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专题 02 不等式与不等关系
考点分类 五年考情（2022-2026） 命题规律
2026北京卷、2026上海卷、 高考对不等式性质的考查虽单独命
考点01 不等式的 题频率较低，但相关知识贯穿各类
2024上海卷、
性质 题型，是进行不等式变形、证明及
2022上海卷
解题的核心工具
2026上海卷、
2025年全国二卷、2025天津卷、
考点02 一元二次 2025上海卷、 一元二次不等式、分式不等式常与
不等式、分式不等 集合运算、函数定义域、导数求单
2024上海卷、
式 调区间等综合考查
2023年新高考卷Ⅰ、
2022上海卷
2026天津卷、2026上海卷、
2025北京卷、2025上海卷、
考点03 基本不等 基本不等式是求最值的常用工具，
2024北京卷、2024上海卷、
式 难度不定
2023上海卷、
2022年新高考卷Ⅱ
2024年全国甲卷
考点04 线性规划
新高考已经剔除，但是在直线与圆
（新高考已经删 2023年全国甲卷、2023年全国乙
的位置关系求最值问题中，它的思
除，思想具有参考 卷
想有所体现
意义）
2022年全国乙卷、2022浙江卷
考点01 不等式的性质
1．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前
往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，
则（ ）
A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数
B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数
D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数
【答案】B
【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论.
【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为 ，去乙地的人数为 ，
高二学生去甲地的人数为 ，去乙地的人数为 ，
∴高一总人数： ，高二总人数 ，前往甲地的学生人数： ，前往乙地的学生人数： ，
∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，
∴ ，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得 ，
∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误.
2．（2026·上海·高考真题）已知 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C.
【详解】对于A,取 ，则 故 ，所以A错误，
对于B，取 则 ，此时 ，故B错误，
对于C，由于 ，故 ，因此 ，C正确，
对于D,取 ，则 ，此时 ，故D错误，
故选：C
3．（2024·上海·高考真题） ， ， ，b>c，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断.
【详解】对于A，若 ，则 ，选项不成立，故A错误；对于B，由不等式的可加性可知， ，故B正确；
对于C、D，若 ，则选项不成立，故C、D错误．
故选：B．
4．（2022·上海·高考真题）若实数 、 满足 ，下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】因为 ，则 ，故 ，A对B错；
，即 ，
当且仅当 时，即当a=4b时，等号成立，CD都错.
故选：A.
5．（2022·上海·高考真题）已知 ，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．ac>bd
【答案】B
【分析】用不等式的基本性质得解.
【详解】 ，但 ， ，A、C错
， ，所以 .B正确.
，但 ，D错.
故选:B.
6．（2022·上海·高考真题） ， ，则 的最小值是___________.
3
【答案】 /1.5
2
【分析】分析可得 ，利用不等式的基本性质可求得 的最小值.【详解】设 ，则 ，解得 ，
所以， ，
因此， 的最小值是 .
故答案为： .
考点02 一元二次不等式、分式不等式
1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
【详解】 即为 即 ，故−2≤ x<1，
故解集为 .
故选：C.
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合 ，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为 ，而 ，所以 ．
故选：C．
方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等式成立，所以
．
故选：C．
3．（2026·上海·高考真题）关于 的不等式 的解集为____________.
【答案】
【分析】由 可得: ，解不等式可得其解集.
【详解】由 可得: ，
解得: ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为： .
4．（2025·天津·高考真题）若 ，对 ，均有 恒成立，则 的
最小值为_______
【答案】
【分析】先设 ，根据不等式的形式，为了消 可以取 ，得到 ，验证t=−4时， 是
否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【详解】设 ，原题转化为求 的最小值，
原不等式可化为对任意的 ， ，
不妨代入 ，得 ，得 ，
当t=−4时，原不等式可化为 ，即 ，
观察可知，当 时， 对 一定成立，当且仅当 取等号，
此时， ，说明t=−4时， 均可取到，满足题意，
故 的最小值为 .
故答案为：
5．（2025·上海·高考真题）不等式 的解集为_________．
【答案】
【分析】转化为一元二次不等式 ，解出即可.
【详解】原不等式转化为 ，解得1<x<3，
则其解集为 .
故答案为： .
6．（2025·上海·高考真题）不等式 的解集为_____．
【答案】(0,1)
【分析】将不等式 化为 ，即可得答案.
【详解】由题意得不等式 即 ，
即不等式 的解集为(0,1)，
故答案为：(0,1)
7．（2024·上海·高考真题）已知 ，求 的 的取值范围_______.
【答案】
【分析】分 与 两段求解二次不等式可得.【详解】根据题意知 .
当 时， ,即 ，解得 ，则有 ；
当 时， ,即 ， ，即 时，不等式 都成立.
综上所述， 的 的取值范围为 .
故答案为： .
