得（2）碰前瞬间，对A由牛顿第二定律得
解得
（3）A、B碰撞过程中，根据动量守恒定律得
解得
则碰撞过程中损失的机械能为
4．（2023·北京·高考）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有
极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运
动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。
（1）求 区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相
似性和相关力学知识，求 区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关
系图像，如图所示，根据在 范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（ ）存
在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求
内暗物质的质量 。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式有
解得
（2）在 内部，星体质量
由万有引力定律和向心力公式有解得
（3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
对处于r=nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
解得
5．（2022·北京·高考）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v，在远日点速度为v。求从近日点
1 2
到远日点过程中太阳对行星所做的功W；
（2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（ ）及向心力相关知识，证明恒星对行星的
作用力F与r的平方成反比；
（3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流
浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T，绕此恒
1
星公转的周期为T，求 。
2
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【详解】（1）根据动能定理有
（2）设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为m，运动半径为r，运动速度大小为v。恒星对行星的
作用力F提供向心力，则
运动周期
根据开普勒第三定律 ，k为常量，得
即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。
（3）假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为r的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量
为P。以恒星为球心，以r为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量
0
设地球绕太阳公转半径为r 在新轨道上公转半径为r。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必
1 2
须满足P不变，由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，得r = 4r
2 1
设恒星质量为M，地球在轨道上运行周期为T，万有引力提供向心力，有解得
由于恒星质量是太阳质量的2倍，得
6．（2021·北京·高考）秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效“摆
球”的质量为m，人蹲在踏板上时摆长为 ，人站立时摆长为 。不计空气阻力，重力加速度大小为g。
（1）如果摆长为 ，“摆球”通过最低点时的速度为v，求此时“摆球”受到拉力T的大小。
（2）在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高。
a.人蹲在踏板上从最大摆角 开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角
为 。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明 。
b.实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某个最大摆角
