2025~2026学年高三年级质量检测
数学评分参考
一、单选题：1--8 CBDDB CAD
二、多选题： 9.BC 10.ACD 11.ABD
13.5
三、填空题： 12. 16.5 14.-1或2
四、解答题：
15.解：(1)由表中数据可得m=92,n=100-68=32. ………………2分
零假设为
H?:使用智能设备与有效预防摔倒的发生无关.
x2=20×18×103×92=40×7620×10×24100=18>10.828
故根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H。不成立，即认为使用智能设备能有效预防摔倒发生.
………………6分
(2)易知5名“发生摔倒”的老人中有1人使用智能设备，4人未使用智能设备，
故X的所有可能取值为1,2, ………………8分
P(x=1)=G,P(X=2)==16-3.
………………10分
(X)=1×2+2×3-5
所以X的期望1 ………………11分
D(x)=(1-号2×2+(2-号2×3-25=0.24.
X的方差 ………………13分
16.解：(1)解：(1)由2√3aesin B=(a+b+c)(a+b-c)=a2+b2+2ab-c2, ………………1分
又SAc=ac sinB=absinc,
所以2√3absinC=a2+b2+2ab-c2. ………………2分
cosc=a2a√3sinc-1,即:sin(C-6)=2.
由余弦定理得： ………………5分
-6<c-6<6 c-6=6, C=3.
因为0<C<π,所以 所以 ,所以 ………………6分
sin B=√2cos“-2. B=34
所以 因此，B=4或 (舍去).
B=4.
所以， ………………8分
acsinB=3+√3
(2)因为△ABC的面积为3+√3,所以 .所以ac=6√2+2√6.①
高三数学答案第1页(共5页)sin? sinB sinc=1.
由正弦定理设，
因为4+B+c-π.所以sin 4-sin(B+-sin Bcosc+cos Bsinc√+
………………12分
a=√6+2,=5,.
所以，
代入①式，解得t=4,所以a=√6+√2,b=4sin B=2√2,c=2√3. ………………14分
所以△ABC的周长为a+b+c=3√2+2√3+√6. ………………15分
17.(1)证明：取AD中点O,连接PO,BO,因为底面ABCD为矩形，且AB=√2,BC=2.
所以tan∠OBA=tan∠ACB, 所以∠OBA=∠ACB.
又因为∠CAB+∠ACB=90°,所以∠OBA+∠CAB=90°.所以OB⊥AC.
因为AC⊥PB,PB∩OB=B, 所以AC⊥平面POB,所以AC⊥OP.
因为PA=AD 所以OP⊥AD. 又因为AD∩AC=A,所以OP⊥平面ABCD.
因为OPc平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD. ………………4分
(2)(i)连接BD交AC于点N,连接ON.分别以OA,ON,OP所在直线为x轴，y轴，z轴建系..
过点N作平面ABCD的垂线l,易知M∈1,设M(0,2,1),P(O,0,h),其中h>0;
=5
09,Mz2-+2-[)
解得 (舍负).
MP2=+(h-y2=(√69 所以h=√3.所以P(0,0,3,M(0,2,3
因为
………………7分
连接MP,MO,因为MA=MD,所以MO⊥AD,所以∠POM是平面PAD与平面MAD的夹角.
zm
0M=√?+3-6,0P=√5,MP=√6
又因为
5
所以平面PAD与平面MAD夹角的余弦值为 ………………9分
高三数学答案第2页(共5页)(ii)因为AD//BC,BCc平面PBC,ADt平面PBC,所以AD//平面PBC.
因为ADc平面PAD,平面PAD∩平面PBC=1,所以1// AD.
M=(m-2235.
M(0,一2,3
所以可设Q(m,0,√3),又 ,所以 ………………11分
因为CB=(2,0,0),PB=(1,√2,-√3),设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),
x+-2y-5=0
所=。
则 所以 ,可取n=(0,√3,√2). ………………13分
上
o<smos55
所以g 因为m∈R,所以
co.5.
