邕衡名校·广西2025-12月联考高二数学答案（北师大版）_20272025-2026学年高二上学期《联考+联盟类试卷合集》全国多省全科（57套）

广西2027 届（高二）秋季学期12 月联合测试
数学 参考 答案 （北 师大 版）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B B C A B C D C AC ABD ACD
1
12.答案： ； 13.答案：； 14.答案： e  6  22或4
3
1.【详解】易知斜率为 1，故选 B
2.【详解】依题知，横坐标，纵坐标不变，竖坐标变为原来相反数，选 B。
1 1
3.【详解】易知 2p= ,所以 p= ,抛物线开口向上，故选 C。
4 8
4.【详解】两圆的圆心分别为D(-3,4),E(0,0),r=2,R=3|DE| (30)2 (40)2 5r R 选A。
5.【详解】依题有a (a-1)=2,所以a 2-a -2=0，所以a=-1或a=2,选 B。
6.【详解】依题有(2+m)(4-m)<0,所以(2+m)(m-4)>0,选 C。
7.【详解】先排好女生有A3种不同方法，产生四个空位，给男生排有A4种不同的排法，选D.
3 4
8.【详解】对①，根据抛物线定义及梯形中位线性质可知，此说法正确；
对②，因 AB 不一定过焦点，故此说法不一定正确；
m2 n2
对③，依题设A( ,m),B( ,n),(mn 0) ，由 AB 是直径可知，
4 4
  m2n2   m4 n4
OAOB 0, mn0,mn16，易知4S2 |OA|2|OB|2( m2)( n2)
16
AOB
16 16
m4n4 m2n4 m4n2
  m2n2    51216(m2  n2) 512 32|mn | 1024 ，
256 16 16
S2  256，S 16，当且仅m  n  4时等号成立，所以此说法正确。选 C。
AOB AOB
54
9. 【详解】对 A 选项，C2 A2  32 60，A 正确；
5 3 21
765432
对 B 选项，左边   6 右边 42，B 错误；
7654
对 C 选项，C2C2C2361019，法二：C2C2C2C21C3120119，C 正确；
3 4 5 2 3 4 5 6
对 D 选项，C1+C2++C5+C6=26-1 故 D 错误。故选 AC。
6 6 6 6
|30402| 2
10. 【详解】对 A 选项，圆心到直线的距离d   1，A 正确；
32 42 5
对 B 选项，画图可知 B 正确；对 C 选项,两圆心为(6,-2),(4,0),半径为 R=4，r=1,
两圆心距离 d  44  413,两个圆内含,得 C 错误；
对D选项，由切点弦方程得(21)(x1)(32)(y2) 1得y 3x，D正确；故选ABD。
        
11【. 详解】对A选项，AD  AEDF  AD DF  AE  AF  AE  EF ,所以选项A正确；
1 1 1 1
对 B 选项，易知BD 面ABC ，根据过空间一点 A 作直线 B D 的垂面有且只有
1 1 1 1 1
一个可知，不与面 A BC 重合的面 A EF 不能垂直于 B D，故选项 B 错误；
1 1 1 1
对 C 选项，连结 EG，GF，因 E,G 分别为 AB,CD 的中点，故 EG//AD,所以∠FEG
是异面直线 EF 与 AD 所成角或其补角。易知 EG 面 GFD,所以 EG GF，设正方体
⟂ ⟂
棱长为6，则GD=3,FD=4,所以GF=5,易知EG=6，所以选项C正确；
{#{QQABBY4s4giYgJSACA5KQwEUCksYkJIjJAgsBVARuAZLAQFABIA=}#}对 D 选项，连接 GD ，则易知 GD //EA ，在 GD 上取点 M，连接 MF，使 MF//GD ,
1 1 1 1
EA //MF，面 A EF 与面 A EMF 重合，
1 1 1
GD //面 A EMF 重合，设过 G 且平行于平面 A EMF 的
1 1 1
平面，与面 A ADD 交于直线 ND ，则 ND 平行于 A F，
1 1 1 1 1
显然 ND 与四边形 A ADD 有且只有一个交点为 D ,故 D 正确。
1 1 1 1
对 D 选项的解法二：
以 A 为原点，AB,AD,AA 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长
1
为 6，则A(0,0,6),E(3,0,0),F(0,6,4)，G(3,6,0)设 P(0,y,z),则0 y 6,0 z 6,
 1   
且AE (3,0,6), AE (3,0,6),AF (0,6,2),GP (3,y6,z)，求得面AEF的一个法向量
1
1 1
 
