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专题25 功能关系的图像
一、多选题
1．（2023·山西）一质量为1kg 的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿x 轴运动，出发
点为x 轴零点，拉力做的功W 与物体坐标x 的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4，重力
加速度大小取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．在x = 1m 时，拉力的功率为6W
B．在x = 4m 时，物体的动能为2J
C．从x = 0 运动到x = 2m，物体克服摩擦力做的功为8J
D．从x = 0 运动到x = 4 的过程中，物体的动量最大为2kg∙m/s
【答案】BC
【解析】由于拉力在水平方向，则拉力做的功为
W = Fx
可看出W—x 图像的斜率代表拉力F。
AB．在物体运动的过程中根据动能定理有
则x = 1m 时物体的速度为
v1= 2m/s
x = 1m 时，拉力为
则此时拉力的功率
P = Fv1= 12W
x = 4m 时物体的动能为
Ek= 2J
A 错误、B 正确；
1
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C．从x = 0 运动到x = 2m，物体克服摩擦力做的功为
Wf= μmgx = 8J
C 正确；
D．根据W—x 图像可知在0—2m 的过程中F1= 6N，2—4m 的过程中F2= 3N，由于物体受到的摩擦力恒
为f = 4N，则物体在x = 2m 处速度最大，且根据选项AB 分析可知此时的速度
则从x = 0 运动到x = 4 的过程中，物体的动量最大为
D 错误。
故选BC。
2．（2022·重庆）一物块在倾角为
的固定斜面上受到方向与斜面平行、大小与摩擦力相等的拉力作用，
由静止开始沿斜面向下做匀变速直线运动，物块与斜面间的动摩擦因数处处相同。若拉力沿斜面向下时，
物块滑到底端的过程中重力和摩擦力对物块做功随时间的变化分别如图曲线①、②所示，则（ ）
A．物块与斜面间的动摩擦因数为
B．当拉力沿斜面向上，重力做功为
时，物块动能为
C．当拉力分别沿斜面向上和向下时，物块的加速度大小之比为1 3∶
D．当拉力分别沿斜面向上和向下时，物块滑到底端时的动量大小之比为
【答案】BC
【解析】A．对物体受力分析可知，平行于斜面向下的拉力大小等于滑动摩擦力，有
由牛顿第二定律可知，物体下滑的加速度为
2
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则拉力沿斜面向下时，物块滑到底端的过程中重力和摩擦力对物块做功为
代入数据联立解得
故A 错误；
C．当拉力沿斜面向上，由牛顿第二定律有
解得
则拉力分别沿斜面向上和向下时，物块的加速度大小之比为
故C 正确；
B．当拉力沿斜面向上，重力做功为
合力做功为
则其比值为
则重力做功为
时，物块的动能即合外力做功为
，故C 正确；
D．当拉力分别沿斜面向上和向下时，物块滑到底端时的动量大小为
则动量的大小之比为
3
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故D 错误。
故选BC。
3．（2022·福建）一物块以初速度
自固定斜面底端沿斜面向上运动，一段时间后回到斜面底端。该物体
的动能
随位移x 的变化关系如图所示，图中
、
、
均已知。根据图中信息可以求出的物理量有（
）
A．重力加速度大小
B．物体所受滑动摩擦力的大小
C．斜面的倾角
D．沿斜面上滑的时间
【答案】BD
【解析】ABC．由动能定义式得
，则可求解质量m；上滑时，由动能定理
下滑时，由动能定理
x0为上滑的最远距离；由图像的斜率可知
，
两式相加可得
相减可知
即可求解gsinθ 和所受滑动摩擦力f 的大小，但重力加速度大小、斜面的倾角不能求出，故AC 错误，B 正
4
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确；
D．根据牛顿第二定律和运动学关系得
，
故可求解沿斜面上滑的时间，D 正确。
故选BD。
4．（2022·全国）质量为
的物块在水平力F 的作用下由静止开始在水平地面上做直线运动，F 与时间t
的关系如图所示。已知物块与地面间的动摩擦因数为0.2，重力加速度大小取
。则（ ）
A．
时物块的动能为零
B．
时物块回到初始位置
C．
时物块的动量为
D．
时间内F 对物块所做的功为
【答案】AD
【解析】物块与地面间的摩擦力为
AC．对物块从
s 内由动量定理可知
即
得
3s 时物块的动量为
5
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设3s 后经过时间t 物块的速度减为0，由动量定理可得
即
解得
所以物块在4s 时速度减为0，则此时物块的动能也为0，故A 正确，C 错误；
B．
s 物块发生的位移为x1，由动能定理可得
即
得
过程中，对物块由动能定理可得
即
得
物块开始反向运动，物块的加速度大小为
发生的位移为
即6s 时物块没有回到初始位置，故B 错误；
D．物块在6s 时的速度大小为
6
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拉力所做的功为
故D 正确。
故选AD。
