2026届高三4月份质量监测
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.80
13. log?3
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
【解】(1)由a?+a?-a?-a?=2,得27a?+9a?-3a?-a=2,
所以32a?=2,即a=16
⋯⋯2分
所以；s.=161-3”)=3-1,则S?=332.
由S=321<100,得3”<3201,
⋯⋯ 4分
因为3?=2178<3201所以m=1,2,3,4,5,6,7,
所以A中元素之和为1+2+3+4+5+6+7=28.
⋯⋯7分
(2)由a?+a?-a?-a?=2,得(a?+a?)q2-(a?+a?)=2,
所以a+a2=q2-1
所以as+a=(a,+a?)?=1
⋯⋯10分
令q2-1=t>0,则q2=t+1,
所以a,+a=2(+1D2=2|2+1+2)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
B
D
A
C
B
A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
题号
9
10
11
答案
ABC
ABD
ABD
高三数学参考答案 第1页(共7页)
≥2(21x}+2)=8,
当且仅当t=1,,即t=1,即q=√2时取“=”.
所以as+a?的最小值为8.
⋯⋯13分
16.(15分)
【解】(1)当a=2时，f(x)=x2-2Inx(x>0),
所以f'(x)=2x-2=2x+1(x-1).
⋯⋯2分
令f'(x)=0,得x=1,
且当0<x<1时，f'(x)<0;当x>1时，f'(x)>0,
⋯⋯ 4分
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为f(1)=1,无极大值.
⋯⋯ 6分
(2)g(x)=x2-alnx+x2-1.
当0<x<1时，g(x)=1-alnx,
因为a>0,所以g(x)在(0,1)上单调递减.
⋯⋯ 8分
当x≥1时，g(x)=2x2-1-alnx,
由g(x)=4x-=(2x+Vaxzx-√o),
令g'(x)=0,得x=2
⋯⋯10分
当2≤1,即0<a≤4时，g'(x)>0,
所以g(x)在(1,+∞)上单调递增.
⋯⋯12分
当g>1,,即a>4时，
当1I≤x<2a时，g'(x)<0;当x>2时，g'(x)>0,
所以g(x)在1.2上单调递减，在(·+).上单调递增.
⋯⋯14分
综上，当0<a≤4时，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；
当a>4时，g(x)在0.)上单调递减，在(吾+).上单调递增.⋯15分
高三数学参考答案 第2页(共7页)
17.(15分)
【解】(1)如图，连结CD?.
Z
因为E为矩形CC?D?D两条对角线的交点，
D?
C?
A?
所以E为CD?的中点.
M,
B: E-
N
取DD?的中点M,连结AM,ME,
D
F
Cy
则ME//CD,且ME=÷cD,
A
B
x
因为AB//CD,所以AB//ME.
⋯⋯2分
因为BE//平面AA,D?D,BEc平面ABEM,
平面ABEM∩平面AAD?D=AM,
所以BE//AM.
⋯⋯ 4分
所以四边形ABEM是平行四边形，
所以AB=ME= cD.
⋯⋯ 5分
(2)以D为原点，{DA,DC,DD}为正交基底建立如图空间直角坐标系.
则A(2,0,0),B(2,2,0),
设AA?=c,则D(0,0,c),A(2,0,c),M(0,0,c).
所以AB=(0,2,-c),AB=(0,2,0),AM=(-2,0,).
设平面ABE的一个法向量n=(x,y,z),则{.n=0,
即2x+号；2=0,取x=c,则z=4,所以n=(c,0,4).
⋯⋯ 8分
设直线A?B与平面ABE所成角为θ,
则sin@=lcos<4B,n>|=√e2+4×√2+165,
解得c=2或4,
高三数学参考答案 第3页(共7页)
所以AA,=2或AA=4.
⋯⋯11分
(3)取CC?的中点N,CD的中点F,连结BF,EF,NF.
由(1)证明过程可知，平面ABE截四棱柱的截面为四边ABNM,
截得下面部分为三棱柱ADM-BFE和四棱锥B-CFEN.
设AB=a,AD=b,AA?=c,则CD=2a.
所以三棱柱ADM-BFE的体积v.=4abc,
四棱锥B-CFEN的体积V?=gabc,
所以下面部分的体积为VR=V?+V?=iabc.