8．（2024·上海·高考真题）已知 则不等式 的解集为______．
【答案】
【分析】求出方程x2 −2x−3=0的解后可求不等式的解集.
【详解】方程x2 −2x−3=0的解为 或 ，
故不等式 的解集为 ，
故答案为： .
x−1
9．（2022·上海·高考真题）不等式 <0的解集为_____________.
x
【答案】
【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.
【详解】 或 ，解第一个不等式组，得 ，第二个不等式组的解集为空
集.
故答案为：
【点睛】本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题.
考点03 基本不等式1．（2026·天津·高考真题） 的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】B
【详解】因为 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立,
所以 的最小值为9.
2．（2025·北京·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当 时， ，故A错误；
对于BD，取 ，此时 ，
，故BD错误；
对于C，由基本不等式可得 ，故C正确.
故选：C.
3．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ，
对于选项AB：可得 ，即 ，
根据函数 是增函数，所以 ，故B正确，A错误；
对于选项D：例如x =0,x =1，则 ，
1 2
可得 ，即 ，故D错误；
对于选项C：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故C错误，
故选：B.
4．（多选题）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为 （ R），由 可变形为，
，解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当时， ，所以A错误，B正确；
由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所
以C正确；
因为 变形可得 ，设 ，所以
，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D错误．
故选：BC．
5．（2026·上海·高考真题）已知 ，则 的最大值为__________．
1
【答案】 /
4
【分析】根据基本不等式可得 ，结合条件即可求结论.
【详解】因为 ，当且仅当a=2b时等号成立，
结合 可得， ，
❑√2
当且仅当a= ， 或 ， 时等号成立，
2
❑√2
所以当a= ， 或 ， 时， 取最大值，最大值为 .
2
6．（2026·上海·高考真题）若 ， ，且 ，则 的最大值是______．
【答案】2
【分析】由于 、 为正值，且 为定值4，因此可以运用基本不等式先求出 的最大值，进而求
出 的最大值．
【详解】解：∵ ， ，∴
∴ ，当且仅当a=2b时取等号，即 ， 时取等号
故答案为：2．
【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基
础题
7．（2025·上海·高考真题）设 ，则 的最小值为_________．
【答案】4
【分析】灵活利用“1”将 展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知 ，
当且仅当 ，即 时取得最小值.
故答案为：4
8．（2024·上海·高考真题）已知 ， 的最小值为______．
【答案】12
【分析】利用不等式 即可求解.
【详解】 ,
当且仅当 ,即 或 时,等号成立,
故 的最小值为12.
故答案为：12.
9．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足 ，则 的最大值为_______________．
【答案】【分析】由 ，代入即可得出答案.
【详解】 ，
当且仅当“a=4b”，即 时取等，
所以 的最大值为 .
故答案为：
考点04 线性规划（新高考已经删除，思想具有参考意义）
1．（2024·全国甲卷·高考真题）若 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
1
A． B． C． D．
2
【答案】D
【分析】画出可行域后，利用 的几何意义计算即可得.
【详解】实数 满足 ，作出可行域如图：
由 可得 ，
即 的几何意义为 的截距的 ，则该直线截距取最大值时， 有最小值，
此时直线 过点 ，
联立 ，解得 ，即 ，
则 .
故选：D.
2．（2022·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件 则 的最大值是（ ）
A．20 B．18 C．13 D．6
【答案】B
【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线 后可求最大值.
【详解】不等式组对应的可行域如图所示：
当动直线 过 时 有最大值.
{x=2
)
由 可得 ，故 ，
y=3
故 ，
故选：B.3．（2022·全国乙卷·高考真题）若x，y满足约束条件 则 的最大值是（ ）
A． B．4 C．8 D．12
【答案】C
【分析】作出可行域，数形结合即可得解.
【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数 为 ，
上下平移直线 ，可得当直线过点 时，直线截距最小，z最大，
所以 .
故选：C.
4．（2023·全国甲卷·高考真题）若x，y满足约束条件 ，设 的最大值为
____________．
【答案】15
【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.
【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数 过点 时， 有最大值，
由 可得 ，即 ,
所以 .
故答案为：15
5．（2023·全国乙卷·高考真题）若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为______.
【答案】8
【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.
【详解】作出可行域如下图所示：
，移项得 ，
联立有 ，解得 ，
设 ，显然平移直线 使其经过点 ，此时截距 最小，则 最大，
代入得 ，
故答案为：8.6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知 .
(1)求不等式 的解集；
(2)在直角坐标系 中，求不等式组 所确定的平面区域的面积.
【答案】(1) ；
(2)8.
【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.
（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.
【详解】（1）依题意， ，
不等式 化为： 或 或 ，
解 ，得无解；解 ，得 ，解 ，得 ，因此
，
所以原不等式的解集为：
（2）作出不等式组 表示的平面区域，如图中阴影 ，由 ，解得 ，由 , 解得 ，又 ，
所以 的面积 .
