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广西 2027 届（高二）秋季学期 12 月联合测试
数学参考答案（人教版）
1.C【详解】斜率 ，所以倾斜角为 .
2.B【详解】 ， 是两个定点， ，而 ，所以由椭圆的定义得，
动点P的轨迹是椭圆.
3.B
【详解】由题意 ， ,又 ，所以数列 是以 为首
项，1为公差的等差数列， ，所以 ，
4.A
【详解】如图，因为在正三棱锥 中，所以点 在平面
的重心，延长 交 于点 ，则 为 的中点，且
易知 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
所以直线 与平面 所成角为 ，
由勾股定理可得，
故 ，故 ，因此侧棱 与底面 所成角为
.
5.C
【详解】由题意得， ，由余弦定理得，
代入得，
则双曲线的焦距等于4.6.D 【详解】把圆 的方程化成标准方程，得 ，
圆 的圆心是 ， 半径 .
把圆 的方程化成标准方程，得 ，
圆 的圆心是 ， 半径 .
圆 与圆 的圆心距为 .
圆 与圆 的两半径之和 ，两半径之差 ，
因为 ，即 ，所以圆 与圆 相交.
7.B
【详解】 ，渐近线： ，设 为 到 的距离，则
， ；在 中 ，在 中
； ；化简得： ；
； ；所以渐近线方程为
8.A
【详解】由题可设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 或 ，因 故
所以 ，
当 为偶数时， 关于 单调递增，此时
当 为奇数时， 关于 单调递减，此时
故 最小为 最大为2又因为 关于 单调递增，故，
故若 恒成立，则 的最小值为 .
故选：A
9.ABC
【详解】A由定义可知正确，B： ，则 ，故B正确。
C: ，故C正确.D: ， 故D错误.
故选：ABC
10.AD
【详解】因为面 面 ，且交线为 ，棱 与 平行，所以点
M到面 的距离为定值，即三棱锥 的高为定值，而△ 面积也为定
值，所以三棱锥 的体积始终为定值.故A对；
如图，当M点位于棱 中点时，平面 截正方体的截面为
等腰梯形.故B错；
当M运动到 时，三角形 为等边三角形，故 ，故C错；
展开图中，由三边关系 ，当 三点共线时
等号成立，所以最小值为 ；故D对.故选：AD
11.BCD
【详解】对于A，抛物线的焦点为 ，准线为 ，
由抛物线定义可知 ，则
当且仅当 、 、 三点共线时取等号，故A错误；
对于B，设 ，过点 的切线方程为
（切线斜率不为0），联立抛物线方程 ，化简并整理得，
，又 ，
所以方程 可变形为 ，而 ，所以 ，
所以过点 的切线方程为 ，结合 ，可得
过点 的切线方程为 ，同理可得过点 的切线方程为
，
联立 ，结合 ，解得 ，
而线段 的中点 的坐标为 ，所以点 的纵坐标相等，故B正确；
对于C，可设直线 ，联立 ，
化简并整理得 ，显然 ，
直线 方程为 过点 ，故C正确；
对于D：依题意直线 的倾斜角 为锐角，设 ，
设直线 方程为 ，联立 ，易得
由题意知，
， ， ， ，
则
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ，故D正确.故选：BCD.
12. 【详解】由已知得， ， ，则 ，故椭圆的方程为13.
【详解】因为 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
则
.
14.
【详解】由题得 ，设 .
则 ，又点 在双曲线上，则
，又点 在椭圆上，则
因为 ，所以 .
即直线 与直线 关于 轴对称，又椭圆为轴对称图形，则 两点关于 轴对称，
故 .设椭圆右焦点坐标为 ，其中 ，因直线 过椭圆右焦点
，则 ，将其代入椭圆方程可得 .则 ，又 ，
则 .则
.
15.【详解】（1）设点 ，由点 是 的中点，得 ……………………………………………（2分）
所以 ，
故点 ，…………………………………………………………………（3分）
因为 在圆 上运动，满足圆 的方程，
所以 ，
化简得
故点 的轨迹方程是 (轨迹方程正确均可得分)………………（5分）
（2）因为直线与圆所截弦长为 ，
所以直线 到圆心 的距离为 ，……………………………（6分）
○
，
1 若直线 的斜率不存在时，直线 的方程为
此时 到 的距离为1，故直线 符合题意；…………………………………（8分）
○
2 若直线 的斜率存在时，
设直线 的方程为 ，即 ，…………………（9分）
则圆心到直线距离为 ，………………………………………………（10分）
解得 ，………………………………………………………………………（11分）
则直线 ： ，整理得 ，………………………（12分）
综上，直线 的方程为： 或 …………………………………（13分）
16.【详解】
（1）由正弦定理得 .................1分
因为 ,所以 ................2分
则
即 ................4分因为 ,所以 ................5分
所以 ，即 ................6分
又因为 ,所以 ................7分
（2）由（1）可得 ,即 ...............8分
所以 ...............9分
由正弦定理得 ................11分
因为 为锐角三角形，
所以 ，即 ，解得 ...............12分
所以 ，...............13分
所以
，
即 的取值范围为 ...............15分
17.【详解】
（1）证明：折叠前，四边形 是菱形，所以 ，.......................（1分）
由于 分别是边 的中点，所以 ，故 ，...................（2分）
折叠过程中 ， .................................................（4分）
所以 平面 ..................................................................................（5分）
（2）当平面 平面 时， 由面 面 ，
， ，所以 面 ，又 ，故，...........（6分）
综上，可建立如下空间直角坐标系，则
.............（7分）
所以 设 则 ........（9分）
设面 的法向量为 则 ，
取 ，则 .................（12分）
而
设直线 与面 的夹角为 ，
则 ，
解得 ， ...........................（14分）
所以 为 上靠近 的三等分点，满足题设要求. ...........................（15分）
18.【详解】
（1）由 ，得 .......................................................................(2分)
故 是公比为2的等比数列，.......................................................................(3分)
因 ，令 得 ，又 得 ..............(4分)
故 ， 的首项为 ，故 所以 .............................................................................(5分)
（2）因为 ...................................................(7分)
故
...........................................................................(9分)
（3）因 ，故 ，
作差得 ...........................................................................(10分)
移项得
.....................................................................................(11分)
由于数列 是正项数列，故
所以数列 是公差为4的等差数列............................................................................(12分)
故 ...........................................................................................(13分)
由 ，得 ，设 ，只需求出 得最大值即可.
.............................................................................................................................................(14分)
....................................................................................（15分）
可知 ， 故 .............................................（16分）
故 ...................................................................................................................................(17分)
19. 【详解】
（1） ， ，得 .............（3分）(每个式子1分)
故椭圆 的方程为 ..........................................................................................（4分）
（2）设直线 的方程为 设 .................................................（5分
）由 得， ，故
...................................................................................................................................................（7分）
， .....................（8分）
注意到 ，即 .................................................（10分）
故 ..................................................（11分）
（3）假设 轴上存在满足条件的定点 ，设其坐标为 ，则
......................................................（12分）
....................................................................................（15分）
因为 为定值，故 ，得 ，定值为
故 轴上是否存在定点 ，使得 为定值........................................（17分）