⋯⋯13分
而四棱柱ABCD-A?B?C?D?的体积V=?(a+2a)bc=3abe,
所以上面部分的体积为Vr=3abc-abc=12abc,
所以上、下两部分的体积之比为号
⋯⋯15分
4
18.(17分)
【解】(1)设A(x?,y?),B(x?,y?),则
两式相减，得2-22+x2-22=0,
即￥-2x+?=2
⋯⋯2分
因为M为AB的中点，所以M2,+2),
所以直线OM的斜率为“盖
所以从=一一：.+?=,
所以a2=-4,,即a=2b.
⋯⋯ 4分
因为椭圆E的焦距为2√3,焦距为2√3,
高三数学参考答案 第4页(共7页)
解得a=2,b=1,
所以椭圆E的方程为+y2=1.
⋯⋯ 6分
(2)设直线1的方程为y=k-4.
代入方程+y2=1,消y得(1+4k2)x2-32kx+60=0,
则x+x?=1+4k2,xix?=1+4k2
又△=(32k)2-240(1+4k2)=64k2-240,
令△>0,得k2>15.
⋯⋯ 8分
若∠AOB为直角时，有OA·OB=0,即x?x?+y?y?=0,
所以(1+k2)x?x?-4k(x?+x?)+16=0,
即154+2 134k2+4=0,解得k=±√19,符合；
⋯⋯10分
若∠OAB或∠OBA为直角时，不妨设∠OAB为直角，
则koE·k=-1,即.D+4=-1,
所以x2=-y2-4y?·
又+Y2=1,联立方程组解得n=-3或y?=2(舍去),
所以x=±235,
所以k=v+4=±√5,符合.
综上，k=±√19或k=±√5.
⋯⋯12分
(3)由直线1的方程y=kx-4,知P(,o).
因为点C为点A关于x轴的对称点，所以C(x?,-y),
所以直线BC的方程为?+y=x-x,
令y=0,得点Q的横坐标为×e=+y?,
⋯⋯14分
因为y?=kx?-4,y?=lx?-4,
高三数学参考答案 第5页(共7页)
所以-
所以|OP|·10Q=4|·|-k|=4为定值.
⋯⋯17分
19.(17分)
【解】(1)设“恰好2次操作后袋中球的颜色全部相同”为事件A,根据操作的规定，
事件A发生即“恰好2次操作后袋中5个球的颜色都为黑色”,2次操作，
其中1次取出1红1黑，另一次取出2红.
⋯⋯2分
所以P(4)=C×+×=50
⋯⋯ 4分
(2)操作2次后，X?的可能取值为2,3,4,5,
⋯⋯ 5分
P(x?=2)=×G-100
⋯⋯ 6分
P(x?=3)=cGc+G2×SG-o,
⋯⋯ 7分
Px?=4)=等×++cc.cGG-1
⋯⋯ 8分
P(x?=5)=cic ccG-18
⋯⋯·9分
所以X?的分布列为
X?
2
3
4
5
P
100
100 0
⋯⋯10分
(2)记执行上述操作n次后，盒子中黑球的个数为X,
设P(X=k)=P,k=2,3,4,5,
则P?+P?+P?+P?=1,E(X。)=2p?+3p?+4p?+5p?, ⋯⋯11分
则P(x.灬=2)=SP?=亩方p?
P(.灬-=3)=-cp+D=鲁D+n.,
高三数学参考答案 第6页(共7页)
巧
P(x灬=4)-D+Gc n+芒P?-品2+品D+鲁n,
P(.灬=5=D+C .+等P=一D,+P.+D,
⋯⋯13分
所以，
E(x.)=5p?+(号P?+1OD)+(号P?+号p+号p.)+(2P?+2P?+5p,)
=(号P?+号P?+号P4+3ps)+2(P?+Ps+P4+Ps)
=3(2P?+3p?+4Pa+5p?)+2(p?+P?+Pa+P?)
=3E(x,)+2,
⋯⋯15分
所以E(xm)-5=3[E(x,)-5],
又1E(x;,)=2×3+3×+4×=号
所以E(x?)-5=-号≠0,
所以{E(x。)-5}是以一号为首项，
为公比的等比数列，
所以E(x)-5=-×(3)
所以1E(x,)=5-×(3)“<5
⋯⋯17分
35
高三数学参考答案 第7页(共7页)
