福建福州市台江区九校2025-2026 学年高二下学期期中考试
数学试题
一、单选题
1．曲线
y
f x
=
在
1
x = 处的切线如图所示，则
1
1
f
f
＝（ ）
A．0
B．2
C．－2
D．－1
2．某班级图书角有5 种课外书，甲、乙两名同学从5 种课外书中各自选2 种，则两人选的课外书没有相同
种类的选法有（ ）
A．20 种
B．30 种
C．40 种
D．60 种
3．若将整个样本空间想象成一个边长为1 的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的
概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（ ）
A．事件A 发生的概率
B．事件B 发生的概率
C．事件B 不发生条件下事件A 发生的概率
D．事件A、B 同时发生的概率
4．已知随机变量X 的分布列如下表，且
3
Y
aX
=
+
．
X
1
2
3
P
1
2
1
3
1
6
若
( )
2
E Y = ，则a =（ ）
A．3
B．2
C．5
3
D．1
5．已知
4
2
5
5
0
1
2
5
1
2
1
1
1
x
x
a
a
x
a
x
a
x
+
=
+
+
+
+
+
+
+
L
，则
2a = （ ）
A．2
B．2
C．4
D．12
6．若圆柱的侧面的展开图的周长为4，则该圆柱体积最大为（ ）
A．8
27π
B．32
27π
C．4π
27
D．4
27π
7．若m ，n均为非负整数，在做m
n
+
的加法时各位均不进位（例如，134
3802
3936
+
=
），则称( , )
m n 为“简
单的”有序对，而m
n
+
称为有序数对( , )
m n 的值，那么值为1942 的“简单的”有序对的个数是
A．100
B．150
C．200
D．300
8．若函数
3
2
1
1
2
1
3
2
f x
x
x
x
=
+
+
+ 是区间
1,
4
m
m
+
上的单调函数，则实数m 的值一定不是（
）
A．5
B．3
C．3
D．4
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．设一组样本数据
1
2
,
,
,
n
x x
x
×××
的方差为2，则数据
1
2
2
3,2
3,
,2
3
n
x
x
x
×××
的方差为8
B．将5 个不同的小球放入3 个不同的盒子中，盒子可空，有
35 种不同的放法；
C．用0~9 这10 个数字，可以组成648 个没有重复数字的三位数
D．已知随机变量X 的概率分布为
1,2,3,4
2
1
2
1
a
P X
n
n
n
n
=
=
=
+
，则实数a的值为9
4
10．甲罐中有5 个红球，5 个白球，乙罐中有2 个红球，8 个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再
从乙罐中随机取出一球．
1A 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，
2
A 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表
示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．
1
2
,
A A 为对立事件
B．
1
3
11
P B A
=
∣
C．
7
22
P B =
D．
1
2
5
11
P B A
P B A
+
=
∣
∣
11．已知函数
ln
f x
x
x
=
，则（ ）
A．函数
f x 在
0,e 上单调递减，在
e, ¥
+
上单调递增
B．
1
13
4
25
f
f
æ
ö
æ
ö
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
C．若
a
xf x
<
，则实数a的取值范围是
1
,
2e
¥
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．当
2
1
e
e
x
£
£
时，若方程
b
f x
b
x
=
ÎR 有且只有一个根，则
4
2
1
2e
e
b
<
£
三、填空题
12．若
2
5
1
16
15
15
C
C
C
x
x
x
=
+
，则正整数x 的值为_____.
13．若函数
2
f
x
x x
c
=
在
1
x = 处有极小值，则
3
f
等于______．
14．将4 个相同的小球摆放在3 3
´ 的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在
的方格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为___________．
四、解答题
15．在
6
1
(2
)
x
x
的展开式中，求：
(1)求常数项、及此项的二项式系数；
(2)求系数绝对值最大的项．
16．已知函数
ex
f x
ax
=
+
，曲线
y
f x
=
在点
0,
0
f
处的切线与直线
1
0
x
y
+
+ =
平行.
(1)求a的值；
(2)求
f x 的极值.
17．对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，
具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4 副不同的对联（上联和下联共8
联）中随机取出4 联（上联或下联）.
(1)求这4 联可以凑成甲对联的概率；
(2)记这4 联可以凑成X 副对联，求X 的数学期望
18．现有外表相同，编号依次为
1,2,3,
,
3
n n ³
L
的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第
1,2,3,
,
k k
n
=
L
个袋中有k 个红球，n
k
个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.
