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专题18 利用动量定理解决电磁感应
1.（12 分）（2024 湖南新高考教学联盟4 月第二次联考）如图甲所示，长度为L 的水平绝缘传送带顺时针
转动，速度大小恒定，上表面与地面间的高度为h，且粗糙程度相同。有一长度为d 的导体杆，质量为
m，电阻不计，两端通过两根柔软的轻质导线连接到电路中，电路中接有一阻值为R 的定值电阻。导线的
电阻均不计且导线够长，故导体杆在运动过程中不会受到导线的拉力，且运动过程中柔软导线不会进入磁
场。图乙为整个装置的俯视图，如图所示，宽度恰为d 的区域中存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为
B，边界正好始终与导体杆垂直。现将导体杆垂直传送带传动方向轻轻放上传送带的左侧，导体杆能做加
速运动，且恰能在滑离传送带前与其共速。导体杆滑离传送带后立即沿水平方向抛出，水平射程为x，落
地时动能为抛出时的一半，且速度与水平面的夹角为45°。重力加速度为g。导体杆由特殊轻质材料制成，
其运动整个过程中都需同时考虑其重力和空气阻力，空气阻力方向始终与运动方向相反，大小为
，
其中k 为定值。导体杆运动过程中始终和初始状态保持平行。
（1）求导体杆从放上传送带到落地的过程中，流过电阻的电荷量；
（2）求导体杆在空中运动的时间；
（3）求传送带多消耗的电能。
【名师解析】（1）导体棒在运动过程中，由电流的定义可知
由闭合电路欧姆定律，有
由法拉第电磁感应定律，可得
，
联立以上各式，可得
。
1
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（2）落地时动能为原来的一半，夹角为45°，可得其水平分量
，竖直分量
两个方向上分别使用动量定理，可得
其中
、
分别为空气阻力的水平、竖直分量，由矢量的分解结果可得
联立以上各式，并对时间进行累积，可得
解方程组，可得
（3）由第（2）问可得
传送带多消耗的电能等于滑动摩擦力对传送带做的负功，即
在传送带上运动时，由动量定理可知
该式对时间累积，可得
联立以上式子，可得
即
或
2．（18 分）（2024 年重庆第七次质检）如图所示，带有水平端、倾角
的绝缘斜面体装置“
”固定
2
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在地面上，装置表面
内对称的固定两根金属导轨
，导轨
间距为L，导轨
左右宽度为L、右端间距
，其中导轨斜面、水平部
分在N、
处绝缘（断点）。区域Ⅰ（边界
、
）中的匀强磁场
方向垂直斜面向上，区域Ⅱ（边
界
、
）中的匀强磁场
方向垂直斜面向下，区域Ⅲ（边界
、
）中的匀强磁场
方向垂直
水平面向上，其中
（具体大小未知），各边界与
、
、
彼此平行，除区域Ⅱ内
的导轨粗糙外其它导轨均光滑。
现将一质量为m、长为3L 的细金属杆甲由距
上方2L 处静止释放，当甲进入区域Ⅰ时，将另一质量为
m、长为3L 的细金属杆乙（图中未画出）由
上方某处静止释放，甲恰好开始匀速运动并保持匀速通过
Ⅰ、Ⅱ，其中：当甲进入区域Ⅱ时，乙刚好进入区域Ⅰ并开始匀速运动；当甲离开区域Ⅱ时，乙刚好离开
区域Ⅰ。最终乙在甲进入区域Ⅲ前，与甲发生碰撞后，乙杆被锁定，甲以
进入区域Ⅲ。已
知乙杆在导轨间的有效电阻为R，甲杆、导轨电阻不计，两杆始终与边界平行，且只与导轨接触并接触良
好，经过
处杆速度大小不变，重力加速度为g，求：
（1）甲、乙进入区域Ⅰ的速度
、
大小；
（2）区域Ⅱ的
大小及宽度（a 到c）
大小；
3
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（3）关于甲能否通过区域Ⅲ，某同学做了分析计算，得到极短时间内甲杆速度变化量
与杆切割的有效
长度
、切割的极小位移
之间满足：
正比于
，后续无法继续完成并做出结论，请分析论证：
若甲能通过Ⅲ，则求出通过
时的速度大小；若甲不能通过Ⅲ，则求出最终停下来的位置距
的距离
大小。