5．（2022·湖南）神舟十三号返回舱进入大气层一段时间后，逐一打开引导伞、减速伞、主伞，最后启动
反冲装置，实现软着陆。某兴趣小组研究了减速伞打开后返回舱的运动情况，将其运动简化为竖直方向的
直线运动，其
图像如图所示。设该过程中，重力加速度不变，返回舱质量不变，下列说法正确的是（
）
A．在
时间内，返回舱重力的功率随时间减小
B．在
时间内，返回舱的加速度不变
C．在
时间内，返回舱的动量随时间减小
D．在
时间内，返回舱的机械能不变
【答案】AC
【解析】A．重力的功率为
由图可知在0~t1时间内，返回舱的速度随时间减小，故重力的功率随时间减小，故A 正确；
B．根据v-t 图像的斜率表示加速度可知在0~t1时间内返回舱的加速度减小，故B 错误；
C．在t1~t2时间内由图像可知返回舱的速度减小，故可知动量随时间减小。故C 正确；
D．在t2~t3时间内，由图像可知返回舱的速度不变，则动能不变，但由于返回舱高度下降，重力势能减小，
故机械能减小，故D 错误。
故选AC。
6．（2021·重庆）额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动，其发动机的牵引力随时间的
7
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变化曲线如图所示。两车分别从
和
时刻开始以额定功率行驶，从
和
时刻开始牵引力均视为不变。
若两车行驶时所受的阻力大小与重力成正比，且比例系数相同，则（ ）
A．甲车的总重比乙车大
B．甲车比乙车先开始运动
C．甲车在
时刻和乙车在
时刻的速率相同D．甲车在
时刻和乙车在
时刻的速率相同
【答案】ABC
【解析】A．根据题述，两车额定功率P 相同，匀速运动后牵引力等于阻力，因此甲车阻力大于乙车阻力，
根据甲车
时刻后和乙车
时刻后两车牵引力不变，甲车牵引力大于乙车可知
可知甲车的总重比乙车大，故A 正确；
B．如图所示
甲车在A 点所对应的时刻牵引力与阻力瞬间相等，所以甲车从这个时刻开始，做加速运动；乙车在B 点所
对应的时刻牵引力与阻力瞬间相等，乙车从这个时刻开始加速，所以甲车比乙车先开始运动，故B 正确；
C．两车分别从
和
时刻开始以额定功率行驶，这两个时刻，两车的牵引力等大，由
可知，甲车在
时刻和乙车在
时刻的速率相同，故C 正确；
D．
时刻甲车达到最大速度，
时刻乙车达到最大速度，根据汽车的额定功率
8
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可知由于甲车的总重比乙车大，所以甲车在
时刻的速率小于乙车在
时刻的速率，故D 错误。
故选ABC。
7．（2018·全国）地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面．某竖井中矿车提升的速度
大小v 随时间t 的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度
的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等．不考虑摩擦阻力和空气阻力．对于第①次和第②
次提升过程，
A．矿车上升所用的时间之比为4:5
B．电机的最大牵引力之比为2:1
C．电机输出的最大功率之比为2:1
D．电机所做的功之比为4:5
【答案】AC
【解析】A．由图可得，变速阶段的加速度
，设第②次所用时间为t，根据速度-时间图象的面积等
于位移（此题中为提升的高度）可知，
，解得：
，所以第①次
和第②次提升过程所用时间之比为
，选项A 正确；
B．由于两次提升变速阶段的加速度大小相同，在匀加速阶段，由牛顿第二定律，
，可得提升
的最大牵引力之比为1 1∶，选项B 错误；
C．由功率公式，P=Fv，电机输出的最大功率之比等于最大速度之比，为2 1∶，选项C 正确；
D．加速上升过程的加速度
，加速上升过程的牵引力
，减速上升过程的加
9
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速度
，减速上升过程的牵引力
，
匀速运动过程的牵引力
．第①次提升过程做功
；
第②次提升过程做功
；
两次做功相同，选项D 错误．
【点睛】此题以速度图像给出解题信息．解答此题常见错误主要有四方面：一是对速度图像面积表示位移
掌握不到位；二是运用牛顿运动定律求解牵引力错误；三是不能找出最大功率；四是不能得出两次提升电
机做功．实际上，可以根据两次提升的高度相同，提升的质量相同，利用功能关系得出两次做功相同．
二、单选题
8．（2022·江苏）某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳。将运动员
视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能
与水平位移x 的关系图像正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设斜面倾角为θ，不计摩擦力和空气阻力，由题意可知运动员在沿斜面下滑过程中根据动能定理
有
10
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即
下滑过程中开始阶段倾角θ 不变，Ek-x 图像为一条直线；经过圆弧轨道过程中θ 先减小后增大，即图像斜
率先减小后增大。
故选A。
9．（2021·湖北）如图（a）所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力