后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，
求在最低点“摆球”增加的动能 应满足的条件。
【答案】（1） ；（2）a.见解析；b.
【详解】（1）根据牛顿运动定律
解得
（2）a.设人在最低点站起前后“摆球”的摆动速度大小分别为v、v，根据功能关系得
1 2
已知v = v，得
1 2
因为 ，得
所以
b.设“摆球”由最大摆角 摆至最低点时动能为 ，根据功能关系得
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，通过最高点最小速度为 ,根据牛顿运动定律得
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，根据功能关系得
得7．（2022·北京·高考）体育课上，甲同学在距离地面高 处将排球击出，球的初速度沿水平方向，
大小为 ；乙同学在离地 处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已
知排球质量 ，取重力加速度 。不计空气阻力。求：
（1）排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；
（2）排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向；
（3）排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I。
【答案】（1） ；（2） ，方向与水平方向夹角 ；（3）
【详解】（1）设排球在空中飞行的时间为t，则
解得 ；则排球在空中飞行的水平距离
（2）乙同学垫起排球前瞬间排球在竖直方向速度的大小
得 ；根据
得 ；设速度方向与水平方向夹角为 （如答图所示）
则有
（3）根据动量定理，排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小
8．（2021·北京·高考）如图所示，小物块A、B的质量均为m = 0.10 kg，B静止在轨道水平段的末端。A
以水平速度v 与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h = 0.45 m，
0
两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s = 0.30 m，取重力加速度g = 10 m/s2。求：
（1）两物块在空中运动的时间t；
（2）两物块碰前A的速度v 的大小；
0
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能 。【答案】（1）0.30 s；（2） ；（3）
【详解】（1）竖直方向为自由落体运动，由
得 t = 0.30 s
（2）设A、B碰后速度为 ，水平方向为匀速运动，由
得
根据动量守恒定律，由
得
（3）两物体碰撞过程中损失的机械能
得
9．（2020·北京·高考）无人机在距离水平地面高度 处，以速度 水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气
阻力，重力加速度为 。
(1)求包裹释放点到落地点的水平距离 ；
(2)求包裹落地时的速度大小 ；
(3)以释放点为坐标原点，初速度方向为 轴方向，竖直向下为 轴方向，建立平面直角坐标系，写出该包
裹运动的轨迹方程。
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【详解】(1)包裹脱离无人机后做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，则
解得
水平方向上做匀速直线运动，所以水平距离为
(2)包裹落地时，竖直方向速度为落地时速度为
(3)包裹做平抛运动，分解位移
两式消去时间得包裹的轨迹方程为
1．（2024·北京海淀·统考一模）如图所示，水平地面上固定着光滑斜槽，斜槽的末端和粗糙地面平滑连接，
设物块通过连接处时速率不发生改变。质量m=0.4kg的物块A从斜槽上端距水平地面高度h=0.8m 处由静
1
止下滑，并与静止在斜槽末端的质量m=0.8kg 的物块B相碰，相碰后物块A立即停止运动，物块 B 滑行
2
一段距离后停止运动。取重力加速度g=10m/s2，两物块均可视为质点。求：
（1）物块A 与物块B 碰撞前瞬间的速度大小。
（2）物块A 与物块B 碰撞过程中A、B 系统损失的机械能。
（3）滑动摩擦力对物块B 做的功。
【答案】（1）4m/s；（2）1.6J；（3）-1.6J
【详解】（1）物块A 与物块B 碰撞前，根据动能定理有
解得 m/s
（2）物块A 与物块B 碰撞过程中，根据动量守恒定律有
根据能量守恒定律有
解得 J
