2026 年普通高等学校招生全国统一考试(Ⅰ)
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，每小题只有一个选项符合要求
1. 样本数据6 , 8 , 4 , 5 , 12 的中位数为
A. 5
B. 6
C. 8
D. 9
2. 已知平面向量a , b 不共线，且2a + yb = xa - 3b，则
A. x = 2 , y =-3
B. x =-2 , y = 3
C. x = 2 , y = 3
D. x =-2 , y =-3
3. 已知集合A = sin 7π
6
,cos 5π
3
,tan 5π
4
, B = -
3
2 ,- 1
2 ,1
, 则A ∩B =
A.
-
3
2 ,- 1
2
B.
-
3
2 ,1
C.
- 1
2 ,1
D.
-
3
2 ,- 1
2 ,1
4. 曲线y = 5x + 8lnx 在点1,5
的切线方程为
A. y = 3x + 2
B. y = 5x
C. y = 8x - 3
D. y = 13x - 8
5. 已知抛物线C1 : y2 = 2p1x p1>0
和C2 : x2 = 2p2y p2>0
均经过点4,8
, 则C1 的焦点与C2 的焦点之间
的距离为
A. 12
B. 4 5
C. 6
D.
65
2
6. 已知函数f x
= x+2
ex+a 的最大值为1 , 则a =
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
7. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩，该塔群共
有108 座塔，依山势自上而下排成12 行，将第i 行中塔的座数记为ai i=1,2,⋯,12
, 其中a1 = 1 , a3 =
a4 = 3 , a6 = a7 = 5 , 且a1 , a2 ,⋯, a12 是一个首项为7 , 公差为2 的等差数列, 将a1 , a2 ,⋯, a12 分为6 组, 每
组2 个数, 使得每组的2 个数之和可构成一个项数为6 且公差为d d>0
的等差数列, 则d =
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
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8. 设U =
x1,x2,x3
∣xi∈{-2,-1,1,2],i=1,2,3
为空间中64 个点构成的集合, 记P 1,1,1
, 记样本
空间Ω = ∁U ∈{P} , 从Ω 中随机取一个点, 定义随机变量X 如下: 对Ω 中的每个点A x1,x2,x3
, 令X A
= x1+ x2+ x3, 则X 的数学期望为
A. - 1
21
B. - 1
63
C. 0
D. 1
7
二、多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9. 设z = 3 + 2i , 则
A. z= 3 - 2i
B. z= 5
C. z2= 5 + 12i
D. z+3
i-1 ∈R
10. 在空间中, A、B 为两个定点, 动点C 到直线AB 的距离为2 , 动点D 到直线AB 的距离为1 , 若二面角C -
AB - D 为60° , 则
A. ∠CAD ≥60°
B. CD ≥
3
C. 当AB ⊥CD 时，CD ⊥平面ABD
D. 当AB ⊥平面ACD 时，AC ⊥AD
11. 已知圆C1 : x+1
2 + y2 = 1 , 圆C2 : x-1
2 + y2 = 1 , 圆C3 : x2 + y-
3
2 = 1 , 直线l : y = kx + b 与C1 , C2
, C3均有两个交点, 记l 被C1, C2, C3截得的弦长分别为s1, s2, s3, 则
A. k 可以取任意实数
B. 满足s1= s2= s3的直线l 共有3 条
C. 满足s1+ s2+ s3= 1 的直线l 多于3 条
D. 当b = 0 时, s1+ s2+ s3的最大值为2 21
3
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分
12. 双曲线5x2- 6y2= 1 的离心率为
.
13. 已知f x
= 2sin ax+θ
a∈Z,0≤θ<2π
是偶函数, f x
在区间0, π
2
单调递增,则θ =
14. 设实数q 满足: 存在数列an
, 使得对于任意n ∈N * , 均有a1 + a2 +⋯+a3n = n2 + n , 且an
中有某连续
9 项ak , ak+1,⋯, ak+8是公比为q 的等比数列, 则q 的最大值为
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，∠ACB = 90° , AC = BC , D , E 分别为AB , A1C1的中点.
(1) 证明: DE ⎳平面BCC1B1；
(2) 设CC1= 2，直线DE 与平面ACC1A1所成的角为45°，求直线DE 到平面BCC1B1的距离.
A1
C1
B1
B
D
C
E
A
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16. 已知在△ABC 中，AB = 3 , BC = 2 3 , cosB =
3
3 .
(1) 求cosA；
(2) 设D , E 两点满足: D 在BA 的延长线上，DE ⎳BC , AE ⊥AC.若DE =
6 ，求CE.
17. 设整数N ≥2.某同学用一个球进行投篮练习, 至多投置N 次, 当且仅当投中1 次时或N 次均未投中时, 停
止练习.设该同学每次投中的概率为p 0<p<1
, 各次投中与否相互独立.记X 为停止练习时该同学的
投篮次数.
(1) 当N = 4 , p = 1
3 时，求X 的分布列;
(2) 设k , m 均为自然数.
(i) 当k ≤N - 1 时, 求P X>k
;
(ii) 当k + m ≤N - 1 时, 证明: P X>k+m∣X>k
= P X>m
.
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18. 已知椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0
的左焦点为F -1,0
, 离心率为1
2 .
(1) 求C 的方程；
(2) 设O 为坐标原点，过F 且斜率大于0 的动直线l 与C 交于P，Q 两点，其中Q 在第三象限，直线PO 与
C 的另一个交点为R.
(i) 若△PQR 的面积是△PFO 的面积的3 倍，求l 的方程；
(ii) 求tan∠PQR 的最小值.
19. 已知函数f x
的定义域为R，且当x < 0 时，f x
= 2x.对任意x0 ∈R，定义集合D x0
= {d ∈R ∣f x0+d
> f x0
}.
(1) 若当x ≥0 时, f x
= 1 - x , 求D -1
;
(2) 若f x
是奇函数，f x1
≤f x2
，且x1x2≠0，证明: D x2
⊆D x1
；
(3) 设f x
满足: ①若f x1
≤f x2
，则D x2
⊆D x1
；②当0 < x < 1 时，f x
< f 0
.
(i) 证明: f 0
≥1 ;
(ii) 证明: f x
在区间0,+∞
单调递增.
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