大小f 恒定，物块动能Ek与运动路程s 的关系如图（b）所示。重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m 和
所受摩擦力大小f 分别为（ ）
A．m=0.7 kg，f=0.5 N
B．m=0.7 kg，f=1.0N
C．m=0.8kg，f=0.5 N
D．m=0.8 kg，f=1.0N
【答案】A
【分析】本题结合
图像考查动能定理。
【解析】0~10m 内物块上滑，由动能定理得
整理得
结合0~10m 内的图像得，斜率的绝对值
10~20 m 内物块下滑，由动能定理得
11
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整理得
结合10~20 m 内的图像得，斜率
联立解得
故选A。
10．（2020·江苏）如图所示，一小物块由静止开始沿斜面向下滑动，最后停在水平地面上。斜面和地面平
滑连接，且物块与斜面、物块与地面间的动摩擦因数均为常数。该过程中，物块的动能
与水平位移x 关
系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知设斜面倾角为θ，动摩擦因数为μ，则物块在斜面上下滑距离在水平面投影距离为x，
根据动能定理，有
整理可得
即在斜面上运动时动能与x 成线性关系；
当小物块在水平面运动时,根据动能定理由
12
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即
为物块刚下滑到平面上时的动能，则即在水平面运动时物块动能与x 也成线性关系。
故选A。
11．（2017·江苏）一小物块沿斜面向上滑动，然后滑回到原处．物块初动能为Ek0，与斜面间的动摩擦因
数不变，则该过程中，物块的动能Ek与位移x 关系的图线是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设斜面倾角为θ，根据动能定理，当小物块沿斜面上升时，有：
－(mgsinθ＋f)x=Ek－Ek0
即：
Ek=－(f＋mgsinθ)x＋Ek0
所以Ek与x 的函数关系图象为直线，且斜率为负；
设x0为小物块到达最高点时的位移，当小物块沿斜面下滑时根据动能定理有：
(mgsinθ－f)(x0－x)=Ek－0
即：
Ek=－(mgsinθ－f)x＋(mgsinθ－f)x0
所以下滑时Ek随x 的减小而增大且为直线。
综上所述，故C 正确，ABD 错误。
故选C。
12．（2023·浙江）铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度
大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E 随运动时间t 的变化关系中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13
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【答案】D
【解析】A．由于不计空气阻力，铅球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不随时间改
变，故A 错误；
B．铅球被水平推出后做平抛运动，竖直方向有
则抛出后速度大小为
可知速度大小与时间不是一次函数关系，故B 错误；
C．铅球抛出后的动能
可知动能与时间不是一次函数关系，故C 错误；
D．铅球水平抛出后由于忽略空气阻力，所以抛出后铅球机械能守恒，故D 正确。
故选D。
13．（2023·辽宁）如图（a），从高处M 点到地面N 点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。两相同小物块甲、乙同时
从M 点由静止释放，沿不同轨道滑到N 点，其速率v 与时间t 的关系如图（b）所示。由图可知，两物块在
离开M 点后、到达N 点前的下滑过程中（ ）
A．甲沿I 下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
B．甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
C．乙沿I 下滑且乙的重力功率一直不变
D．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
【答案】B
【解析】AB．由图乙可知，甲下滑过程中，甲做匀加速直线运动，则甲沿Ⅱ下滑，乙做加速度逐渐减小的
加速运动，乙沿I 下滑，任意时刻甲的速度都小于乙的速度，可知同一时刻甲的动能比乙的小，A 错误，B
正确；
CD．乙沿I 下滑，开始时乙速度为0，到
点时乙竖直方向速度为零，根据瞬时功率公式
可知重
14
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力瞬时功率先增大后减小，CD 错误。
故选B。
14．（2015·全国）一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时,发动机的功率P 随时间t 的变化如图所示．
假定汽车所受阻力的大小f 恒定不变．下列描述该汽车的速度随时间t 变化的图像中,可能正确的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在
时间内，如果匀速，则
图象是与时间轴平行的直线，如果是加速，根据
，牵引
力减小；根据
