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2024 级“贵百河”12 月高二年级新高考月考测试
数学（人教版）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 ，那么 等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知数列 ，则 是这个数列的第（ ）项
.
A 13 B. 14 C. 15 D. 16
3. 已知直线 和平面 .若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知点 是抛物线 上的一点，设点 到直线 和 的距离分别为 ，
则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 若圆 上恰有三点到直线 的距离为2，则 的值为
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学科网（北京）股份有限公司A. 或2 B. 或 C. 2 D.
6. 如图，这是战国时楚国标准度量衡器，于 1954年出土于湖南长沙的木衡铜环权，包括木质秤杆、两个
铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，用于测量物体质量．已知九枚铜环权中质
量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢，1斤=16两），且按从小到大的顺序排列后前3项构成
等差数列，后7项构成公比为2的等比数列，若某物体的质量恰为第2，5，7枚铜环权的质量和，则该物
体的质量为（ ）
A. 2两4铢 B. 2两14铢 C. 3两2铢 D. 3两12铢
7. 已知双曲线 左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为 ， ，以
的
为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
8. 已知 是定义域为 的单调递减函数，且存在函数 使得 .若 分别是方程
和 的根，则 （ ）
A. 3 B. C. 6 D.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对
得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记
“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. A与B为互斥事件 D. A与B相互独立
10. 已 知 ， 若 过 定 点 的 动 直 线 ： 和 过 定 点 的 动 直 线 ：
交于点 （ 与 ， 不重合），则以下说法正确的是（ ）
A. 点 坐的标为 B.
C. D. 的最大值为5
11. 如图，正方体 的棱长为2，M为棱 的中点，N为棱 上的点，且
，则（ ）
A. 当 时， 平面
B. 当 时，点C到平面BDN的距离为
C. 当 时，三棱锥 外接球的表面积为
D. 对任意 ，直线 与 都是异面直线
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14题第一空2分，第二空3分，共15分.
12. 已知公差为 的等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 __________.
13. 已知空间向量 ， ， ，若 ， ， 共面，则 ______.
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学科网（北京）股份有限公司14. 函数 ，当 时， 零点个数为_____________；若 恰有4
的
个零点，则 的取值范围是______________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ， .．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
16. 已知数列 满足 .
（1）证明 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 前 项的和 .
17. 已知圆 .
（1）若 ，求圆 过点 的切线 的方程；
（2）当 时，过点 作直线 ，且直线 交圆 于点 ，直线 交圆 于点 ， ，若
，求 的最大值.
18. 如图 1，在四边形 中， ， ．将四边形
沿 折起，使得 ，得到如图2所示的几何体．
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学科网（北京）股份有限公司的
（1）若 为 中点，证明： 平面 ；
（2）若 为 上一动点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
19. 设 两点的坐标分别是 ，直线 相交于 ，且它们的斜率之积为 ，
点 的轨迹构成的曲线记为 ．
（1）曲线 的方程；
（2）若直线 与曲线 相交于不同的两点 ，点 是曲线 上的动点（异于
．
（i）当 时，若直线 斜率均存在，判断 是否一定是定值，并证明你的结论；
（ii）当点 的坐标为 时， ，求实数 的取值范围．
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