【参考答案】（18 分）
（1）
（2）
4L
（3）甲能通过Ⅲ，速度为
【名师解析】（1）甲进入Ⅰ时：
甲、乙均匀
、
速通过Ⅰ，显然前后电流、总电压不变
故：
易得：
（2）甲进入Ⅰ匀速，则满足：
得：
4
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即：
设Ⅰ、Ⅱ宽度为
、
，据题意运动时间关系，显然易得：
即：
（3）假设甲能离开
，速度为
，则甲在Ⅲ内的极小时间
内：
动量定理得：
（微元思想：如上图推演）
5
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故假设成立，所以甲能离开
。
3．（15 分）（2024 年3 月南京质检）如图所示，足够长“V”字形的金属导轨两侧与水平地面的夹角
，最低点平滑连接，其间距为
，左端接有电容
的电容器．质量
的导体棒可在导轨上滑动，导体棒与两侧导轨间的动摩擦因数相同，导体棒和导轨的电阻均不计.导轨左右
两侧存在着垂直于导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度
．现使导体棒从左侧导轨上某处由静止
释放，经时间
第一次到达最低点，此时速度
，然后滑上右侧导轨，多次运动后，最
终停在导轨的最低点.整个过程中电容器未被击穿，忽略磁场边缘效应和两个磁场间相互影响，重力加速度
g 取10
，
，
．求：
（1）导体棒第一次运动到最低点时，电容器所带电荷量Q；
（2）动摩擦因数
和导体棒第一次运动到最低点时，电容器储存的能量
；
（3）导体棒运动的总时间
．
【名师解析】．（15 分）
（1）在最低点，导体棒切割磁场，电容器两端电压与导体棒两端电动势相等．
①
电容器的电容
②
由①②得
（2）导体棒由在左边导轨上静止释放后，在下滑过程中受力分析如图：
6
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解法一：沿斜面方向由动量定理得：
解得：
解法二：沿斜面方向由牛顿第二定律得：
③
④
⑤
⑥
由③④⑤⑥得
根据电容器储存能量公式
解得
（3）根据分析可知道，物体冲上右边导轨后，电容器放电，导体棒安培力沿斜面向上，受力分析图如图
所示，根据牛顿第二定律得：
⑦
⑧
⑨
由⑦⑧⑨得
7
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，
物体上滑到右侧最高点位移
解得
同理，导体棒从右侧斜面最高点滑下过程中电容器充电，加速大小等于
，导体棒第二次经过最低点时假
设其速度为
，则
解得
导体棒从右侧轨道上滑到达最高点后以
向下匀加速，到达最低点后以加速度
减速滑上左侧轨道，如此
往复，直至停在最低点.根据运动学规律，易得：
在两边导轨加速下滑过程时间依次为：
，
，
，
…
在两边导轨减速上滑过程时间依次为：
，
，
，
…
所以
4.（11 分）（2024 浙江温州二模）如图所示，SM、TN 是两条平行固定水平金属导轨，其右端串接电键K
和阻值为
的定值电阻。倾角相同的倾斜金属导轨AC、BD 和EP、FQ 架接在水平导轨上，与水平轨道平
滑连接，且接触点无电阻，水平导轨间距、倾斜导轨间距均为L；金属棒a 质量为2m、阻值为R，金属棒
b 质量为m、阻值为2R，两根金属棒长度均为L，分别由锁定器锁定在两个倾斜导轨的同一高度处，高度
为h，锁定好的两金属棒在水平导轨上的投影分别为ST、HG。CDGH 和PQNM 两区域均足够长，分布有
8
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竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小分别为
、
。已知：
、
、
、
、
、
、
，所有导轨均光滑且不计电阻，两金属棒与导轨接触良好。
第19 题图
（1）闭合电键K，仅解除锁定器1，让a 棒静止释放，求：
①a 棒刚进入CDGH 区域磁场时，PQ 两点间的电压U；
②a 棒在CDGH 区域磁场中运动的距离
