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专项 05 导数及其应用
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年全国卷考情，函数中导数的应用是高考解答题必考题目，通常作为压轴题的形式出现,考查
的内容主要还是以含参为主;小题则重点考查三次函数的性质、导数的几何意义及利用导数比较大小等
考点，分值约20-32分．
命题趋势：
解答题：稳定考查导数与函数的综合应用（常为第18至19题），核心是利用分类讨论、转化与化归、
构造函数等策略解决导数的综合应用问题．
2026年预测：解答题极可能仍会以含参形式的出现，热门考向为利用导数研究不等式恒成立、证明不
等式及研究函数的零点．
备考核心：夯实导数基础题型，掌握分类讨论、构造函数法，专攻极值最值与零点问题，限时训练规范
步骤，总结易错点，真题限时演练提升速度．
题型01 利用导数解决不等式恒（能）成立问题
析典例 · 建模型
1．（2026·山东滨州·一模）已知函数 ．(1)证明：在曲线 的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线 的斜率相等；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
2．（25-26高三下·重庆·月考）已知 ，其中 ．
(1)若 ，求函数 在点 处的切线方程；
(2)对任意的 ，总存在 ，使得 ，求a的取值范围．
研考点 · 通技法
对于含有参数的不等式来说，要求参数的取值及取值范围.一般采用参编分离的思想，将参数移到一
边，从而重新构造函数，求出函数的单调性，从而求出参数的取值范围.对于含有两个参数的，一般是
将两个参数转换成一个参数处理.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进
行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
破类题 · 提能力
1．（2026·河北张家口·一模）已知函数 ， ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： ；
(3)若 ，关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围．2．（2026·云南·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，证明： 在 上存在唯一零点；
(2)证明： 在 上恒成立的充要条件是 ．
题型02 利用导数证明不等式
析典例 · 建模型
1．（2026·江苏·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论 的零点个数；
(3)当 时，证明： ．
2．（2026·广东深圳·一模）已知函数 .(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个零点.
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： .
研考点 · 通技法
利用导数证明不等式，核心是构造函数 + 单调性 + 最值.先移项构造新函数，求导判断其单调性，找
到区间内的最值，证其恒正或恒负.
复杂不等式可拆分证明、适当放缩，或利用常见不等式（如lnx≤x−1）间接推导；含参不等式要结合分
类讨论，通过单调性确定参数范围，转化为最值问题求解.
注重步骤规范，先构造再求导、定号、得单调性、证最值，逻辑清晰即可得分.
破类题 · 提能力
1．（2026·河北保定·一模）已知函数
(1)当 时，求 的极值.
(2)已知 .
（i）证明: ；
（ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围.2．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知 ，直线 与曲线
和 都相切．
(1)求 的值；
(2)若 ，其中 ．
（i）求实数 的取值范围；
（ii）求证： ．
题型03 极值点偏移问题
析典例 · 建模型
1．（2026陕西西安·模拟预测）已知函数 ，记 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知 ，对任意 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围；
(3)已知 ，且 ，求证： ．2．（25-26高三上·陕西榆林·期末）已知函数 .
(1)当 时，求 的最小值；
(2)已知函数 有两个零点 ， ，且 .
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）证明： .
研考点 · 通技法
极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数 存在两个零点 且 ，求证： （ 为函数 的极值点）；
2.若函数 中存在 且 满足 ，求证： （ 为函数 的极值
点）；
3.若函数 存在两个零点 且 ，令 ，求证： ；
1. 4.若函数 中存在 且 满足 ，令 ，求证： .
破类题 · 提能力1．（25-26高三下·辽宁·开学考试）已知函数 的导函数为 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 时， ，求 的取值范围；
(3)设 ，当 时，方程 仅有两个不相等的实数根 ，求证：
.
2．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 上有两个零点，求实数 的取值范围；
(3)若函数 有两个极值点 ， ，证明： ．
题型04 利用导数研究隐零点问题
析典例 · 建模型
1.（2025·江西萍乡·模拟）已知函数 ， .
(1)讨论函数 的单调性；(2)若 =0，求 的值；
(3)证明： .