(1)当
4
n =
时，
①假设已知选中的恰为2 号袋子，求第三次取出的是白球的概率；
②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3 号袋子的概率；
(2)记第三次取到白球的概率为p ，证明：
2
p
1
<
.
19．已知函数
2
1
( )
ln
2
f x
a
x
x
x
=
+
.
(1)讨论
( )
f x 的单调区间；
(2)若
1
( )
(
1)
(
0)
2
f x
k x
a
³
£
，求a与k 的数量关系；
(3)设
1
x ，
2
1
2
x
x
x
<
是
( )
f x 的两个极值点，证明：
1
2
1
2
f x
f x
<
.
参考答案
1．C
【详解】设曲线
y
f x
=
在
1
x = 处的切线方程为y
kx
b
=
+
，
则
2
2
0
b
k
b
=
+
=
，
，解得
1
2
k
b
=
=
，
，
所以曲线
y
f x
=
在
1
x = 处的切线方程为
2
y
x
=
+
，则切线斜率为1，
所以
1
1
1
1
2
3
f
f
=
= +
=
，
，
因此，
1
1
1 3
2
f
f
=
= ．
故选：C.
2．B
【详解】先从 5 种课外书中选 2 种给甲有
2
5
C
10
=
种，再从剩下的3 种书中选 2 种给乙有
2
3
C = 3种，
根据分步乘法计数原理，则两人选的课外书没有相同种类的选法有10 3
30
´ =
种.
3．A
【详解】由题意可知：
P A B 表示在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率，
P A B 表示在事件B 不发生的条件下，事件A
发生的概率，结合在一块就是事件A 发生的概率.
故选：A.
4．A
【详解】由
1
1
(
)
1
2
2
3
E X = ´
+ ´
1
5
3
6
3
+ ´
=
，
因
3
Y
aX
=
+
，则
( )
(
3)
E Y
E aX
=
+
=
5
(
)
3
3
2
3
aE X
a
+
=
+
= ，
解得：
3
a = ．
故选：A.
5．C
【详解】令
1
x
t
+ = ，则
1
x
t
= ，
故
4
4
5
5
2
5
0
1
2
5
1
2
2
2
1
x
x
t
t
a
a t
a t
a t
+
=
+
=
+
+
+
+
L
，
4
2
t
中
2t 得系数为
2
2
4
C
2
24
=
，
5
1
t
中
2t 得系数为
3
3
5
C
1
10
=
，
所以
2
24
20
4
a =
=
，
故选：C.
6．A
【详解】设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，则
4
2π
2
2
l
r
+
=
=
，
而圆柱体积
2
2
π
π
2
2π
V
r l
r
r
=
=
，其中
1
0
π
r
<
<
故
2
2
4π
6π
V
r
r
=
，
当
2
0
3π
r
<
<
时，
0
V>
，当2
1
3π
π
r
<
<
时，
0
V<
，
故
2
π
2
2π
V
r
r
=
在
2
0, 3π
æ
ö
ç
÷
è
ø上为增函数，在
2
1
,
3π π
æ
ö
ç
÷
è
ø上为减函数，
故
2
max
2
2
8
π
2
2π
3π
3π
27π
V
æ
ö æ
ö
=
´
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
故选：A.
7．D
【详解】根据题意可得，1942 为两个数的和（加法时各位均不进位），其中一个数确定，另一个数也确定，
所以首位有0,1 两种方法，第二位有0，1，2，3，4，5，6,7,8,9 共10 种方法，第三位有0,1,2,3,4 共5 种方
法，个位有0,1,2 有3 种方法，采用分步计数原理，所以共有2 10 5 3
300
´
´ ´ =
个，故选D.
8．B
【详解】因为
2
2
2
1
f
x
x
x
x
x
=
+
+
=
+
，由
0
f
x
>
，得到1
2
x
<
<
，
由
0
f
x
<
，得到
1
x < 或
2
x >
，
所以
f x 的增区间为
1,2
，减区间为
, 1
¥
，
2,+¥ ，又
f x 在区间
1,
4
m
m
+
上单调，
则
4
2
1
1
m
m
+
£
³
或
4
1
m +
£ 或
1
2
m ³
，解得
5
m £ 或
3
m ³
，结合选项知，实数m 的值一定不是3
.