1
为n(6,1,3),PG//面AEF， GPn0 18 y63z0y3z240 y 6,0 z 6,
1
y3z  24只有一组解为y  z 6，P坐标具有唯一性，为(0,6,6),D 正确。故选 ACD
1 1
12.答案： 。解：依题得P(B|A)=
3 3
13.答案：2或4。解：2c 2,c2 1,m31或3m1,m2或m4
1
14.答案： e  6  2 ，解：xy  3x2 1，y  3x ，所以曲线 C 是对勾函数的图
x
象，当 x 为正数且趋向于正无穷大时，图象不断接近于直线 y  3x，所以曲线 C 的两
条渐近线为y轴和直线y  3x，曲线C焦点所在直线与渐近线夹角为（90°-60°）/2=15°
b c2 b
  tan15  tan(45 30) 2 3, e2  1( )2 1(2 3)2 84 3
a a2 a
e2 84 3 62 6 2 2( 6  2)2,e 6  2.
15.解：（1）a =C0=1,a =C626=64.----------------------------------------------------------4 分
0 6 6 6
（2）令x=1，得a +a +a +a +a +a +a =36=729，-----------------------------------7 分
0 1 2 3 4 5 6
令x=-1，得a -a +a -a +a -a +a =(-1)6=1 --- ---------------------------------------------9 分
0 1 2 3 4 5 6
(a +a +a +a )2-(a +a +a )2=a +a+a +a +a +a +a )(a -a+a -a +a -a +a )=729×1=729 ------13 分
0 2 4 6 1 3 5 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
4 4
16.解：(1)易知k   , 依 题 知 ， 直 线 l的 方 程 为 y   x ;---------------3 分
AB 3 3
易知△AOB 是直角三角形，AB 为圆 C 的直径，
圆心C为(3,4)，半径为R 5圆C的方程为(x3)2 (y4)2  25--------------7 分
(2)由(1)知直线l的方程为4x3y 0------------------------------------------------8 分
|4334| 24
圆心 C 到直线的距离d   ,-------------------------------------12 分
42 32 5
24 49
P 到直线l距离的最大值为5  -------------------------------------------15 分
5 5
{#{QQABBY4s4giYgJSACA5KQwEUCksYkJIjJAgsBVARuAZLAQFABIA=}#}17.解：（1）小李抽奖获得 5 元有三种情况：第一次抽到“5 元”；第一次抽到“再抽
一次”，第二次抽到“5 元”；第一，二次都抽到“再抽一次”，第三次抽到“5 元”；
1 2 1 2 1 1 1
据全概率公式得所求的概率为 +  +   = .------------------4 分
10 10 9 10 9 8 8
（2）记事件 A=“小李获奖”，B=“小李获得 2 元奖”， ----------------------5 分
3 2 3 2 1 3
P（A)= +  +   =0.375， -------------------------------6 分
10 10 9 10 9 8
2 2 2 2 1 2
P（AB)= +  +   =0.25， -------------------------------7 分
10 10 9 10 9 8
由条件概率得
P（AB)
0.25 2 2
P（B|A)= = = ，小李抽奖时获了奖，获得 2 元的概率为 。------8 分
P（A)
0.375 3 3
（2）依题意得 X 的所有取值为 0，2，5---------------------------------------9 分
1 2 5 2 1 5 5
P（X=0）= +  +   = . -------------------------------------10 分
2 10 9 10 9 8 8
2 2 2 2 1 2 1
P（X=2）= +  +   = .-------------------------------------11 分
10 10 9 10 9 8 4
1
P（X=5）= . -----------------------------------12 分
8
X 分布列：
-----------------------------13 分
5 1 1 9
EX=0 + 2 + 5 = ， -----------------------------14 分
8 4 8 8
5 9 1 9 1 9 209
DX=0( - )2 + 2( - )2+5( - )2= ，-------------15 分
8 8 4 8 8 8 32
18.解:(1)证明：取 AD 中点 O，连接 OG,OF
A A=D D=
5
，易知四边形 A ADD 为等腰梯形
1 1 1 1
G，O 为上下两底中点，GO AD-----------------1 分
⟂
F 为正方形 ABCD 的边 BC 中点，FO AD--------2 分
⟂
GO 与 FO 相交于点 O，--------------------------------3 分
AD 平面 GOF,AD GF-------------------------------4 分
⟂ ⟂
(2)由(1)知 GO AD,平面 A ADD 平面 ABCD 于 AD,
⟂ 1 1⟂
GO 平面 ABCD,OA,OF,OG 两两互相垂直,
⟂
如图建立空间直角坐标系------------------------------------------------------5 分
在等腰梯形 A ADD 中,A A=D D= ,AD=2A D =4,如图作 A H AD,易知 OG=A H=2,
5
1 1 1 1 1 1 1 ⟂ 1
E(2,2,0),F(0,4,0),C (-1,2,2),B(2,4,0),C(-2,4,0)
  1 
CB (4,0,0),EF (2,2,0),EC (3,0,2)--------------------------------6 分
1
设平面 EFC 的一个法向量 ,
1 n(x,y,z)
--------------7 分
由 

 nEF 0 有

 


