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高 2027 届高三（上）第一次月考
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．
3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分 150 分，考试用时 120 分钟．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项最符合题目要求的．
1. 下列表示集合 和 关系的 图中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 （
）
A. B. C. D.
3. 已知 ，则“ ”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 若二项式 （ ）的展开式中存在常数项，则 的最小值为：（ ）
A. 14 B. 10 C. 7 D. 5
6. 小明常用人工智能大模型 DeepSeek 解决学习疑问．当小明输入的问题表达清晰时，DeepSeek 的回复被
采纳的概率为 0.8；当小明输入的问题表达不清晰时，DeepSeek 的回复被采纳的概率为 0.3．若小明输入的
第 1页/共 4页问题表达清晰的概率为 0.7，则 DeepSeek 的回复被采纳的概率为（ ）
A. 0.56 B. 0.65 C. 0.77 D. 0.8
7. 已知函数 存在单调递减区间，则其导函数 的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 ，则实数 满足 ，则满足条件的实数 的值的个数为（
）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 关于 对称
C. 若将 的图象向左平移 个单位后得到的函数为奇函数，则 的最小值为
D. 若方程 在 上有且仅有一个实数解，则 的取值范围为
10. 已知实数 ， ， 满足 ，则下列不等式正确的有（ ）
A. B. C. D.
11. 已知定义域为 的函数 ， ，满足 ， ，
第 2页/共 4页， ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 是周期函数
C. 是奇函数 D. 点 是 的对称中心
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸
叠扇完全展开后，得到的扇形 ABC 面积为 ，则当该纸叠扇的周长最小时， 的长度为______
cm.
13. 若 ， ，则 ____.
14. 对甲、乙等 6 名运动员进行分组训练，要求至少分成两组，每组至少一人，且甲、乙两人被分在同一组，
则不同的分组方案有_____种．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ， ．
（1）求 ；
（2）设函数 ，求 的值域和单调区间．
16. 已知 ， 在 处的切线与 垂直，
（1）求实数 的值；
（2）求 在区间 上的值域．
17. 记 内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ．
（1）证明： 为钝角三角形；
第 3页/共 4页（2）若 ，且 ，求 的面积．
18. 某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了 个相同的箱子，其中第
个箱子中有 个数学题， 个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，
依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部
答对获得一个奖品．
（1）已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了 个数学题， 个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为 ，
答对每一个物理题的概率为 ．
①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；
②已知 ，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时 、 的值．
（2）若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率．
19. 已知函数 .
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 ，求 的取值范围；
（3）若 ，设 ，且 ，证明： .
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