9．ACD
【详解】对于A，由方差的性质，新数据的方差为
2
2
2
8
´
=
，A 正确；
对于B，每个小球有3 种方法，则不同的放法种数为
53
243
=
种，B 错误；
对于C，组成无重复数字的三位数，百位9 种选法，十位有9 种选法，个位有8 种选法，
由分步乘法计数原理，无重复数字的三位数有9 9 8
648
´ ´ =
个，C 正确；
对于D，
1
1
(
)
(
)
2
1
2
1
2 2
1
2
1
a
a
P X
n
n
n
n
n
=
=
=
+
+
，
则
1
1
1
1
1
1
1
4
[(1
)
(
)
(
)
(
)]
1
2
3
3
5
5
7
7
9
9
a
a
+
+
+
=
= ， 因此
9
4
a =
，D 正确.
10．ABD
【详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即
1
2
1
2
,
A
A
A
A
Ç
= Æ
È
= W，
所以
1
2
,
A A 为对立事件，故A 正确；
对于B，当
1A 发生时，乙罐中有3 个红球，8 个白球，此时
1
3
11
P B A
=
∣
，故B 正确；
对于C，当
2
A 发生时，乙罐中有2 个红球，9 个白球，此时
2
2
11
P B A
=
∣
，
所以
1
1
2
2
1
3
1
2
5
2
11
2
11
22
P B
P A P B A
P A
P B A
=
+
=
´
+
´
=
∣
∣
，故C 不正确；
对于D，
1
2
5
11
P B A
P B A
+
=
∣
∣
，故D 正确，
故选：ABD．
11．BC
【详解】对A：
1
ln
ln
1
f
x
x
x
x
x
=
+
×
=
+
，
当
1
0, e
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø时，
0
f
x
<
，当
1 ,
e
x
¥
æ
ö
Î
+
ç
÷
è
ø 时，
0
f
x
>
，
故
f x 在
1
0, e
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，在1 ,
e
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø上单调递增，故A 错误；
对B：因
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
ln
ln
ln
4
4
4
2
4
2
2
2
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´
=
´
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
由1
1
13
e
2
25
<
<
，及
f x 在1 ,
e
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø上单调递增，
可得
1
1
13
4
2
25
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
<
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø，故B 正确；
对C：
2
ln
ln
a
xf x
x x
x
x
x
<
=
×
=
，令
2 ln
g x
x
x
=
，
则
2 1
2 ln
2ln
1
g
x
x
x
x
x
x
x
=
+
×
=
+
，
当
1
2
0,e
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø
时，
0
g
x
<
，当
1
2
e
,
x
¥
æ
ö
Î
+
ç
÷
è
ø
时，
0
g
x
>
，
故
g x 在
1
2
0,e
æ
ö
ç
÷
è
ø
上单调递减，在
1
2
e
, ¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
上单调递增，
故
2
1
1
1
2
2
2
1
e
e
ln e
2e
a
g
æ
ö
æ
ö
æ
ö
<
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，即
1
,
2e
a
¥
æ
ö
Î
ç
÷
è
ø，故C 正确；
对D：令
b
f x
x
=
，即
2 ln
b
x
x
=
，
由C 知，函数
2 ln
g x
x
x
=
在
1
1
2
e ,e
æ
ö
ç
÷
è
ø
上单调递减，在
1
2
2
e
,e
æ
ö
ç
÷
è
ø
上单调递增，
由
2
1
1
1
2
1
e
e
ln e
e
g
=
=
，
2
1
1
1
2
2
2
1
e
e
ln e
2e
g
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
2
2
2
2
4
e
e
ln e
2e
g
=
=
，
若方程
b
f x
b
x
=
ÎR 有且只有一个根，则
4
2
1
2e
e
b
<
£
或
1
2e
b =
，故D 错误.
12．5 或7
【详解】由组合数的性质
1
1
C
C
C
m
m
m
n
n
n
+ =
+
，可得
1
15
15
16
C
C
C
x
x
x
+
=
，
则
2
5
16
16
C
C
x
x
=
，可得2
5
x
x
=
或2
5
16
x
x
+
=
，
解得
5
x =
或
7
x =
.
故答案为：5 或7.