，加速度减小，是加速度减小的加速运动，当加速度为0 时，即
，汽车开始
做匀速直线运动，此时速度
；所以
时间内，
图象先是平滑的曲线，后是平行于横轴的
直线；在
时间内，功率突然增加，故牵引力突然增加，是加速运动，根据
，牵引力减小；再
根据
，加速度减小，是加速度减小的加速运动，当加速度为0 时，即
，汽车开始做匀速直
线运动，此时速度
．所以在
时间内，即
图象也先是平滑的曲线，后是平行于横轴的
直线，A 正确；
三、解答题
15．（2022·湖南）如图（a），质量为m 的篮球从离地H 高度处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞
后反弹至离地h 的最高处。设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的
倍（
为常数且
15
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），且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同，重力加速度大小为g。
（1）求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比；
（2）若篮球反弹至最高处h 时，运动员对篮球施加一个向下的压力F，使得篮球与地面碰撞一次后恰好反
弹至h 的高度处，力F 随高度y 的变化如图（b）所示，其中
已知，求
的大小；
（3）篮球从H 高度处由静止下落后，每次反弹至最高点时，运动员拍击一次篮球（拍击时间极短），瞬
间给其一个竖直向下、大小相等的冲量I，经过N 次拍击后篮球恰好反弹至H 高度处，求冲量I 的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）篮球下降过程中根据牛顿第二定律有
再根据匀变速直线运动的公式，下落的过程中有
篮球反弹后上升过程中根据牛顿第二定律有
再根据匀变速直线运动的公式，上升的过程中有
则篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比
（2）若篮球反弹至最高处h 时，运动员对篮球施加一个向下的压力F，则篮球下落过程中根据动能定理有
16
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篮球反弹后上升过程中根据动能定理有
联立解得
（3）方法一：由（1）问可知篮球上升和下降过程中的加速度分别为
（方向向下）
（方向向下）
由题知运动员拍击一次篮球（拍击时间极短），瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量I，由于拍击时
间极短，则重力的冲量可忽略不计，则根据动量定理有
即每拍击一次篮球将给它一个速度v。
拍击第1 次下降过程有
上升过程有
代入k 后，下降过程有
上升过程有
联立有
拍击第2 次，同理代入k 后，下降过程有
17
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上升过程有
联立有
再将h1代入h2有
拍击第3 次，同理代入k 后，下降过程有
上升过程有
联立有
再将h2代入h3有
直到拍击第N 次，同理代入k 后，下降过程有
上升过程有
联立有
将hN-1代入hN有
其中
18
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，
则有
则
方法二：由（1）问可知篮球上升和下降过程中的加速度分别为
（方向向下）
（方向向下）
由题知运动员拍击一次篮球（拍击时间极短），瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量I，由于拍击时
间极短，则重力的冲量可忽略不计，则根据动量定理有
即每拍击一次篮球将给它一个速度v’。设篮球从H 下落时，速度为
，反弹高度为，篮球受到冲量I 后
速度为v’，落地时速度为
，则
，
联立可得
代入k 可得，
……①
篮球再次反弹，反弹速度为k
，设反弹高度为h1，受到冲量后，落地速度为v2，同理可得
，
同理化简可得
19
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……②
篮球第三次反弹，反弹速度为k
，设反弹高度为h2，受到冲量后，落地速度为v3，同理可得
，
同理化简可得
……③
……
第N 次反弹可得
……（N）
对式子①②③……(N)两侧分别乘以
、
、
……、
，再相加可得
得
其中，
，
，可得
可得冲量I 的大小
16．（2021·福建）如图（a），一倾角
的固定斜面的
段粗糙，
段光滑。斜面上一轻质弹簧的一
端固定在底端C 处，弹簧的原长与
长度相同。一小滑块在沿斜面向下的拉力T 作用下，由A 处从静止
开始下滑，当滑块第一次到达B 点时撤去T。T 随滑块沿斜面下滑的位移s 的变化关系如图（b）所示。已
20
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知
段长度为
，滑块质量为
，滑块与斜面
段的动摩擦因数为0.5，弹簧始终在弹性限度内，重
力加速度大小取
，
。求：
（1）当拉力为
时，滑块的加速度大小；
（2）滑块第一次到达B 点时的动能；
（3）滑块第一次在B 点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）设小滑块的质量为m，斜面倾角为
，滑块与斜面间的动摩擦因数为