；
（2）a 棒在CDGH 区域静止后，断开电键K，解除锁定器2，让b 棒静止释放，求：
①当b 棒在PQNM 区域磁场中速度为
时，a 棒的加速度大小
；
②从锁定器1 解除到两金属棒运动稳定，a 棒产生的总焦耳热
。
【名师解析】.（1）①a 棒在斜导轨上，有机械能守恒：
a 棒刚进入CDGH 区域磁场时：
（1 分）
切割产生的电动势：
PQ 两点间的电压：
（1 分）
②对a 棒，在CDGH 区域磁场中，由动量定理：
（1 分）
其中：
9
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得：
（1 分）
（2）①b 棒进入PQNM 区域磁场时速度：
对b 棒，进入磁场到
，由动量定理：
此过程，对a 棒，由动量定理：
可得：
（1 分）
此时回路电流：
（1 分）
对a 棒，由牛顿第二定律：
（1 分）
②分析可知，两棒运动稳定时：
对b 棒，进入磁场到运动稳定，由动量定理：
此过程，对a 棒，由动量定理：
（1 分）
得：
，
（1 分）
此过程，由能量守恒：
其中a 棒产生焦耳热：
（1 分）
b 棒未解锁，a 棒运动时，由能量守恒：
其中a 棒产生焦耳热：
10
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从锁定器1 解除到两棒运动稳定，a 棒产生总焦耳热：
（1 分）
注：以上各步用其他方法解题的，只要合理，得同样的分。
5 . (2024 浙江台州期末)如图所示，光滑水平导轨
放置在竖直向上的磁感应强度大小为
的匀强
磁场中，取
中点为坐标原点
，以水平向右为正方向建立
轴。导轨
部分与
轴的夹角相等，
左端
的坐标为
且与装置
相连，装置
能自动调节其输出电压确保回路电流
恒定，其中
处是光滑绝缘件，导轨
间距为
且足够长。
间通过单刀双掷开关
连接阻值为
的电
阻和电容为
的电容器，开关
可分别与接线柱1、2 相连。导轨上的金属棒与
轴垂直，在安培力作用下
从
位置静止开始向右运动，经过
处的速度大小为
。已知金属棒的质量为
，长度为
，电
阻为
，金属棒与导轨接触良好，不计导轨电阻，电容器初始不带电，不计所有阻力。
（提示：可以用
图像下的“面积”代表力
所做的功）
（1）若开关
和接线柱1 接通，求金属棒停下的位置坐标；
（2）若开关
和接线柱2 接通，求金属棒稳定后的速度大小；
（3）求导轨左端
的间距
。
11
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【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）对金属棒分析，用动量定理，有
解得
（2）对金属棒分析，用动量定理，有
解得
（3）对金属棒用动能定理，则有
解得
12
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6. （2024 浙江宁波期末） 如图所示，两个足够长的平行光滑细金属导轨固定在倾角
的光滑绝缘
斜面上，导轨间距
，且电阻不计，导轨间有宽度为
、磁感应强度的大小为
、
方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，一长度为3d 的绝缘轻杆将导体棒和正方形细金属线框连接，线框的边
长为d，线框的总电阻为
，导体棒和线框总质量为
，导体棒与导轨始终接触良好，并
在导体棒中通以恒定电流
（由外接恒流电源产生，图中未画出），导体棒处于磁场内且恰好位于
下边界处，将装置由静止释放，导体棒先穿过磁场，后金属线框也穿过磁场。金属线框第一次刚穿过磁场
后的速度约为1.2m/s，之后再次返回穿过磁场。不计线框及导体棒中电流所产生磁场的影响，重力加速度
g 取
，求：
（1）导体棒第一次离开磁场上边界的速度
；
（2）金属线框第一次沿绝缘斜面向上穿过磁场的时间t；
（3）经足够长时间后，导体棒能到达的最低点与磁场上边界的距离x。
【参考答案】（1）
；（2）0.16s；（3）