即sinθ的取值范围为 ………………15分
18.解：(1)依题意，设P(x,y),则P到定直线l:x=-2√3的距离d=|x+2√3|,|PFl=√x+√3)2+y2
1+25年-
则 ,将式子两边平方，并化简得x2+2y2=6.
+3=1.
所以曲线C的标准方程为 ……………4分
M(-3,一3),
(2)(i)因为A(2,1), ,所以 ,所以k?=-2.
所以直线AN的方程为：y=-2x+5,代入椭圆方程得：9x2-40x+44=0.
x= x=
2xx=9
N(2,
因为 ,所以 ,所以 ,即 ),所以
y+5=今(x+3)
所以直线AN的方程为： ,即4x-7y-9=0.
h=13-6+-49-√85,xIMN-√+3+(3+32=495
所以点A到直线MN的距离为
高三数学答案第3页(共5页)S-×4-95×65-16
所以△AMN的面积为 ………………10分
(ii)设MN:x=ny+m,M(x?,y?),N(x?,y?),联立
n+y?=-2+2,·v?=m2+2
(n2+2)y2+2mny+m2-6=0,则
k;·k?=Y,-2-x,-2--2,
注意到 ,代入x=ny+m得
(y?-1)(y?-1)+2(ny,+m-2)(ny?+m-2)=0.
即(2n2+1)yy?+(2mn-4n-1)(y?+y?)+2(m-2)2+1=0.
所以(2n2+1)(m2-6)-2mn(2mn-4n-1)+(2m2-8m+9)(n2+2)=0.
化简得-3n2+2mn+5m2-16m+12=0,即(-3n+5m-6)(n+m-2)=0.
m=3+6
于是 或m=-n+2,代入x=ny+m得
×-=”(y+) 5一3)
或x-2=n(y-1),即定点坐标为 或(2,1)(舍去).
5一3).
所以直线MN 过定点 ………………17分
19.解(1)f(x)=sinx+cosx+sin2x-1=sinx+cosx+(sinx+cosx)2-2
-(six +cosx+2)6imx+cosx-1)=(si (x+)+2)(si (x+4)-1),
√2sin x+4)+2>0,当√2sin(x+4)-1>0时，xe (2kπ,2kπ+吾).keZ.
显然，
√2sin x+4)-1<0时，xe 2kπ+2,2kπ+2π),keZ
当
2kπ,2kπ+2),keZ 2kπ+-,2kπ+2m7),kez.
所以，f(x)的递增区间是 ;递减区间是：
………………4分
高三数学答案第4页(共5页)(2)设h(x)=e2-3x+sinx-cosx-1-f(x)=e2-2x-sin2x-1.
当x≤-1时，e2>0,-2x≥2,
所以b(x)=e2-2x-1-sin2x>0+2-1-sin2x=cos2x≥0,满足题目条件.
当x≥1时，又h(x)=2e2-2-sin 2x≥2e2-2-sin 2x>0,
所以，h(x)单调递增，而h(1)=e2-2-1-sin21>e2-4>0,所以，h(x)>0.
当x∈(-1,1)时，易知|x|≥|sinx|≥0,所以，x2≥sin2x.
又e?≥x+l>0, 所以e2≥(x+1)2(-1<x<1) 即e2≥x2+2x+l≥sin2x+2x+1.
综上可得，e2-sin2x-2x-l≥0(当且仅当x=0时取等号).
所以，e2-3x+sinx-cosx-1≥f(x). ………………10分
(3)S,>7+
.理由如下：
由(2)知e2-2x-1≥sin2x,用-x代替x,得e2+2x-1≥sin2x.
sin2x≤e"+22-2, x=1n√"+!(n=1,2,3,…,n),
两式相加得： ,取
(--21)
则：
(-(1)-)
又因为
1-cos(Im+)<n(n+)六+ s(n?)>1--—+)
所以 所以，(
S,>n-(1-2+2-…1-7+)=-1+-+n?+
所以， ………………17分
高三数学答案第5页(共5页)