研考点 · 通技法
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在
性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
基本步骤：
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程 , 并结合 的单调
性得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到 的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程 适当变形, 整体代入 最值式子进行化简:
（1）要么消除 最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;
从而得到 最值式的估计.
二、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那么在开区间
内至少有函数 的一个零点，即至少有一点 ，使得 .
三、隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们
看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换
化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
四、一般思路
针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的
函数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式.构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数
值域或者证明不等式恒成立问题.在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取
含参的特殊值来确定零点存在区间.
破类题 · 提能力
1.（2026·浙江·开学考试）已知函数 ．
(1)求 在点 处的切线方程；
(2)当 ，对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)证明： ．
2．（2026·陕西商洛·二模）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)若函数 存在单调递增区间，求实数 的取值范围；
(3)若 R，对任意的 恒成立，求 的最小值．题型05 利用导数研究函数的零点（方程的根）问题
析典例 · 建模型
1．（2026·云南·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)若 ， 都成立，求 的取值范围；
(3)若函数 ，证明 有且仅有两个零点．
2．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数 （ 是自然对数的底数）．
(1)求曲线 在原点处的切线方程；
(2)若 在 内有两个极值点，求实数 的取值范围；
(3) 时，讨论关于 的方程 的根的个数．研考点 · 通技法
利用导数研究函数零点（方程根），核心是数形结合、单调性、极值与端点效应.
1.转化：将方程根的与函数零点互相转化，或分离参数转化为直线与曲线交点问题.
2.求导分析：求定义域，求导并因式分解，判断单调性与极值点，确定函数图像走势.
3.零点存在定理：计算极值与区间端点函数值，利用符号判断零点个数：极值正、负、零分别对应不同
交点情况.
4.分类讨论：含参问题按导数零点的大小、是否在定义域内分类，逐段分析单调性与最值.
5.找点技巧：若函数值不易判断，可适当放缩、取特殊值，证明存在正负两点，锁定零点区间.
整体思路：单调定趋势，极值定个数，符号定存在，参数分类论.
破类题 · 提能力
1．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知函数 ．
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若方程 在 上恰有2个实数根，求m的取值范围．
2．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 恰有两个零点，求实数 的取值范围；
(2)当 时，证明： ．题型06 导数与数列的综合问题
析典例 · 建模型
1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数 ， ，记 的零点为 .
(1)求 ；
(2)求数列 中的最小项；
(3)证明：
2．（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知函数 ，且 .
(1)求 ;
(2)已知 为函数 的导函数，证明：对任意的 ，均有 ；
(3)证明：对任意的 ，均有 .研考点 · 通技法
导数与数列综合题是高考导数压轴常见类型，核心思路为函数搭桥、赋值放缩、累加求和.
1.先证函数不等式：利用导数研究函数单调性与最值，证明关键不等式，如lnx≤x−1、ex≥x+1等，这是
解题基础.
2.对变量赋值：将x替换为数列通项、相邻项比值等特殊形式，得到数列项之间的不等式关系.
3.累加或累乘转化：对赋值后的不等式进行累加、累乘，转化为数列求和、求积问题，实现放缩目标.
4.规范答题步骤：先完成导数部分的函数证明，再逐步赋值、变形、放缩，分步书写得分点，避免逻辑
跳跃.
此类题目本质是用导数工具得到放缩模型，再借助数列方法完成证明，分步拆解即可突破.
破类题 · 提能力
1．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知函数 .
(1)证明： ；
(2)证明： ；
2．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知函数 ．
(1)当 时，
① 求 的最小值；
② 设 ，求证: ；
(2)设 ， ， 是 的两个极值点，求证： ．题型07 导数的新定义问题
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·广东汕头·期末）某些函数如 和 的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧段总在
这两点连线的下方.这个性质可表示为：设 是定义在区间 上的函数，则对于 上的任意 与任意
，总有 成立.
(1)设 ，求证： ；
(2)设 ，求证： ；
(3)某同学研究发现，若函数 在 上存在导函数 ，则上述性质的充要条件为 在 上递增，
求证： ，其中 均为正数.研考点 · 通技法
导数新定义题的核心是读懂定义、转化为常规导数问题.