（3）B运动到停止的过程中，根据动能定理有
解得 J
2．（2024·北京海淀·统考一模）1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据观察，
他将其中一颗卫星P的运动视为一个振幅为A、周期为T的简谐运动，并据此推测，他观察到的卫星振动是卫星圆周运动在某方向上的投影。如图所示，是伽利略推测的卫星P 运动的示意图，在xOy 平面内，
质量为m 的卫星P 绕坐标原点O 做匀速圆周运动。已知引力常量为G，不考虑各卫星之间的相互作用。
（1）若认为木星位于坐标原点O， 根据伽利略的观察和推测结果：
①写出卫星P做圆周运动的向心力大小F的表达式。
②求木星的质量M
0
③物体做简谐运动时，回复力应该满足F=-kx。 请据此证明：卫星P绕木星做匀速圆周运动在x 轴上的投
影是简谐运动。
（2）若将木星与卫星P 视为双星系统，彼此围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，计算出的木星质量
为M'。请分析比较（1）②中得出的质量M 与M'的大小关系。
0
【答案】（1）① ；② ；③见解析；（2）
【详解】（1）①卫星P做圆周运动的向心力大小F的表达式
②根据
得木星的质量
③如图
取向右为正方向
则卫星P绕木星做匀速圆周运动在x 轴上的投影是简谐运动。
（2）根据得
由于
则
3．（2024·北京西城·统考一模）儿童滑梯可简化为如图所示的模型。滑梯下滑区AB的长 ，倾角
。一个质量 的儿童从滑梯顶部A点由静止滑下，最后停在水平缓冲区BC上。若儿童与
AB、BC部分的动摩擦因数均为0.5，儿童经过两段连接处速度的大小不变。 ，取重力
加速度 。求：
（1）儿童运动到B点时速度的大小v；
（2）缓冲区BC部分的最小长度x；
（3）整个过程中摩擦阻力对儿童做的功 。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）由 点运动到 点的过程中，根据动能定理有
得
（2）由 点运动到 点的过程中，根据动能定理有
得
（3）儿童从 点运动到 点的过程，根据动能定理有
得
4．（2024·北京西城·统考一模）小行星撞击地球虽然发生概率较低，却会使地球生命面临重大威胁。我国
已经提出了近地小行星防御的发展蓝图，计划在2030年实现一次对小行星的动能撞击，2030至2035年间
实现推离偏转。已知地球质量为M，可视为质量分布均匀的球体，引力常量为G。若一颗质量为m的小行
星距离地心为r时，速度的大小 ，m远小于M。不考虑地球运动及其它天体的影响。
（1）若小行星的速度方向垂直于它与地心的连线，通过分析判断该小行星能否围绕地球做圆周运动。
（2）若小行星的速度方向沿着它与地心的连线指向地心。已知取无穷远处的引力势能为零，则小行星在距地心为r处的引力势能 。
a．设想提前发射质量为0.1m的无人飞行器，在距离地心为r处与小行星发生迎面撞击，小行星撞后未解
体。将撞击过程简化为完全非弹性的对心碰撞。为彻底解除小行星对地球的威胁，使其不与地球碰撞。求
飞行器撞击小行星时的最小速度 。
b．设想对小行星施加适当的“推力”后，使其在距离地心为r处的速度方向与它和地心连线的夹角变为
，速度大小不变，也能解除对地球的威胁。已知小行星仅在地球引力所用下的运动过程，它与地心的
连线在任意相等时间内扫过相等的面积。求小行星在此后的运动过程中，距地心的最近距离 。
【答案】（1）不能；（2）a． ；b．
【详解】（1）若小行星在该位置做匀速圆周运动，设速度大小为 ，由万有引力提供向心力，可得
解得
由于
可知，小行星不能围绕地球做圆周运动。
（2）a．设碰撞后小行星的速度大小为 ，为彻底解除小行星的威胁，应使小行星被撞后能运动至无穷远
处。根据能量守恒定律有
解得
以飞行器速度方向为正方向，飞行器撞击小行星的过程根据动量守恒定律有
解得
b．设小行星离地心最近时，速度的大小为 ，小行星与地心的连线在相等时间扫过相等面积有
根据能量守恒定律有
解得5．（2024·北京东城·统考一模）平抛运动、简谐运动、匀速圆周运动是三种典型的质点运动模型，初速度
和受力情况的不同决定了质点做何种运动。
（1）平抛运动是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动。一质点以初速度 在竖直面内做平抛运动，以
抛出点为原点，以 的方向为x轴的正方向，竖直向下为y轴的正方向建立坐标系。
a．某时刻质点速度与水平方向的夹角为 ，质点相对于抛出点的位移与水平方向的夹角为 ，请证明 与
满足： ；
b．请写出质点的轨迹方程。
（2）简谐运动的质点所受回复力F与位移x成正比，且方向总和位移相反，即 ，其中k为常数。
如图所示，竖直平面内有一光滑的抛物线轨道，其轨迹方程与（1）问中求得的结果相同。现有一质量为m
的小珠子套在轨道上，且可在轨道上自由滑动。若将小珠子从轨道上距轨道中心O点很近的地方由静止释