13．108
【详解】
2
2
3
f
x
x
c
x x
c
x
c
x
c
=
+
=
，
因为
f x 在
1
x = 处有极小值，所以
1
0
f
=
，
即
1
3
0
c
c
=
，解得
1
c = 或
3
c = ，
若
1
c = ，则
1 3
1
f
x
x
x
=
+
+
，
当
1
x < 或
1
3
x >
时，
0
f
x
>
，
f x 单调递增，
当
1
1
3
x
<
<
时，
0
f
x
<
，
f x 单调递减，
所以
f x 在
1
x = 处取极大值，不合题意，
若
3
c = ，则
3
3
3
f
x
x
x
=
+
+
，
当
3
x < 或
1
x > 时，
0
f
x
>
，
f x 单调递增，
当3
1
x
<
< 时，
0
f
x
<
，
f x 单调递减，
所以
f x 在
1
x = 处取极小值，合题意，
所以
2
3
f
x
x x
=
+
，则
2
3
3
3
3
108
f
= ´
+
=
.
故答案为：108.
14．29
【详解】根据题意，两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点，
即禁止斜对角相邻，可以上下左右相邻（共用两个方格顶点）或不相邻（无公共顶点），
可以把3 3
´ 的方格分为A
B
，两类，
小球必不可能在中间方格，否则一定会有斜对角相邻的情况，
将四个角的方格设成A 类方格，以保证A 类在除去中间方格的情况下没有斜对角相邻的方格，
剩余4 个小格为B 类方格，如图所示：
（1）4 个小球若占用4 个A 类方格，有
4
4
C
1
= 种；
（2）4 个小球若占用3 个A 类方格，1 个B 类方格，有
3
1
4
4
C
C
16
´
=
种；
（3）4 个小球若占用2 个A 类方格，2 个B 类方格，
此时只能选择隔着中间方格相对的B 类方格，共2 种可能，所以此时有
2
4
C
2
12
´
=
种；
（4）4 个小球若占用1 个A 类方格，3 个B 类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍.
（5）4 个小球若占用4 个B 类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍.
因此，共有1 16 12
29
+
+
=
种．
15．(1)常数项为160
，此项的二项式系数为20；
(2)
3
240
T
x
=
.
【详解】（1）
6
1
(2
)
x
x
展开式的通项公式为
6
6
3
1
6
6
1
C
2
1
2
C
,
6,
r
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
r
r
x
+
æ
ö
=
=
£
Î
ç
÷
è
ø
N ，
由3
0
r
=
，得
3
r =
，
所以展开式中的常数项为
3
3
6
2 C
160
=
，其二项式系数为
3
6
C
20
=
.
（2）令
1
rT + 的系数绝对值最大，则
6
1
7
6
6
6
1
5
6
6
C
2
C
2
C
2
C
2
r
r
r
r
r
r
r
r
+
×
³
×
×
³
×
，即
6
7
6
5
6
6
2
2
!(6
)!
(
1)!(7
)!
6
6
2
2
!(6
)!
(
1)!(5
)!
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
×
³
×
ï
ï
ï
×
³
×
ï
+
！
！
！
！
，
整理得
7
2
2(
1)
6
r
r
r
r
³
+
³
，解得4
7
3
3
r
£
£
，由r ÎN ，得
2
r =
，
所以系数绝对值最大的项为
2
4
2
3
6
( 1) 2 C
240
T
x
x
=
=
.
16．(1)
2
a =
(2)
f x 的极小值为
2 1 ln2 ,
无极大值
【详解】（1）由
ex
f x
ax
=
+
，可得
ex
f
x
a
=
+
又曲线
y
f x
=
在点
0,
0
f
处的切线与直线
1
0
x
y
+
+ =
平行，故
0
1
f
= ，
即
1
1
a + = ，得
2
a = .
（2）由（1）可知
2
ex
f x
x
=
+
，且
2
ex
f
x = +
.令
0
f
x
=
，可得
ln2
x =
，
由
0
f
x
>
，可得
ln2
x >
.由
0
f
x
<
，得
ln2
x <
.
故
f x 在
,ln2
¥
上单调递减，在
ln2, ¥
+
上单调递增.
可知当
ln2
x =
时，
f x 极小值为
ln2
2 1 ln2
f
=
，
f x 无极大值.