，滑块受斜面的支持
力大小为N，滑动摩擦力大小为f，拉力为
时滑块的加速度大小为
。由牛顿第二定律和滑动摩擦力公
式有
①
②
③
联立①②③式并代入题给数据得
④
（2）设滑块在
段运动的过程中拉力所做的功为W，由功的定义有
⑤
式中
、
和
、
分别对应滑块下滑过程中两阶段所受的拉力及相应的位移大小。依题意，
，
，
，
。设滑块第一次到达B 点时的动能为
，由动能定理有
⑥
21
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联立②③⑤⑥式并代入题给数据得
⑦
（3）由机械能守恒定律可知，滑块第二次到达B 点时，动能仍为
。设滑块离B 点的最大距离为
，
由动能定理有
⑧
联立②③⑦⑧式并代入题给数据得
⑨
17．（2021·山东）如图所示，三个质量均为m 的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A 紧靠竖直墙壁，
一劲度系数为k 的轻弹簧将A、B 连接，C 紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C 均静止。现给C 施加
一水平向左、大小为F 的恒力，使B、C 一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A 离
开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C 与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑
动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表示为：
，k 为弹簧的劲度系数，x 为
弹簧的形变量）
（1）求B、C 向左移动的最大距离
和B、C 分离时B 的动能
；
（2）为保证A 能离开墙壁，求恒力的最小值
；
（3）若三物块都停止时B、C 间的距离为
，从B、C 分离到B 停止运动的整个过程，B 克服弹簧弹力
做的功为W，通过推导比较W 与
的大小；
（4）若
，请在所给坐标系中，画出C 向右运动过程中加速度a 随位移x 变化的图像，并在坐标轴
上标出开始运动和停止运动时的a、x 值（用f、k、m 表示），不要求推导过程。以撤去F 时C 的位置为坐
标原点，水平向右为正方向。
22
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【答案】（1）
、
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）从开始到B、C 向左移动到最大距离的过程中，以B、C 和弹簧为研究对象，由功能关系得
弹簧恢复原长时B、C 分离，从弹簧最短到B、C 分离，以B、C 和弹簧为研究对象，由能量守恒得
联立方程解得
（2）当A 刚要离开墙时，设弹簧得伸长量为
，以A 为研究对象，由平衡条件得
若A 刚要离开墙壁时B 得速度恰好等于零，这种情况下恒力为最小值
，从弹簧恢复原长到A 刚要离开
墙得过程中，以B 和弹簧为研究对象，由能量守恒得
结合第（1）问结果可知
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根据题意舍去
，所以恒力得最小值为
（3）从B、C 分离到B 停止运动，设B 的路程为
，C 的位移为
，以B 为研究对象，由动能定理得
以C 为研究对象，由动能定理得
由B、C 得运动关系得
联立可知
（4）小物块B、C 向左运动过程中，由动能定理得
解得撤去恒力瞬间弹簧弹力为
则坐标原点的加速度为
之后C 开始向右运动过程（B、C 系统未脱离弹簧）加速度为
可知加速度随位移
为线性关系，随着弹簧逐渐恢复原长，
减小，
减小，弹簧恢复原长时，B 和C 分
离，之后C 只受地面的滑动摩擦力，加速度为
负号表示C 的加速度方向水平向左；从撤去恒力之后到弹簧恢复原长，以B、C 为研究对象，由动能定理
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得
脱离弹簧瞬间后C 速度为，之后C 受到滑动摩擦力减速至0，由能量守恒得
解得脱离弹簧后，C 运动的距离为
则C 最后停止的位移为
所以C 向右运动的图象为
四、填空题
18．（2016·上海）地面上物体在变力F 作用下由静止开始竖直向上运动，力F 随高度x 的变化关系如图所
示，物体能上升的最大高度为h，h<H．当物体加速度最大时其高度为_____，加速度的最大值为_____．
【答案】 0 或h；
【解析】[1][2]．根据题意，从图可以看出力F 是均匀减小的，可以得出力F 随高度x 的变化关系：
而
，可以计算出物体到达h 处时力
；
物体从地面到h 处的过程中，力F 做正功，重力G 做负功，由动能定理可得：
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而
可以计算出：
则物体在初位置加速度为：
计算得：
；
当物体运动到h 处时，加速度为：
而
计算处理得：
即加速度最大的位置是0 或h 处．
【学科网考点定位】动能定理、牛顿第二定律
【方法技巧】首先结合图像分析物体从静止上升过程中加速度最大的位置，再通过图像找出变力F 与高度
x 的关系
，通过动能定理计算出变力，最后根据牛顿第二定律计算加速度．
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