放，小珠子将围绕O点做往复运动。请证明小珠子在轨道中心O点附近的往复运动是简谐运动（当 很小
时， ）。
（3）做匀速圆周运动的质点，其合力总指向圆心，大小等于质量乘以向心加速度。若第（2）问的抛物线
轨道绕y轴转动，请讨论并说明当以不同角速度匀速转动时，小珠子能否相对轨道静止？若能，请说明相
对静止的位置。
【答案】（1）a. 见解析，b. ；（2）见解析；（3）见解析
【详解】（1）a．由平抛运动的位移规律得
由平抛运动的速度规律得
于是得到
b．由平抛运动的位移规律
（2）设小珠子在某时刻的位置坐标为 ，此时速度方向（切线方向）与水平方向的夹角为 ，则质点
所受指向平衡位置的力 （因距O点很近，所以 很小）
根据前面抛物线的规律可知代入得到
即物体做简谐运动。
（3）假设小珠子相对轨道静止处的位置坐标为 ，根据牛顿定律
由
得
由于轨道方程为
即
于是可得
由此式可知，当 时此式恒成立，与y无关。
结论：①若 ，小珠子可以相对轨道静止在任意位置处；
②若 ，小珠子不能相对轨道静止，一定会滑向O点，只能在O处相对静止；
③若 ，小珠子不能相对轨道静止，一定会被向外甩出轨道，只能在O处相对静止。
6．（2024·北京朝阳·统考一模）如图所示，质量 的小物块从固定斜面的顶端由静止开始匀加速
下滑。斜面的长度 ，倾角 ，物块与斜面间的动摩擦因数 ，重力加速度 ，
。求物块下滑至斜面底端的过程中：
（1）加速度的大小a；
（2）重力冲量的大小 和方向；
（3）损失的机械能 。【答案】（1） ；（2） ，方向竖直向下；（3）
【详解】（1）对物块受力分析，由牛顿第二定律
且
得
（2）由运动学公式
得
根据冲量的定义可得
方向竖直向下。
（3）下滑过程中物块克服摩擦力做功为 ，机械能损失 ，有
得
7．（2024·北京丰台·统考一模）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相接，导
轨半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度
后脱离弹簧，它经过B点的速度为v，之后沿半圆形导轨运动，恰好能运动到最高点C，重力加速度为
1
g。求：
(1)弹簧压缩至A点时的弹性势能E；
p
(2)物体沿半圆形轨道运动过程中阻力所做的功W；
f
(3)物体离开C点，落至水平面时距B点的距离x。
【答案】(1) ；(2) ；(3)x=2R
【详解】(1)对物体和弹簧组成系统，从A运动至B过程，由能量守恒定律有
(2)物体恰好能运动到最高点C，由牛顿运动定律有解得
对物体，从B运动至C过程，出动能定理有
解得
(3)物体离开C点后做平抛运动
解得x=2R
8．（2024·北京石景山·统考一模）一兴趣小组的同学为探究物体做圆周运动的特点制作了如图所示的装置：
弧形轨道下端与半径为R的竖直圆轨道平滑相接，B点和C点分别为圆轨道的最低点和最高点。该小组的
同学让质量为m的小球（可视为质点）从弧形轨道上距B点高5R的A点由静止释放，先后经过B点和C
点，而后沿圆轨道滑下。忽略一切摩擦，重力加速度为g。
（1）求小球通过B点时的速度大小v 。
B
（2）求小球通过C点时，轨道对小球作用力的大小F和方向。
（3）该小组的同学认为，只要小球能够经过C点，则轨道B和C两点对小球的压力大小之差是不变的。
你是否同意这一观点请说明理由。
【答案】（1） ；（2）F=5mg ，方向竖直向下；（3）同意，见解析
【详解】（1）小球从A点到B点，由机械能守恒
解得
（2）小球从A点到C点，由机械能守恒
在C点，根据牛顿第二定律
解得
方向竖直向下。
（3）同意。由机械能守恒
根据牛顿第二定律解得轨道B和C两点对小球压力大小之差
故轨道B和C两点对小球压力大小之差为定值。
9．（2024·北京石景山·统考一模）物体做曲线运动的情况较复杂，一般的曲线运动可以分成很多小段，每
小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，
曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫
做A点的曲率圆，其半径r叫做A点的曲率半径。在分析物体经过曲线上某位置的运动时，就可以按其等
效的圆周运动来分析和处理。
（1）氢原子核外的电子绕核做匀速圆周运动，其周期为T。已知电子的电荷量为e，质量为m，静电力常
量为k，求电子运动的轨道半径R。
（2）将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v₀抛出，如图（b）所示。已知重力加速度为g，求其轨迹
最高点P处的曲率半径r。
（3）开普勒根据第谷的行星观测记录结合数学知识发现，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等
