文档文本内容
数量关系---第四次课
王陈老师
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 34
第七章 极值问题
第一节 和定最值
一、题型特征
和定最值问题是多个数和一定，求某数最值的问题。
示例：已知两个不同的正整数之和为 15。
（1）这两个数中较大的数最大为多少？
（2）这两个数中较大的数最小为多少？
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 34
二、解题原则
和定最值问题的解题原则是求某个量最大（小），其他量尽可能小（大）。
结合题干条件，并根据解题原则可以确定出其他各项具体的值，直接用总和减去这些项即可解题。
根据解题原则确定不了具体量的值，可以设未知数列方程求解。
根据方程求解时，求出的数不是整数，问最大，向下取整。
根据方程求解时，求出的数不是整数，问最小，向上取整。
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 34
示例：已知 7 个互不相同的正整数之和是 98。
（1）这 7 个数中最大的数最大是多少？
（2）这 7 个数中最大的数最小是多少？
（3）这 7 个数中第 3 大的数最大是多少？
（4）若这 7 个数中最大的数是 19，则第 3 大的数最小是多少？
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 35
三、解题训练
【例 1】一次数学考试满分为 100 分，某班前六名同学的平均分为 95 分，排名第六的同学得 86 分，假
如每个人得分是互不相同的整数，那么排名第三的同学最少得多少分？（ ）
A. 94
B. 97
C. 95
D. 96
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 35
学 以 致 用
1. 某连锁企业在 10 个城市共有 100 家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专卖店数量排名第 5
多的城市有 12 家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店？（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 35
2. 某机关 20 人参加百分制的普法考试，及格线为 60 分，20 人的平均成绩为 88 分，及格率为95%。所
有人得分均为整数，且彼此得分不同。问成绩排名第十的人最低考了多少分？（ ）
A. 88
B. 89
C. 90
D. 91
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 35
3. 某单位 2011 年招聘了 65 名毕业生，拟分配到该单位的 7 个不同部门。假设行政部门分得的毕业生人
数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？（ ）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 35
【例 2】六一儿童节期间，100 名幼儿园学生参加 5 项活动，参加人数最多的活动人数不超过参加人数最
少活动人数的 2 倍，则参加人数最少的活动最少有多少人参加？（ ）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 35
【例 2】六一儿童节期间，100 名幼儿园学生参加 5 项活动，参加人数最多的活动人数不超过参加人数最
少活动人数的 2 倍，则参加人数最少的活动最少有多少人参加？（ ）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 36
学 以 致 用
1. 商场某销售人员每月销售电视的台数都不相同，2022 年下半年他共销售电视 150 台，已知 2022 年他
的销售量逐月递增，12 月的销售量是 7 月的 2 倍，那么他 8 月的销售量最少可能是多少台？（ ）
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 36
2. 某地 10 户贫困农户共申请扶贫小额信贷 25 万元，已知每户申请金额都是 1000 元的整数倍，申请金
额最高的农户申请金额不超过申请金额最低农户的 2 倍，且任意 2 户农户的申请金额都不相同。问申请
金额最低的农户最少可能申请多少万元信贷？（ ）
A. 1.5
B. 1.6
C. 1.7
D. 1.8
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 37
第二节 最不利原则
一、题型特征
最不利原则的题型特征是题目问法出现类似“至少……才能保证（就一定）”的表述。
示例 一个暗箱中有同样大小，同样质地的黑球和白球各 5 个。
（1）至少从箱子中拿出多少个球就可能拿到白球？
（2）至少从箱子中拿出多少个球才能保证拿到白球？
◆思考◆
（1）、（2）题有什么本质区别？如何才能保证一定能拿到白球？
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 37
二、解题原则
考虑最不利的情况，即与成功一线之差的情况，题目所求结果一般为最不利情况数+1。
能 力 训 练
分析下列各题的最不利情况并求解。
1. 一个暗箱中有同样大小，同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各 10 个。
（1）至少拿出 个小球才能保证拿到红球。
（2）至少拿出 个小球才能保证拿到 2 个不同颜色的小球。
（3）至少拿出 个小球才能保证拿到 2 个同色小球。
（4）至少拿出 个小球才能保证拿到 6 个同色小球。
