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2024 年上海高考数学第一次模拟考试
数学·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的
相应位置直接填写结果．
1．﹣i 2．3 3．（﹣∞，2） 4．6
5． 6．﹣160 7．9 8．1365
9． 10． 11． 12．3n﹣1
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且仅有一
个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。
13 14 15 16
A B A D
三、解答题（共5小题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17.（14分）
【解答】解：不妨设2AB＝BC＝AA ＝2，
1
（1）∵ ， ，
∴ ，
∴三棱锥D﹣A B M与长方体ABCD﹣A B C D 的体积比为1：6；
1 1 1 1 1 1
（ 2 ） 易 知 ， ，
，
∴ ，设B 到平面DA M的距离为h，则由 ，可得 ，
1 1
∴ ，
设直线DB 与平面DA M所成角的大小为θ，则 ，
1 1
∴直线DB 与平面DA M所成角的大小为 ．
1 1
18．（14分）
【解答】解：（1）因为 ，所以bsinC＝csinB，
又bsinC＝csinB+2cosA﹣1，所以cosA＝ ，
又A∈（0，π），所以A＝ ．
（2）在△ABC中，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsoA，
可得a＝ ，满足b2＝a2+c2，故B＝ ，
在Rt CBD中，CD＝ ＝ ＝ ．
19．（△14分）
【解答】解：（1）由于AB＝ ＝10公里，AC＝ABsin30°＝5 公里，
第一种运输方案所需费用为20a元，
第一种运输方案所需费用为（5 +10）a元，
∵5 ＜10，∴（5 +10）a＜20a，
∴第二种运输方案比第一种方案更优．
（2）令∠BDC＝θ（θ∈[30°，90°）），则BD＝ 公里，DC＝ 公里，
AD＝5 ﹣DC＝5 ﹣ 公里，于是，所需总费用为W＝（5 ﹣ ）a+ ＝5a（ ），
令y＝ ，则ysinθ+cosθ＝2，
所以y2+12≥22，又y＞0，则y≥ ，
当y＝ 时，θ＝60°，AD＝ 公里，
即当中转站选址在南岸位于A东边 公里的D处是最佳的．
20．（18分）
【解答】解：（1）因为椭圆C： 过点（2，﹣1），离心率为 ，
则有 ，且a2＝b2+c2，
解得a2＝8，b2＝2，
故椭圆C的方程为 ，
所以准线l为x＝4，
故点A（4，0）；
（2）设N（x ，y ），
0 0
因为M是线段AN的中点，
则 ，
由题意可得， ，解得 ，
所以直线MN的方程为 ；
（3）设P（4，t），Q（4，﹣t），设直线MN的方程为x＝ky+4，设M（x ，y ）N（x ，y ），
1 1 2 2
联立方程组 ，可得（k2+4）y2+8ky+8＝0，
所以 ，
则直线 ，
直线 ，
联立直线PM与QN，可得交点横坐标为 ，
又y +y ＝﹣ky y ，
1 2 1 2
解得x＝2，
所以PM与QN的交点恒在直线x＝2上．
21．（18分）
【解答】解：（1）若f（x）为[﹣3，3]上的“局部奇函数”，则f（﹣x）＝﹣f（x），
即2﹣x+k•2x＝﹣（2x+k•2﹣x），整理可得（k+1）（2x+2﹣x）＝0，
解得k＝﹣1，即f（x）＝2x﹣2﹣x，
当x∈[﹣3，3]时，不等式 ，即为2（2x）2﹣3•2x﹣2＞0，
可得2x＞2，即x＞1，
则原不等式的解集为（1，3]；
（2）（ⅰ）F（x）＝ ，
令t＝2x，则y＝t﹣ 在[ ，2]递增，当x∈[﹣1，1]时，F（x）∈[﹣ ， ]；
因为y＝t+ 在（2，8]递增，所以x∈（1，3]时，F（x）∈（ ， ]；又因为f（x）在[﹣3，﹣1）∪（1，3]为“局部偶函数”，可得x∈[﹣3，﹣1）∪（1，3]时，F（x）∈
（ ， ]；
综上可得，F（x）的值域为[﹣ ， ]∪（ ， ]；
（ⅱ）对于[﹣3，3]上的任意实数x ，x ，x ，不等式F（x ）+F（x ）+5＞mF（x ）恒成立，
1 2 3 1 2 3
可得m≥0时，2F（x） +5＞mF（x） ，
min max
即有2×（﹣ ）+5＞ m，
解得0≤m＜ ；
m＜0时，2F（x） +5＞mF（x） ，
min min
即为2×（﹣ ）+5＞﹣ m，解得﹣ ＜m＜0．
即m的取值范围是（﹣ ， ）．