的时间内扫过的面积相等。如图（c）所示，卫星绕地球沿椭圆轨道运动。卫星在椭圆轨道的近地点P的
速度为v₁，近地点 P到地心的距离为R；在远地点Q的速度为v₂，远地点Q到地心的距离为r。一兴趣小
组的同学根据开普勒定律结合数学知识得到 请你根据万有引力定律和牛顿运动定律推导这一结
论。
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析
【详解】（1）根据库仑定律和牛顿第二定律
解得电子运动的轨道半径
（2）小球在最高点的速度为v₀cosα，根据牛顿第二定律
解得曲率半径
（3） 卫星在椭圆轨道上运行，由椭圆的对称性，近地点P和远地点Q的等效圆周运动的半径相等，设为l，根据万有引力定律和牛顿第二定律，卫星在近地点时
卫星在远地点时
解得
10．（2024·北京通州·统考一模）重锤打桩机打桩过程可简化为如图所示的模型：用动力装置将质量为
的重锤提升到高处自由释放，重锤下落 后与质量为 的桩发生碰撞，碰撞时
间极短，碰后二者一起运动。设桩受到泥土的阻力恒为 ，重力加速度取 ，不计空气
阻力。求：
（1）m与M碰撞前瞬时速度的大小 ；
（2）m与M碰撞后速度的大小v；
（3）本次打桩后，桩下降的距离d。
【答案】（1）4m/s；（2）2m/s；（3）0.4m
【详解】（1）根据
m与M碰撞前瞬时速度的大小
（2）由动量守恒定律有
得
（3）由动能定理有(M+m)gd−fd=0− (M+m)v2
得d=0.4m
11．（2024·北京顺义·统考一模）一枚在空中水平飞行的玩具火箭质量为m，在某时刻距离地面的高度为
h，速度为v。此时，火箭突然炸裂成A、B两部分，其中质量为 的B部分速度恰好为0。忽略空气阻力
的影响，重力加速度为g。求：
（1）炸裂后瞬间A部分的速度大小v；
1
（2）炸裂后B部分在空中下落的时间t；
（3）在爆炸过程中增加的机械能 。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）炸裂后瞬间由动量守恒可知
解得A部分的速度为
（2）炸裂后由运动学规律可知
空中下落的时间为
（3）在爆炸过程中增加的机械能为
解得
12．（2024·北京顺义·统考一模）动量p和力F都是矢量，在处理二维问题时，为简化问题研究，可以在
相互垂直的x、y两个方向上分别研究，即将二维问题转化为一维问题。
（1）质量为m的小球斜射到木板上，入射的角度是θ，碰撞后弹出的角度也是θ，碰撞前的速度大小是
v，碰撞后的速度大小是v，如图1所示。分别求出碰撞前后x、y方向小球的动量变化Δp、Δp；
0 x y
（2）质量均为m的球1和球2构成一个系统，不考虑系统的外力作用，球1沿x轴正向以速度v 与静止的
1
球2碰撞，碰撞后两球的速度的偏角分别为 =53°、 =37°，如图2所示。求碰后两球速度的大小 和 。
（3）轻绳两端各系一质量为m的小球，中央系一质量为M的小球，三球均静止于光滑的水平桌面上，绳
处于拉直状态，其俯视图如图3所示。对小球M施加一瞬时冲量，使它获得方向与绳垂直的速度 。分别
求出在轻绳两端小球发生碰撞前瞬间三个小球速度的大小。
【答案】（1） ； ；（2） ； ；（3）见解析
【详解】（1）碰撞前后x方向小球的动量变化
碰撞前后y方向小球的动量变化（2）设碰后两球速度大小分别为 、 ，规定x轴的正方向为正方向，x轴方向的动量守恒表达式如下
规定y轴的正方向为正方向，y轴方向的动量守恒表达式如下
联立，可得 ，
（3）由对称性，当两端小球发生碰撞时示意图如图所示，
设两小球沿二者球心连线方向速度大小为v，在垂直两小球球心连线方向的速度大小为v，由机械能守恒
x y
定律和动量守恒定律，有 ，
解得 ，
可知在轻绳两端小球发生碰撞前瞬间，中央小球速度的大小为 。
13．（2024·北京房山·统考一模）山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动。滑雪坡由AB和BC组成，AB是倾
角为45°的斜坡，BC是半径为R = 5m的圆弧面，圆弧面和斜坡相切于B，与水平面相切于C，如图所示，
AC竖直高度h = 10m，竖直台阶CD高度为h = 5m，台阶底端与水平面DE相连。运动员连同滑雪装备
1 2
总质量为80kg，从A点由静止滑下，到达C点时速度大小为14m/s。通过C点后落到水平面上，不计空气
阻力，g取10m/s2。求：
（1）运动员经过C点时受到的支持力大小N。
（2）运动员在DE上的落点距D点的距离x。
（3）从A点运动到C点，摩擦力对运动员做的功W。【答案】（1）3936N；（2）14m；（3）160J
【详解】（1）由题知运动员连同滑雪装备从A点由静止滑下，到达C点时速度大小为14m/s，则运动员在
C点有
解得NC = 3936N
（2）运动员连同滑雪装备从C点飞出做平抛运动，则有
x = vCt
联立解得x = 14m
（3）运动员连同滑雪装备从A点运动到C点右