2. 一个暗箱中有同样大小，同样质地的红球 6 个，黄球 15 个，蓝球 20 个。至少拿出（ ）个小球
才能保证拿到 10 个同色小球。
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 38
三、解题训练
【例】一副扑克牌共 54 张，即包含两张王牌，四种花色各 13 张。现在从中任意抽牌，至少要抽多少张
才能保证有 5 张牌是同一花色？（ ）
A. 46
B. 44
C. 19
D. 18
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 38
学 以 致 用
1. 某单位向福利院捐赠大小外观完全相同，质量不同的 4 种皮球供孩子玩耍，已知 4 种球分别有 13、6、
9、15 个，分别装在 4 个小车内，某小朋友不慎将其中 3 个小车打翻，球全部倾倒出来混在一起，为了
将球全部复位，需对球进行称重，则最多需要称多少次？（ ）
A. 37
B. 36
C. 28
D. 27
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 38
2. 某公司市场部有五个业务小组，分别有 6 人、7 人、8 人、11 人、14 人。一次拓展活动中计划设置抽
奖环节，规则为每人最多只能抽到 1 份奖品。为保证每个小组都至少有 2 人抽到奖品，最少应准备多少
份奖品？（ ）
A. 10
B. 23
C. 34
D. 42
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 38
3. 将白、蓝、红三种颜色的背包装到纸箱里，每个纸箱里放 5 个背包，颜色任意。质检部门需要对产品进
行拆箱检查，问至少选多少个纸箱，才能保证一定有两个纸箱里三种颜色的背包数量都一致？（ ）
A. 20
B. 19
C. 22
D. 21
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 39
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 39
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 41
（二）解题训练
1. 现要在某块矩形场地上铺设草地，该场地长为 48 米，宽为 30 米。但是中间有两条等宽小路不铺设草
地，已知最终草地种植面积为 1288 平方米，问：两条小路的宽度为多少米？（ ）
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 3
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 41
2. 把一个边长为 4 厘米的正方形铁丝框拉成两个同样大小的圆形铁丝框，则每个圆铁丝框的面积为（ ）
平方厘米。
A. 8π
B.8/π
C. 16π
D.16/π
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 41
3. 如图，梯形 ABCD 中 AE 与 BF 均垂直于 DC。已知 AB=5，四边形 ABFE 的周长为 22，梯形 ABCD
的面积为 42，则三角形 ACD 的面积为（ ）。
A. 24
B. 25
C. 26
D. 27
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 41
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 41
（二）解题训练
1. 某学校准备重新粉刷升国旗的旗台，该旗台由两个正方体上下叠加而成，边长分别为 1米和 2 米。问需
要粉刷的面积为（ ）。
A. 30 平方米
B. 29 平方米
C. 26 平方米
D. 24 平方米
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 41
2. 野外生存需要用一个简易的圆锥形过滤器（如下图所示）装满溪水进行过滤。过滤器的底面直径为 20
厘米，高为 6 厘米。全部过滤完毕后，在不考虑损耗的情况下，可使底面半径为 5 厘米，高为 15 厘米圆
柱形容器的水面高度达到（ ）。
A. 8 厘米
B. 6 厘米
C. 4 厘米
D. 12 厘米
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 42
3. 有长为 150mm，直径分别为 90mm 和 120mm 的两根铜柱，以此为原料最多可以熔铸直径为
100mm 的铜球多少个？（ ）
A. 3
B. 5
C. 8
D. 11
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 43
第二节 解直角三角形
一、基础知识
（一）勾股定理
勾股定理指的是两直角边的平方和等于斜边的平方。
常见的勾股数包括 3、4、5；5、12、13。同时，勾股数可以等比例扩大，如 3、4、5可以扩大为 6、8、
10。
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 43
能 力 训 练
结合勾股定理求解下列各题。
1. 一个直角三角形的两条直角边分别为 10、15，则斜边的长度为( )。
2. 一个直角三角形的三条边长度均为整数，且两个直角边的长度和为 17，则这个直角三角形的周长为( )
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 43
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 43
能 力 训 练 1
结合特殊直角三角形的三边比例关系求解下列各题。