3
2
x
x


2
2
z
y


0
0 ,令x2,则y 2,z 3,n
1
(2,2,3)
 nEC 0
1
{#{QQABBY4s4giYgJSACA5KQwEUCksYkJIjJAgsBVARuAZLAQFABIA=}#} 
  CBn 8 2 17
cosCB,n   1   -----------------------------------8 分
1 |CB||n | 4 17 17
1
2 17
设直线 BC 与平面 EFC 所成角为，则sin -----------------------9 分
1
17
x y z
  
注意：用此法求法向量也可以，t  EFEC  2 2 0  (4,4,6)
1
3 0 2

取平面EFC的另一个法向量为n (2,2,3)，得分也是1分。
1 1

(3)设M为(m,0,2),(1 m1)EM (m2,2,2),-----------------------10 分
设平面 EFM 的一个法向量 n (x ,y ,z ) ,
2 2 2 2
  n EF 0 2x 2y 0
由  2 有由  2 2 ,令x 2,则n (2,2,4m)---------11 分
 n EM 0 (m2)x
2
2y
2
2z
2
0 2 2
2
 
  n n 4 4123m 203m
cos n ,n  2 1   --------13 分
2 1 |n ||n | 8(4m)2  17 17 m2 8m24
2 1
1 m1， 设锐二面角 M-EF-C 的大小为,令 203m,(17 23)
1
 3 3
cos  
20 20 17 2 16136 17 1362 1611--14 分
17 ( )2 8 24
3 3
1 1 1 1 1
令f () 1362 161 1136( )2 16 1，令t  [ , ],
   23 17
1 1 16 1
g(t) 136t2 16t 1,t[ , ]，由t    知,g(t)为减函数
23 17 272 17
1 136 16 297
g(t)  g( )   1 ,--------------------------------------------16 分
max 23 232 23 232
3 23 561
所求的最小值为 
297 561 ---------------------------------------17 分
17
232

注意：也可用此法求面 EFM的法向量，设平面 EFM 的一个法向量 p,
x y z
  
则 p  EFEM   2 2 0  (4,4,8 2m)
m2 2 2

取平面 EFM 的另一个法向量为n (2,2,4m)，得分也是 1 分。
2
{#{QQABBY4s4giYgJSACA5KQwEUCksYkJIjJAgsBVARuAZLAQFABIA=}#}19 解：（1）当OP方程为y=x(x0)，代入x2+y2=4得 R( 2 , 2 )，
6 6 6
S( , )，T( 2 , )，----------------------------------2 分
2 2 2
6
|ST|=|RT| = 2- , 同 理 当 OP方程为y=-x(x0) 时 ，
2
6
|ST|=|RT|= 2- ----------------------------------------------4 分
2
1 6 6 7
ΔSRT 的面积为： ( 2- )( 2- )= - 3 .-----------5 分
2 2 2 4
（2）如图：设xOP= θ，由三角函数的定义得 R(2cosθ,2sinθ)，S( 3 cosθ, 3 sinθ)，
T(2cosθ, 3sinθ)， cos2θ+sin2θ=1,--------------------------------------------7 分
x2 y2
轨迹 C 的方程为： + =1.-----------------------------------------------10 分
4 3
x2 y2
（3）设过 F 的动直线方程为：x=ty+1,代入 + =1------------------11 分
4 3
整理得(3t2+4)y2+6ty-9=0,Δ>0.设 P(x ,y ),Q(x ,y ),
1 1 2 2
6t 9
由韦达定理有y  y  ,y y  ,
1 2 3t2 4 1 2 3t2 4
则 3(y +y )=2ty y .-----------------------------------------------------------------13 分
1 2 1 2
y y
A P 的方程为：y= 1 (x+2)①; A Q 的方程为：y= 2 (x-2)② ;
1 x +2 2 x -2
1 2
3y
x +2=ty +3代入①可得：y = ,-----------------------------------14 分
1 1 1 x+2-ty
-y
同理由②可得：y = ，--------------------------------------------15 分
2 x-2-ty
3y -y 3y -y
3( + ) = 2 t× × ,
x+2-ty x-2-ty x+2-ty x-2-ty
简得 x=4.即交点 M 在直线 x=4 上。-------------------------------------17 分
{#{QQABBY4s4giYgJSACA5KQwEUCksYkJIjJAgsBVARuAZLAQFABIA=}#}