解得W = 160J
f
14．（2024·北京房山·统考一模）动量定理在物理学中有着非常重要的地位，是解决物理问题的重要工具。
（1）如图所示，质量为m的物体在光滑的水平面上受到恒力F的作用，做匀变速直线运动。初始时刻，
物体的速度为 ，经过一段时间 ，它的速度为 。结合以上情景，利用牛顿第二定律和运动学公式推导
动量定理表达式。
（2）单个微小粒子撞击巨大物体的力是局部而短促的脉冲，但大量粒子撞击物体的平均效果是均匀而持
续的力。我们假定单位体积内粒子数量为 ，每个粒子的质量为m，粒子运动速率均为 。如果所有粒子
都垂直物体表面运动并与其碰撞，碰撞后粒子垂直物体表面返回的速度大小也是 ，利用所学力学知识，
导出物体表面单位面积所受粒子压力f与m、n和v的关系。
（3）在近地轨道绕地球做圆周运动的人造卫星会受到稀薄空气阻力作用，导致卫星运行的轨道半径逐渐
变小。某同学为估算稀薄空气对卫星的阻力大小，做出了如下假设：一质量为m最大横截面积为A的人造
卫星绕地球运动，每一圈均视为匀速圆周运动，运行轨道范围内稀薄空气的密度为 ，稀薄空气看成是由
彼此不发生相互作用的颗粒组成的，所有的颗粒原来都静止，它们与人造卫星在很短时间内发生碰撞后都
具有与卫星相同的速度，在与这些颗粒碰撞的前后，卫星的速度可认为保持不变。地球质量为M，引力常
量为G。试估算卫星在半径为r轨道上运行时，卫星所受阻力大小F。
【答案】（1）见解析；（2） （3）
【详解】(1)由于物体在水平面上只受恒力 的作用，由牛顿第二定律可知 ，
故
整理可得即合外力的冲量等于其动量的变化量，动量定理成立。
（2） 时间内到达面积为 容器壁上粒子所占体积
单位体积粒子个数为 ，则 时间内粒子的总数
面积为 的器壁所受的压力为 ，则
所以单位面积上粒子的压力
（3）经 时间内稀薄空气颗粒的质量 ，则
设飞船给这部分粒子的作用力为 ，根据动量定理则有
解得
又因为
故可知
15．（2024·北京门头沟·统考一模）如图所示，竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道下端与水平桌面相切。
两个完全相同的小滑块A、B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速释放，滑块A以速度
v在水平方向和B发生正碰后粘在一起，并沿桌面继续滑动。已知滑块A、B质量均为m，重力加速度为
g。求：
（1）光滑圆弧半径R；
（2）与B碰撞前瞬间A对轨道的压力大小F；
（3）碰撞过程中系统损失的机械能 。
【答案】（1） ；（2）3mg；（3）
【详解】（1）滑块A下滑的过程根据机械能守恒
得
（2）AB碰撞前，对A进行受力分析，根据牛顿第二定律
解得利用牛顿第三定律得与B碰撞前瞬间A对轨道的压力大小为3mg
（3）AB碰撞过程动量守恒，则
得
所以碰撞过程中系统损失的机械能为
16．（2024·北京延庆·统考一模）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。图甲是北
斗导航系统卫星分布示意图，乙所示为其中一颗北斗卫星的轨道示意图。已知该卫星绕地球做匀速圆周运
动的周期为T，地球半径为R，地球表面附近的重力加速度为g，引力常量为G。
（1）求地球的质量M；
（2）求该卫星的轨道距离地面的高度h；
（3）请推导第一宇宙速度v 的表达式，并分析比较该卫星的运行速度v与第一宇宙速度v 的大小关系。
1 1
gR2
【答案】（1）M= ；（2） ；（3）
G
【详解】（1）设一物体的质量为m，在地球表面附近万有引定律等于重力
1
gR2
解得地球质量M=
G
（2）设卫星质量为m，根据牛顿第二定律
2
解得
（3）根据牛顿第二定律
得
第一宇宙速度为近地卫星的运行速度，即r=R时
该卫星的轨道半径因此其速度 。
17．（2024·北京延庆·统考一模）如图所示，半径R = 0.4m的竖直半圆形轨道bc与水平面ab相切。质量
m=0.2kg的小滑块B放在半圆形轨道的最低点b，另一个质量为m=0.3kg的小滑块A，在水平推力F=3N
2 1
作用下由静止开始从a点向右做匀加速直线运动，当小滑块A刚好要与小滑块B碰撞时立即撤去F，随后
小滑块A与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B粘在一起后恰好能够到达半圆形轨道的最高点c。已知推
力F作用的时间t=2s，滑块A与水平面之间的动摩擦因数μ = 0.5。取重力加速度g = 10m/s²，A、B均可
视为质点。求：
（1）A与B碰撞前瞬间的速度大小v；
1
（2）两滑块在碰撞过程中损失的机械能ΔE；
（3）两滑块从b运动到c的过程中系统产生的热量Q。
【答案】（1）10m/s；（2）6J；（3）4J
【详解】（1）设小滑块A的加速度为a，根据牛顿第二定律有F-μm g =ma
1 1
由运动学公式有v=at