1. 在直角三角形中，30°角所对的直角边的长度为 4，则另外一条直角边和斜边的长度分别为 、
；
2. 一个角为 60°的直角三角形中，斜边长度为 10，则 60°角所对的直角边长度为 ；
3. 一个角为 45°的直角三角形中斜边的长度为 6，则两直角边的长度均为 。
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 43
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 43
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 45
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 45
1. 甲和乙同时从同一地点出发分别向正东和正西方向匀速跑步，两人的速度分别为 2.6 米/ 秒和 3.4 米 /
秒。出发 5 秒后，甲右转 90°，乙左转 90°，保持原速度继续跑步。问出发多少秒后，两人之间的直线距
离达到 50 米？（ ）
A. 40
B. 45
C. 50
D. 55
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 45
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 45
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 46
第三节 相似三角形
一、基础知识
（一）相似三角形判定
1. 一条直线（或两边的延长线）平行于三角形的一边，并且与三角形的另外两边相交，两个三角形相似。
2. 两个三角形有两个角分别对应相等，两个三角形相似。
3. 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角也相等，那么这两个三角形相似。
4. 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（二）相似三角形性质
1. 对应边的比等于相似比。
2. 面积比等于相似比的平方。
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 46
示例 如图所示，△ ABC 中 DE ∥ BC，AB 的长度是 AD 的 3 倍。
（1）△ ADE 与△ ABC 是否是相似图形？为什么？
（2）AD 与 AB 的长度比为 ，DE 与 BC 的长度比为 ，AE 与 AC 的长度比为 ；
（3）△ ADE 和△ ABC 的周长之比为 ，面积之比为 ；
（4）△ ADE 与四边形 DECB 的面积之比为 。。
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 46
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 46
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 48
2. 将一块三角形绿地沿一条直线分成两个区域，一为三角形，一为梯形，已知分出的三角形区域的面积为
1.2 亩，梯形区域的上、下底边分别为 80 米、240 米，问分出的梯形区域的面积为多少亩？（ ）
A. 9.6
B. 11.2
C. 10.8
D. 1
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 48
3. 老师跟学生在室内场馆玩倒影猜距离的游戏。老师让身高 1.6 米的小陈站在场馆中间，并依次打开位于
小陈正前方高度均为 6.4 米的两盏灯。如果测得小陈在地板上的影子长度分别是 1 米和 2 米，那么，上述
两盏灯之间的距离是多少米？（ ）
A. 2
B. 5
C. 4
D. 3
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 50
例 1】单位安排职工到会议室听报告，如果每 3 人坐一条长椅，那么剩下 48 人没有坐；如果每 5 人一条
长椅，则刚好空出两条长椅，听报告的职工有多少人？（ ）
A. 126
B. 135
C. 146
D. 152
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 50
学 以 致 用
1. 企业招聘了 100 多名应届毕业生，其中 13 人被分配到总部工作，剩下的人正好分配到7 个分公司，也
能被平均分配到 9 个分公司工作，问企业招聘了多少名应届毕业生？（ ）
A. 126
B. 139
C. 176
D. 189
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 51
【例 2】两个派出所某月内共受理案件 160 起，其中甲派出所受理的案件中有 17% 是刑事案件，乙派出
所受理的案件中有 20% 是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件？（ ）
A. 48
B. 60
C. 72
D. 96
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 50
学 以 致 用
1. 甲、乙、丙三个单位共有 400 多名职工，甲、乙两个单位中党员人数占比分别为 37%和 49%，丙单位
有 118 名不是党员，且三个单位中党员人数正好占总人数一半，则丙单位有（ ）名党员。
A. 132
B. 84
C. 90
D. 146
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 50
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 50
