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高二年级数学试卷
考生须知：
1.全卷分试卷和答题卷。考试结束后，将答题卷上交。原牛考院
2.试卷共4 页，有4 大题，19 小题。满分150 分，考试时间120 分钟。
3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共计40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是正确的．
1. 设集合
}
,0,1
{
a
M
，
}
,0
{
2
a
N
，且N
M
，则实数a 的值是（
）
A. －1
B. 0
C. 1
D. 2
2. 已知随机变量�∼�(2, �2)，�(�> 1) = 0.7，则�(�< 3) =（
）
A. 0.2
B. 0.3
C. 0.7
D. 0.8
3.下列求导运算正确的是（
）
A.
9
1
)
9
(ln
B.
x
x
3
cos
)
3
(sin
C.
3
3
x
x
D.
2
ln
1
)
2
(log2
x
x
4.
7
log
,
4
1
cos
,
4
3
4
c
b
a
，则（
）
A.
a
b
c
B.
b
c
a
C.
b
a
c
D.
a
c
b
5. 如图，在四面体OABC 中，
a
OA
，
b
OB
，
c
OC
，P 为线段OA 上一点
PO
AP
2
，Q 为线段
BC 上一点，且
QC
BQ
3
,则PQ 等于（
）
A.
c
b
a
4
1
4
3
3
1
B.
c
b
a
4
3
4
1
3
1
C.
c
b
a
4
3
4
1
3
1
D.
c
b
a
4
1
4
3
3
1
6. 在长方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD
中，
,2
,3
,4
1
AA
BC
AB
点E 是
1
1B
A
的中点，那么异面直线DE 和BC
所成的角的余弦值等于（
）
A.
17
17
3
B.
17
17
C. 17
6
D.
17
17
6
7. 甲乙丙等6 人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（
）
A. 36 种
B. 72 种
C. 96 种
D. 120 种
8. 已知函数
0
,
2
0
,
2
2
ln
x
xe
x
e
x
x
f
x
，若方程
e
x
k
x
f
2
1
有三个根，（k ＞0）则实数k 的取值范围是（
）
A.
e
2
0，
B.
1,
2
e
C.
e
2
0，
D.
1,
2
e
A
B
O
P
Q
C
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二、多项选择题:本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9. 设离散型随机变量X 的分布列为
X
4
6
8
P
0.3
0.4
m
若
1
2
X
Y
，则（
）
A.
6
)
(
X
E
B.
4.2
)
(
X
D
C.
12
)
(
Y
E
D.
6.9
)
(
Y
D
10. 已知点
)
3,
(
0x
M
在抛物线
0
2
:
2
p
py
x
C
上，过C 的焦点F 的直线与C 相交于
B
A,
两点，C 在
B
A,
两点处的切线相交于点P ，AB 的中点是Q ，若
5
MF
，则（
）
A.
6
2
0
x
B. 抛物线C 的准线方程是
1
y
C. 点Q 在抛物线
2
8
1
2
x
y
上
D. 点P 在C 的准线上
11. 设函数
2
1
x
x
x
f
n
n
在
1
2
1，上的最大值为
2,1
n
an
，则
（
）
A.
8
1
1
a
B.
x
fn
的极小值为
2
n
n
fn
C.
2
n
时，都有
2
2
1
n
an
D.
x
fn
有两个极值点
三、填空题:本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 在
n
x
x
)
2
(
3
的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为___________．
13. 已知复数
i
a
a
z
2
2
1
，
i
a
a
z
2
2
3
2
，
i
R
a
,
是虚数单位，若
0
2
1
z
z
，则
1z =________.
14. 已知双曲线C：
0
,0
1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
的左右焦点分别为
2
1
F
F，
，以C 的实轴为直径的圆记为D，
过
1F 作D 的切线与C 交于M，N 两点，且
13
5
cos
2
1
NF
F
，则C 的离心率为___________.
四、解答题:本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 我校有两个相互独立的消防安全警报系统（简称系统）甲和乙，系统甲和乙在任意时刻发生故障的概率
分别为p 和5
1 。
（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为20
19 ，求p 的值；
（2）设系统甲在3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望
)
(X
E
。
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16. 已知数列
n
a
的首项
2
1
1
a
，且满足
)
(
3
1
1
N
n
a
a
a
n
n
n
．
（1）求数列
n
a
的通项公式；
（2）记
n
n
n
a
b
4
，求
nb
的前n 项和
n
S ．
17. 如图，在三棱柱
1
1
1
C
B
A
ABC
中，
C
C
B
C
1
1
，
AC
AB
，
6
AC
AB
，D 是BC 的中点，
3
1
1
D
C
A
C
（1）求
1
C 到平面ABC 的距离；
（2）求平面
1
1A
ABB
与平面
1
ABC 所成锐二面角的余弦值.
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18. 已知过点
2
2
1，
的椭圆C：
0
1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
的离心率为2
2 .
（1）求C 的方程；
（2）如图，AB 和CD 是过椭圆C 左焦点F 的弦，且AB⟂CD，点P 为直线AD 与BC 的交点
（i）求四边形ACBD 面积的最大值.
（ii）若点M，N 分别是弦AB，CD 的中点，求△PMN 面积的最大值.
19. 若对
D
x
x
2
1,
且
2
1
x
x
，函数
x
f
，
x
g
满足：
0
2
1
2
1
m
x
g
x
g
m
x
f
x
f
，则称
函数
x
f
是函数
x
g
在区间D 上的m 级控制函数．
（1）判断函数
x
x
f
是否是函数
2
x
x
g
在区间
2
1
,
2
1
上的1 级控制函数，并说明理由；
（2）若函数
x
x
f
ln
是函数
x
x
g
在区间
2,1
上的m 级控制函数，求实数m 的取值范围；
（3）若函数
x
f
是函数
x
x
x
g
ln
在区间
，
0
上的m 级控制函数，且函数
x
f
在区间
，
0
上
存在两个零点
b
a,
，求证：
2
b
a
．
B
D
C
M
N
F
P
A
y
x
O