1.翻译定义：准确理解新符号、新运算、新性质，将其转化为函数、导数、单调性等熟悉语言.
2.构造函数：依据定义构造合适函数，转化为求导、单调性、极值最值、零点等常规题型.
3.分类讨论：对含参问题按定义域、导数零点、单调性分段讨论，结合定义约束条件求解.
4.数形结合：借助图像理解新定义几何意义，判断交点、范围与存在性.
整体策略：先翻译定义，再化归旧知，用导数工具求解，规范书写步骤.
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·宁夏银川·期末）定义“下凸函数” ：在区间 上，对任意 ，均有
，当且仅当 时，等号成立．若函数 在区间 上存在二阶可导
函数，则 为区间 上的“下凸函数”的充要条件是 （ 为 的导函数）．
(1)若 是 上的“下凸函数”，求实数 的取值范围；
(2)证明：函数 在 上为“下凸函数”；
(3)已知正实数 满足 ，求 的最小值（用含 的
代数式表示）．
2．（25-26高三下·吉林长春·月考）已知函数 ．(1)求 在点 的切线方程；
(2) ，求实数 的取值范围；
(3)请阅读下列两段材料：
材料1： 阶导数定义：设函数 的 阶导数 仍是可导函数，则
的导数 称为 的 阶导数，记为 ，即 ．
材料2：一般地，函数 在 处的 阶帕德逼近函数定义为： ，且
满足 ， ．
请根据以上材料回答下列问题：
记 为 在 处的 阶帕德逼近函数，当 时，求函数 的最小值；
并证明： ．
（其中 为自然对数的底数）．（建议用时：100分钟）
刷模拟
1．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有且仅有一个零点，求 的值.
2．（2026·河南南阳·一模）已知函数 ，其中 ，且 ．
(1)当 时，讨论 的零点个数；
(2)若 恒成立，求 的取值范围．
3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数 .
(1)讨论 的图象与直线 的交点个数.
(2)已知函数 ，有五个不同的零点 ，且
，求 的取值范围.4．（2026·天津河东·一模）已知函数 （ ）.
(1)函数 在定义域内无极值，求a的取值范围；
(2)函数 （ ）， 有三个不同的极值点 ， ， ， ；
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明 .
5．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数 ， .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ， .
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）函数 图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说
明理由.
6．（2026·江苏扬州·一模）已知函数 的一个极值点是 ．
(1)求a与b的关系式；
(2)求出 的单调区间；
(3)设 ， ，若存在 ，使得 成立，求实数a的取值范围．7．（25-26高三上·广西·期末）已知函数 ， ．
(1)求 在 内的单调性；
(2)若存在 ，使得 ，求实数a的取值范围；
(3)设方程 在区间 内的根从小到大依次为 ， ，
…， ， ，试比较 与 的大小，并说明理由．
8．（25-26高三上·四川成都·月考）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac
Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体
步骤如下：设 是函数 的一个零点，任意选取 作为 的初始近似值，在点 处
作曲线 的切线 ，设 与 轴交于点 ，并称 为 的1次近似值；在点
处作曲线 的切线 ，设 与 轴交于点 ，称 为 的2次近似值.一般地，在点
处作曲线 的切线 ，记 与 轴交于点 ，并称 为 的 次近
似值.(1)若函数 ，取 作为 的初始近似值，求 的2次近似值；
(2)若函数 ，取 作为 的初始近似值，点 ，数列 是由 ， ， ， ，
构成的，记： ， .回答以下问题：
（i）求数列 的通项公式，并将 的长度用 表示；
（ii）求证： .
刷真题
1．（2026·上海·春季高考）已知函数 .
(1)当 ， ，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 的最小正周期为 ，且 在 上恰好有1351个解，求 的取值范
围.2．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数 ，其中 ．
(1)证明： 在区间 存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设 分别为 在区间 的极值点和零点.
（i）设函数 .证明： 在区间 单调递减；
（ii）比较 与 的大小，并证明你的结论．
3．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数 在区间 的最大值；
（2）给定 和 ，证明：存在 使得 ；
（3）设 ，若存在 使得 对 恒成立，求b的最小值．
4．（2024·新高考Ⅰ卷·高考真题）已知函数(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