17．(1) 3
14
(2) 6
7
【详解】（1）8 联中随机取出4 联，有
4
8
C
70
=
种取法，
取出的4 联含有甲对联，剩余的2 联在其它6 联中选取，有
2
6
15
C =
种取法，
所以这4 联可以凑成甲对联的概率为
2
6
4
8
C
15
3
C
70
14
=
=
.
（2）X 的所有取值可能为0，1，2.
4
4
8
2
8
(
0)
C
35
P X =
=
=
，
2
2
3
4
8
4 C
2
24
(
1)
C
35
P X
´
´
=
=
=
，
2
4
4
8
C
3
(
2)
C
35
P X =
=
=
.
X 的分布列为
X
0
1
2
P
8
35
24
35
3
35
24
3
6
(
)
0
1
2
35
35
35
7
8
E X =
´ +
´ +
´
=
.
18．(1)①
1
2 ；②1
6
(2)证明见解析
【详解】（1）①
4
n =
时，第二个袋中有2 白2 红，共4 个球，
从中连续取出三个球（每个取后不放回），
第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，
∴第三次取出为白球的概率为2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
4
3
2
4
3
2
4
3
2
2
´
´
+
´
´
+
´
´
=
；
②设选出的是第
1,2,3,4
k k =
个袋，连续三次取球的方法数为4 3 2
24
´ ´
=
，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），若
1
k = 则，取法数为
4
3
2
k
k
k
，
若
2
k =
或
3
k =
或
4
k =
，取法数为0，也满足关系
4
3
2
k
k
k
，
故取（白，白，白）的取法可表示为
4
3
2
k
k
k
，
同理（白，红，白），取法数为
4
3
k
k
k
，
（红，白，白），取法数为
4
3
k
k
k
，
（红，红，白），取法数为
1
4
k k
k
，
从而第三次取出的是白球的种数为：
4
3
2
4
3
4
3
1
4
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k k
k
+
+
+
3 2 4
k
= ´
，
则在第k 个袋子中第三次取出的是白球的概率
4
4
k
k
p
=
，
则在第3个袋子中第三次取出的是白球的概率
3
1
4
p =
，
而选到第k 个袋子的概率为1
4 ，故所求概率为：
4
4
4
3
1
1
1
0
1
4
1
1
1
3
4
4
4
4
16
16
8
k
k
k
k
i
k
p
p
k
i
=
=
=
=
=
×
=
×
×
=
=
=
å
å
å
å
，
所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3 号袋子的概率为
1
1
1
4
4
3
6
8
´
=
；
（2）设选出的是第k 个袋，连续三次取球的方法数为
1
2
n n
n
，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），取法数为
1
2
n
k
n
k
n
k
，
（白，红，白），取法数为
1
k n
k
n
k
，
（红，白，白），取法数为
1
k n
k
n
k
，
（红，红，白），取法数为
1
k k
n
k
，
从而第三次取出的是白球的种数为：
1
2
1
1
1
n
k
n
k
n
k
k n
k
n
k
k n
k
n
k
k k
n
k
+
+
+
1
2
n
n
n
k
=
，
则在第k 个袋子中第三次取出的是白球的概率
k
n
k
p
n
=
，
而选到第k 个袋子的概率为1
n ，
所以
1
2
2
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
k
k
k
k
i
n
k
n
p
p
n
k
i
n
n
n
n
n
n
n
=
=
=
=
=
×
=
×
=
=
=
=
<
å
å
å
å
．
19．(1)答案见解析
(2) a
k
=
(3)证明见解析
【详解】（1）
2
( )
1
a
x
x
a
x
x
x
x
f
+
=
+
=
，
0
x >
，
令
2
0
x
x
a
+
=
，由
1 4
0
a
D =
£
，得
1
a
4
³
，
此时
( )
0
f
x
³
，
( )
f x 在(0,
)
+¥ 上单调递增；
当
1 4
0
a
D =
>
，即
1
4
a <
时，方程
2
0
x
x
a
+
=
的两根为
1
1
1
4
2
a
x
=
，
2
1
1
4
2
a
x
+
=
；
当
0
a £
时，
1
1
1
4
0
2
a
x
=
£
，所以当
2
0,
x
x
Î
时，
( )
0
f
x
<
，
当
2,
x
x
¥
Î
+
时，
( )
0
f
x
>
，
所以
( )
f x 在
1
1 4
0,
2
a
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递减，在1
1 4
,
2
a
¥
æ
ö
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递增，
当
1
0
a
4
<
<
时，
1
1
1
4
0
2
a
x
=
>
，所以当
1
2
,
x
x x
Î
时，
( )
0
f
x
<
，
当
1
2
0,
,
x
x
x
¥
Î
È
+
时，
( )
0
f
x
>
，
所以
( )
f x 在1
1 4
1
1 4
,
2
2
a
a
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递减，在
1
1 4
0,
2
a
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
和1
1 4
,
2
a
¥
æ
ö
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递增；
综上，当
0
a £
时，
( )
f x 在
1
1 4
0,
2
a
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递减，在1
1 4
,
2
a
¥
æ
ö
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递增；
当
1
0
a
4
<
<
时，( )
f x 在1
1 4
1
1 4
,
2
2
a
a
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递减，在
1
1 4
0,
2
a
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
和1
1 4
,
2
a
¥
æ
ö
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递
增；
当
1
a
4
³
时，
( )
f x 在(0,
)
+¥ 上单调递增.