1
解得v=10m/s
1
（2）小滑块A与B相碰，根据动量守恒定律有mv=(m+m）v
1 1 1 2
根据能量守恒定律有
解得ΔE=6J
（3）设A、B到达半圆形轨道的最高点c时的速度为vc，根据牛顿第二定律有
根据能量守恒定律有
解得Q =4J
18．（2024·北京海淀·统考二模）如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在距离水平地面高为h的O点，另
一端系有质量为m，可视为质点的小球，将小球从与O等高的A点由静止释放，小球在竖直平面内以O点
为圆心做半径为r的圆周运动。当小球运动到最低点B时，绳恰好被拉断，小球水平飞出。不计空气阻力
及绳断时的能量损失，重力加速度为g。求：
（1）小球飞出时的速率v。
（2）绳能承受拉力的最大值F 。
m（3）小球落地点到B点的水平距离x。
【答案】（1） ；（2）3mg；（3）
【详解】（1）根据动能定理有
解得小球飞出时的速率
（2）设绳对小球的拉力为T，依据牛顿第二定律有
解得T=3mg
根据牛顿第三定律，绳受到的拉力大小F =T=3mg
m
（3）设平抛运动的时间为t，则
解得
抛出的水平距离
19．（2024·北京西城·统考二模）如图所示，质量 的篮球从离地高度 处由静止释放，与
地面发生第一次碰撞后反弹，达到最高点时离地高度 ，篮球与地面发生作用的时间 。篮
球反弹至最高点后，运动员通过竖直向下拍击篮球对其做功，使篮球与地面发生第二次碰撞，碰后恰能反
弹至离地高度 处。若篮球两次与地面碰撞损失的机械能相同，重力加速度 ，不计空气
阻力。求：
（1）篮球第一次与地面碰撞的过程中，损失的机械能 ；
（2）篮球第一次与地面碰撞的过程中，受到地面的平均作用力的大小F；
（3）运动员拍击篮球的过程，对篮球做的功W。【答案】（1）2J；（2）48N；（3）4.2J
【详解】（1）篮球第一次与地面碰撞的过程损失的机械能
（2）篮球第一次与地面碰撞前的速度大小为 ，碰撞后离地瞬间速度的大小为
篮球下落过程有
则
篮球上升过程有
则
篮球与地面碰撞过程，以竖直向下为正方向，根据动量定理有
则
（3）运动员拍球的过程中对篮球做功
20．（2024·北京朝阳·统考二模）如图所示，水平圆台可以绕其中心轴转动。在圆台中心两侧放上甲、乙
两物体，两物体的质量均为m，均可视为质点，甲、乙两物体到圆台中心距离分别为2R、R，其连线过圆
台中心。两物体与圆台间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。
（1）若圆台以某一角速度转动时，甲、乙均未滑动。求两物体的加速度之比 ；
（2）若圆台的角速度逐渐增大，请分析说明甲、乙两物体谁先滑动；
（3）若将甲、乙两物体用不可伸长的轻绳连接，轻绳最初拉直而不张紧，缓慢增加圆台的转速，求两物
体刚要滑动时圆台转动的角速度ω。
【答案】（1）4:1；（2）甲；（3）
【详解】（1）若圆台以某一角速度转动时，甲、乙均未滑动，根据
可得两物体的加速度之比（2）若圆台的角速度逐渐增大，根据
可得
因甲转动半径较大，临界角速度较小，可知甲物体谁先滑动；
（3）两物体刚要滑动时，甲受最大静摩擦力指向圆心，乙受最大静摩擦力背离圆心，则对甲
对乙
解得圆台转动的角速度
21．（2024·北京丰台·统考二模）如图所示，水平桌面上放置一光滑导轨，导轨距地面高度为H，末端伸
出桌面.质量为m的物块A从某一高度由静止释放，与导轨末端静止放置的质量也为m的物块B发生碰撞。
碰后两物块粘在一起运动，落在地面上。落地点到抛出点的水平距离为x。不计空气阻力，重力加速度为
g。求：
（1）两物块碰撞后速度的大小 ；
（2）物块A滑至导轨最低点时速度的大小v；
（3）碰撞过程中损失的机械能 。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）碰后两物块粘在一起做平抛运动，则
解得
（2）两物块碰撞过程由动量守恒定律
解得物块A滑至导轨最低点时速度的大小（3）碰撞过程中损失的机械能
22．（2024·北京丰台·统考二模）如图所示，十米跳台跳水是奥运跳水比赛项目之一，我国运动员在这一
项目中占据绝对优势，已知十米跳台下面的池水深度约为 ，运动员质量约 ，重力加速度g取
，忽略空气阻力的影响。假设运动员由静止开始下落，沿直线运动到池底。
（1）求运动员刚接触水面时的速度大小；
（2）假设运动员入水后到达池底时的速度恰好为0，求运动员从刚接触水面到接触池底过程中受到的平均
阻力的大小；
（3）运动员完全入水后，由于人体的密度和水的密度几乎相等，所以其重力与浮力大小几乎相等，运动
过程中受到水的阻力与速度的关系满足： 。假设运动员完全入水的瞬间速率为 ，估算比例系
数k。
【答案】（1） ；（2）1800N；（3）260
【详解】（1）根据题意
由
得运动员刚接触水面时的速度大小
（2）根据动能定理