【名师解析】
（1）根据题意可知，导体棒所受安培力为
根据牛顿第二定律有
所以
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（2）线框进磁场时的速度为
，则有
解得
线框第一次穿过磁场时的速度为
，由题意可知
设线框向上穿过磁场的时间为t，由动量定理得
联立解得
（3）设经足够长时间后，线框最终不会再进入磁场，即运动的最高点是线框的上边与磁场的下边界重合，
导体棒做上下往复运动，设导体棒运动的最低点到磁场上边界的距离为x，则有
解得
7. （2024 江苏镇江质检）如图所示，水平面上有两根很长的光滑平行金属导轨上放置两金属棒，金属棒
ab、cd 的质量分别是2m 和m，电阻分别为2r 和r，导轨电阻不计，导轨间宽度为L，方向垂直穿过导轨平
面向里的匀强磁场的磁感应强度为B。设法控制cd 棒静止，ab 棒在恒定的外力F 作用下向左匀速滑动。
（1）计算外力F 的功率；
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（2）某时刻解除对cd 棒的控制，求此刻ab 棒的加速度
以及两棒组成的系统稳定状态下ab 棒的加速度
；
（3）某时刻解除对cd 棒的控制的同时撤去外力F，求两棒组成的系统稳定状态下相对于撤去外力F 时增
加的距离。
【参考答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【名师解析】
（1）设ab 棒的速度大小为
，此时产生的电动势为
电流强度
安培力
ab 棒匀速滑动，则有
联立可得
外力F 的功率
（2）刚解除对cd 棒的控制时，ab 棒受到的安培力不变，则
15
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在稳定状态时，两根棒的加速度相同，对两棒组成的系统由牛顿第二定律得
解得
（3）设左右两根棒的速度分别是
和
，由于安培力对两棒系统的总冲量为零，两棒组成的系统动量守
恒，则有
可得稳定时其共同速度为
以cd 棒为参考，对ab 棒根据动量定理有
其中
即为两根棒在一小段时间内增加的位移，两边求和得到
将
代入得到
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8. （2024 湖北重点高中3 月联考）如图，半径
的固定水平金属圆环内存在方向竖直向上，磁感
应强度
的匀强磁场，可绕圆心O 转动的金属棒
的A 端与圆环接触良好。间距
的两平行长
直导轨
和
与水平面的夹角
，导轨
与金属环相连，
与金属杆O 端相连。导轨平面
的
矩形区域内存在垂直导轨平面向上、磁感应强度大小
的匀强磁场。初始时，一质量
、长
的金属棒
垂直导轨放置并锁定。当杆
以角速度
沿顺时针方向匀
速转动时，解除
的锁定，之后在
时刻
以速度
进入磁场，同时用外力控制
棒，
使
棒在磁场中做匀加速直线运动，
后以
的速度离开磁场，此过程中
棒始终与导轨
接触良好。已知重力加速度g 取
，
，金属棒
、
的电阻均为
，其余电
阻均不计。求
（1）
时刻
棒受到的安培力大小
；
（2）
棒受到的外力
与时间的关系式；
（3）在磁场运动的过程中，通过
棒的电荷量。
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【参考答案】（1）
；（2）
，沿轨道向下为正方向；（3）
【名师解析】
（1）金属杆匀速转动，产生的感应电动势为
，由法拉第电磁感应定律
进入磁场后，产生
感应电动势为
回路中电流
所受的安培力
时，将
代入解得
（2）
在磁场中做匀加速直线运动
的速度
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取沿轨道向下为正方向，对
，根据牛顿第二定律
解得
（3）导体棒
所受安培力的冲量
又
由
可知
时
时
故外力的冲量
由动量定理
解得
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