（2）
1
( )
(
1)
2
f x
k x
³
，即
2
1
1
ln
(
1)
0
2
2
a
x
x
x
k x
+
+
³
，
令
2
1
1
( )
ln
(
1)
2
2
g x
a
x
x
x
k x
=
+
+
，(1)
0
g
=
，
2
(
1)
( )
x
k
x
a
g x
x
+
+
=
，
(1)
g
a
k
=
，
若
(1)
0
g
a
k
=
>
，则存在
0
0
x >
，使得当
0
0
1
,1
x
x
x
Î
+
时，
( )
0
g x
>
，
即
( )
g x 在
0
0
(1
,1
)
x
x
+
上单调递增，而(1)
0
g
=
，所以
0
1
0
g
x
<
，不符合题意，
若
(1)
0
g
a
k
=
<
，则存在
0
x>
，使得当
1
,1
x
x
x
Î
+ 时，
( )
0
g x
<
，即
( )
g x 在
(1
,1
x
x
+ 上单调递减，而(1)
0
g
=
，
所以
1
0
g
x
+ <
，不符合题意，
若
(1)
0
g
a
k
=
=
，即
0
a
k
=
£
，则
2
(
1)
(
1)(
)
( )
x
a
x
a
x
x
a
g x
x
x
+
+
=
=
，
当
(0,1)
xÎ
时，
( )
0
g x
<
，当
(1,
)
xÎ
+¥ 时，
( )
0
g x
>
，
所以
( )
g x 在(0, 1) 上单调递减，在(1,
)
+¥ 上单调递增，( )
(1)
0
g x
g
³
=
，符合题意；
综上，a与k 的数量关系为a
k
=
.
（3）证明：结合（1）可得，当
( )
f x 有两个极值点时，
1
0
a
4
<
<
，
且
1
2
1
x
x =
+
，
1
2
x x
a
=
，
1
1
0
x
2
<
<
，
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
ln
ln
2
2
f x
f x
a
x
x
x
a
x
x
x
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
ln
2
1
ln
2
1
ln
2
1
1
ln
2
1
1
2
x
a
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
=
+
+
=
=
令
1
1
1
1
1
1
1
x
t
x
x
=
= +
，由于
1
1
0
x
2
<
<
，则0
1
t
< < ，则
1
1
t
x
t
= + ，
则
1
2
2
1
2
ln
1
1
ln
1
1
1
2 1
2 1
1
t
t
t
t
t
t
f x
f x
t
t
t
t
t
t
æ
ö
æ
ö
=
=
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
è
ø
+
，
设
2
ln
1
,0
1
2 1
1
t
t
t
h t
t
t
t
=
< <
+
+
，
则
2
4
2
3
1
ln
1
2 1
ln
2 1
2
1
1
ln
1
4 1
1
t
t
t t
t
t
t
t
t
h t
t
t
t
+
+
+
+
=
=
+
+
+
，
因为0
1
t
< < ，则
3
1
0,ln
0, 1
0
t
t
t
>
+
，则
0
h t
<
恒成立，
所以
h t 在
0,1 上单调递减，
则
0
t ®
时，
1
2
h t ®
且小于1
2 ，所以
1
2
h t <
，