代入数据得
（3）由题
根据动能定理 ，
联立各式代入数据得
23．（2024·北京西城·统考二模）传统车辆刹车时使用机械制动方式，利用刹车装置使车辆受到制动力
（即阻力）而减速，将减小的动能全部转化成内能。有些新能源电动车刹车时会使用一种“再生制动”方
式，该方式在制动时能将汽车减少的动能转化为电能加以储存利用，这些减少的动能也被称为可回收的动
能。一辆质量为m的电动汽车在平直路面上行驶，某一时刻同时开启机械制动和再生制动，汽车的速度从 减
为 的过程，位移大小为 ；此后，只开启机械制动，直至汽车停止，汽车又向前行驶的位移大小为 。
假设机械制动使汽车受到的制动力恒定，空气阻力不计。
（1）求只开启机械制动的过程，汽车受到的制动力大小 ；
（2）求同时开启机械制动和再生制动的过程，汽车可回收的动能 。
（3）从物体的运动情况确定其受力特征是力学研究的一个重要思路。为检测再生制动的性能，在汽车速
度为 时，研究人员只开启再生制动方式，测绘了汽车速度随位移变化的关系图线如图所示，图线是一条
直线，其斜率的绝对值为k。根据加速度的定义，结合图像，推导汽车加速度a随v变化的规律及受到的制
动力F随 变化的规律。
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，
【详解】（1）使用机械制动方式刹车时，根据动能定理
得
（2）同时开启机械制动和再生制动，根据能量转化和守恒定律
得
（3）根据加速度的定义 ，由图线可知
则
将 代入上式得
又将瞬时速度计算式 代入上式得
根据牛顿第二定律可知，刹车过程的制动力
24．（2024·北京东城·统考二模）如图所示，不可伸长的轻质细线上端固定，下端系着一个不带电小球，
小球静止时位于足够大光滑绝缘水平面上的O点，现在O点静置一个带正电绝缘小物块，小球与小物块均
视为质点。以O为原点，水平向右为x轴建立坐标轴。已知小球质量为m，小物块质量为m、电荷量为
1 2q，细线长为l。假设系统处于真空环境中，不考虑各种阻力以及电荷量的损失，小球与物块之间的碰撞为
弹性碰撞，接触过程中没有电荷量的转移。
（1）若将小球拉至与竖直方向成某一角度的位置由静止释放，小球到达O点的速度为v，并以初速度v
0 0
与小物块发生碰撞，求碰后小球的速度v 与碰后物块的速度v。
1 2
（2）若在第（1）问所述的碰撞后发现小球摆回至最高点时细线与竖直方向的夹角明显减小，为使小球越
摆越高，可以在小球每次达到左方最高点时用一个很小的外力快速推一下小球。请利用此例从功和能的角
度分析并解释在共振现象中，为什么当驱动力的频率与固有频率相等时，振动系统的能量最大。
（3）若在O点右侧空间（x＞0）存在着平行于Ox轴的电场（场强的大小和方向可调），释放小球时细线
与竖直方向夹角为θ（θ＜5°），为了使碰撞后小物块能够返回O点，且二者以第一次相碰时的初速度大小
再次相碰，并能多次重复此过程，请举出两种能够实现上述要求的理想情况，并分析并说明需要满足的条
件。
【答案】（1） ； ；（2）见解析；（3）2m
2
【详解】（1）由动量守恒定律和能量守恒定律可知
mv=mv+mv
1 0 1 1 2 2
联立解得
v=
1
v=
2
（2）把此单摆视为振动系统，在小球每次达到左方最高点时用一个很小的外力快速推一下小球，满足了
此外力（作为驱动力）的频率与单摆（振动系统）的频率相等，从功和能的角度来看，每次在最高点时推
一下小球可以保证每次外力都对小球做正功，使得振动系统的能量增加。
（3）设小球摆到最低点时速度为v，由
0
得
设小球做简谐运动的周期为T，则
第一种情况：
当m=m 时，小球与物块碰撞后交换速度。小球碰后速度为零，小物块以v 为初速度向Ox轴正向做减速
1 2 0
运动，速度减到0后反向加速，回到O点时速度大小仍为v，于是沿Ox轴负方向与静止的小球发生第二
0次碰撞，碰后再次交换速度，小物块静止在O点，小球以v 为初速度做简谐运动，摆回最低点后与小物块
0
发生第三次碰撞……，为实现这种不断重复的过程，要求O点右侧空间的电场为匀强电场，方向沿Ox轴
负向，大小为不为零的任意值。
第二种情况：
当m＞＞m 时，小球与物块碰撞后小球的速度仍为v，物块以2v 为初速度向Ox轴正向做减速运动，速度
1 2 0 0
减到0后反向加速，加速一段时间后需要沿ox轴负向再做一段减速运动使得回到O点时速度为0；与此同
时小球做简谐运动刚好经过一个周期的时间，于是在O点与物块发生第二次碰撞，碰撞前的状态与第一次
相同，因此可以多次重复此过程。
为实现这种不断重复的过程，要求O点右侧空间的电场初始时方向沿ox轴负向，大小记为E，经t 时间后，
1 1
电场方向沿Ox轴正向，大小记为E，再经t 时间物块返回O点且速度为0。t、t、E、E 需要满足的关系
2 2 1 2 1 2
是：
t+t=
1 2
qEt－qEt=2m
11 22 2
满足上述关系的多组值都可实现第二种情况的要求。
